Todennäköisyysvirta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kvanttimekaniikassa todennäköisyysvirta (tai todennäköisyysvuo ) kuvaa muutosta todennäköisyystiheysfunktiossa .

Määritelmä

Todennäköisyysvirta määritellään seuraavasti $\vec j$

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\ right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )

ja täyttää kvanttimekaanisen jatkuvuusyhtälön

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0

jonka todennäköisyystiheys antaa $\rho$

{\displaystyle \rho =|\Psi |^{2))

Jatkuvuusyhtälö vastaa seuraavaa integraaliyhtälöä:

{\frac {\partial }{\partial t))\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS }}=0

missä on tilavuus ja tilavuuden raja . Tämä on kvanttimekaniikan todennäköisyystiheyden säilymislaki. $V$ $S$ $V$

Erityisesti, jos on yksittäisen hiukkasen aaltofunktio , edellisen yhtälön ensimmäisen termin integraali (ilman aikaderivaatta) on todennäköisyys saada arvo sisällä, kun hiukkasen sijainti mitataan. Toinen termi on nopeus, jolla todennäköisyys "virtaa ulos" tilavuudesta . $\psi$ $V$ $V$

Yleensä yhtälö sanoo, että hiukkasen löytämisen todennäköisyyden aikaderivaatta on yhtä suuri kuin nopeus, jolla todennäköisyys "virtaa" kohteesta . $V$ $V$

Esimerkkejä

Tasoaalto

Todennäköisyysvirta, joka voidaan yhdistää tasoaaltoon

\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}

kirjoitetaan lomakkeeseen

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^ {{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.

Tämä on aallon amplitudin ja hiukkasnopeuden neliön tulo:

{\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}

Huomaa, että todennäköisyysvirta ei ole nolla, vaikka tasoaallot ovatkin paikallaan olevia tiloja ja siten

{\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0

kaikkialla. Tämä osoittaa, että hiukkanen voi liikkua, vaikka sen spatiaalisella todennäköisyystiheydellä ei ole selkeää aikariippuvuutta.

Partikkeli laatikossa

Yksiulotteiselle laatikolle, jonka seinät ovat pituudeltaan äärettömät ( ), aaltofunktiot kirjoitetaan muodossa $L$ $0<x<L$

\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\oikea)

ja nolla kuopan oikealla ja vasemmalla puolella. Sitten virta kirjoitetaan muotoon

j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\ Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0

koska $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Jatkuvuusyhtälön johtaminen

Tässä osiossa jatkuvuusyhtälö johdetaan todennäköisyysvirran määritelmästä ja kvanttimekaniikan perusperiaatteista.

Oletetaan, että se on hiukkasen aaltofunktio, joka riippuu kolmesta muuttujasta , , ja ). Sitten $\psi$ $x$ $y$ $z$

P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV

määrittää todennäköisyyden mitata hiukkasen sijainti tilavuudessa V . Aikaderivaata kirjoitetaan muotoon

{\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V} \left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV

jossa viimeinen yhtälö merkitsee, että osittaisderivaata ajan suhteen voidaan tuoda integraalin alle (tilavuuden muoto ei riipu ajasta). Lisäyksinkertaistamiseksi harkitse ei-stationaarista Schrödingerin yhtälöä $V$

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

ja käytä sitä poimimaan aikaderivaata : $\psi$

{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\ psi

Edellisen yhtälön korvaamisen tulos antaa ${\frac {dP}{dt))$

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\ Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV

Nyt eroon siirtymisen jälkeen

\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{ *}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*} -\Psi {\vec \nabla }^{2}\Psi ^{*}

ja koska ensimmäinen ja kolmas ehto peruuntuvat:

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\ vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV

Jos nyt muistamme lausekkeen for ja huomaamme, että lauseke, jolla nabla -operaattori toimii , kirjoitetaan lauseke $P$ $\vec j$

\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}\right)dV =0

joka on jatkuvuusyhtälön integraalimuoto. Differentiaalimuoto seuraa siitä tosiasiasta, että edellinen yhtälö pätee kaikille tilavuuksille ja integraali voidaan jättää pois: $V$

{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.