Testaa toimintoja optimointia varten

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 14 muokkausta .

Sovelletussa matematiikassa keinomaisemaina tunnetut testifunktiot ovat hyödyllisiä optimointialgoritmien suorituskyvyn arvioinnissa, kuten:

lähentymisaste.
Tarkkuus.
kestävyys .
Yleinen suoritus.

Tässä artikkelissa esitellään joitain testitoimintoja, jotka antavat sinulle käsityksen erilaisista tilanteista, joita sinun on kohdattava tällaisten ongelmien voittamiseksi.

Artikkelissa esitetään yhtälön yleinen kaava, tavoitefunktion sijainti, muuttujien rajat ja globaalin minimin koordinaatit.

Testaa yhden optimointikohteen toimintoja

Nimi	Kaava	Globaali minimi	Hakumenetelmä
Rastrigin-toiminto	$f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ oikea]$ ${\text{where: }}A=10$	$f(0,\dots ,0)=0$	$-5.12\leq x_{i}\leq 5.12$
Ackley-toiminto	$f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)))\right]$ $-\exp \left[0.5\left(\cos(2\pi x)+\cos(2\pi y)\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Pallotoiminto	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Rosenbrock-toiminto	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \oikea)^{2}+\vasen(x_{i}-1\oikea)^{2}\oikea]$	${\text{Min))={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\nuoli oikealle \quad f(\aliviiva {1,\pisteet ,1} _{n{\teksti{ kertaa}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Bealin tehtävä	$f(x,y)=\vasen(1,5-x+xy\oikea)^{2}+\vasen(2,25-x+xy^{2}\oikea)^{2}$ $+\left(2,625-x+xy^{3}\right)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Goldstein-Price-toiminto	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\oikea)\oikea]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Koppi toiminto	${\displaystyle f(x,y)=\vasen(x+2y-7\oikea)^{2}+\vasen(2x+y-5\oikea)^{2))$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Bukin-toiminto N 6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Mattias-toiminto	$f(x,y)=0,26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Maksutoiminto N 13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\oikea )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\oikea)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Himmelblau-toiminto	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ vasen(-3,779310,-3,283186\oikea)&=0,0\\f\left(3,584428,-1,848126\oikea)&=0,0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Kolmikyyräisen kamelin tehtävä	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Isom-toiminto	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\vasen(y-\pi \oikea)^{2}\oikea)\oikea)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
"Risti lokerolla" -toiminto (Cross-in-lokero-toiminto)	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\oikea\|\oikea)\oikea\|+1\oikea]^{0.1}$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(1,34941,-1,34941\right)&=-2,06261\\f\left(1,34941,1,34941\oikea)&=-2,06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Munan seisontatoiminto (munanpidintoiminto)	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2))+\left(y+47\right)\ oikea\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Taulukkopidiketoiminto	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2))} {\pi ))\right\|\right)\right\|$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\oikea)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
McCormick-toiminto	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1,5x+2,5y+1$	$f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133$	$-1.5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Shaffer-toiminto N2	$f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0.001\ vasen(x^{2}+y^{2}\oikea)\oikea]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Shaffer-toiminto N4	${\displaystyle f(x,y)=0,5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \oikea]-0,5}{\vasen[1+0,001\vasen(x^{2}+y^{2}\oikea)\oikea]^{2))))$	$f(0.1.25313)=0.292579$	$-100\leq x,y\leq 100$
Stybinsky-Tang-toiminto	$f({\boldsymbol {x)))={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ i}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ .. _ $1\leq i\leq n$

Testaa ehdollisen optimoinnin toimintoja

Nimi	Kaava	Globaali minimi	Hakumenetelmä
rosenbrock-toiminto, rajoitettu kuutioon ja suoraan [1]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , altistunut: $(x-1)^{3}-y+1<0{\teksti{ ja }}x+y-2<0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-0.5\leq y\leq 2.5$
Rosenbrockin toimintoa rajoittaa levy [2]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , altistunut: $x^{2}+y^{2}<2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-1.5\leq y\leq 1.5$
Rajoitettu Mishra-Bird-toiminto [3] [4]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\oikea]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , altistunut: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6.5\leq y\leq 0$
Muokattu Townsend-toiminto [5]	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , kohdistetaan: missä: t = Atan2(x,y) $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2.25\leq x\leq 2.5$ , $-2.5\leq y\leq 1.75$
Simonescu-funktio [6]	$f(x,y)=0.1xy$ , altistunut: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ oikea]^{2}$ ${\text{where: }}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ ja }}n=8$	$f(\pm 0.85586214,\mp 0.85586214)=-0.072625$	$-1,25\leq x,y\leq 1,25$

Testaa toimintoja moniobjektiivista optimointia varten

Otsikko / Kuva	Kaava	Minimi	Hakualue
Bean- ja Korn-toiminto	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\ vasen(x,y\oikea)&=\vasen(x-5\oikea)^{2}+\vasen(y-5\oikea)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2 }\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\loppu{tapaukset}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Chakong ja Haimes toimivat	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left (y-1\oikea)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases} }$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{ 2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Fonseca- ja Fleming-toiminto	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n))}\oikea)^{2}\oikea)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\oikea)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\oikea)^{2}\oikea)\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
testitoiminto 4	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x, y\right)&=-0,5xy-1\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\ \g_{2}\left(x,y\right)&=7,5-0,5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\ \end{cases}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Kursiivinen toiminto	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{2}\left [-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2} \left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left (x_{i}^{3}\oikea)\oikea]\\\loppu{tapaukset}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Schaffer-funktio N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&= \left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . Muotoarvoja on käytetty onnistuneesti. Suuremmat arvot lisäävät ongelman vaikeutta. $A$ $kymmenen$ $10^{5}$ $A$
Schaffer-funktio N.2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\teksti{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\teksti{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\ text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases }}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Poloni2-objektifunktio	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\ vasen(x,y\oikea)\oikea)^{2}+\vasen(A_{2}-B_{2}\vasen(x,y\oikea)\oikea)^{2}\oikea]\\f_ {2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{where}}={\begin{cases}A_{1}&=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left( 2\oikea)-1.5\cos \vasen(2\oikea)\\A_{2}&=1.5\sin \vasen(1\oikea)-\cos \vasen(1\oikea)+2\sin \vasen( 2\oikea)-0.5\cos \vasen(2\oikea)\\B_{1}\left(x,y\oikea)&=0.5\sin \left(x\oikea)-2\cos \left(x \oikea)+\sin \vasen(y\oikea)-1.5\cos \left(y\oikea)\\B_{2}\left(x,y\oikea)&=1,5\sin \left(x\oikea) )-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Zister-Dieb-Teri-toiminto N. 1	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}\\ \end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Teri-toiminto N. 2	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right) ^{2}\\\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Terin-toiminto N. 3	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}-\ vasen({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right)\sin \left(10 \pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-TeriN-toiminto. neljä	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_ {i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right) ,g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\ vasen({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ . _ $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Zister-Dieb-Teri-toiminto N. 6	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right )\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x }}\oikea)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left( {\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\oikea]^{0.25} \\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Winnet-toiminto	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0.5\left(x^{2}+y^{2}\oikea) +\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\ oikea)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y \right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\ oikea)\oikea)\\\loppu{tapaukset}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .
Osyzkin ja Kundun tehtävä	$F_{1}(x)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}$ $-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right) ^{2}$ ${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=F_{1}(x)\\f_{2}\ vasen({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0 \\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x} }\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{ 2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\ geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\ lopeta{tapaukset}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
CTP1-funktio (2 muuttujaa)	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= \left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)} 0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases} }$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Constr-Ex ongelma	${\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= {\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y \right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$

Katso myös

Kirjallisuus

Pantelejev A. V., Metlitskaja D. V., E. A. Aleshina Globaalin optimoinnin menetelmät. Metaheuristiset strategiat ja algoritmit // M.: Vuzovskaya kniga. 2013. 244 s. ISBN 978-5-9502-0743-3
Sergienko AB Testitoiminnot globaalia optimointia varten.

Linkit

Monimuuttujien optimointialgoritmien testaus

Muistiinpanot

↑ Simionescu, PA (29. syyskuuta – 2. lokakuuta 2002). Uusia käsitteitä objektiivisten funktioiden graafisessa visualisoinnissa (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Technical Conferences ja Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Kanada. s. 891-897. Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 2017-01-08 . Haettu 7. tammikuuta 2017 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Ratkaise rajoitettu epälineaarinen ongelma - MATLAB & Simulink . www.mathworks.com . Haettu 29. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ Lintuongelma (rajoitettu) | Phoenix Integration (linkki ei saatavilla) . wayback.archive.org . Haettu 29. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. joulukuuta 2016. (määrätön)
↑ Mishra, Sudhanshu. Joitakin uusia testitoimintoja hylkivän hiukkasparvimenetelmän globaaliin optimointiin ja suorituskykyyn (englanti) // MPRA Paper : Journal. - 2006. Arkistoitu 4. marraskuuta 2018.
↑ Townsend, Alex Rajoitettu optimointi Chebfunissa . chebfun.org (tammikuu 2014). Haettu 29. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ Simionescu , PA Tietokoneavusteiset grafiikka - ja simulointityökalut AutoCAD - käyttäjille . – 1. — Boca Raton, FL: CRC Press , 2014. — ISBN 978-1-4822-5290-3 .