Topologinen entropia

Topologinen entropia on ei-negatiivinen reaaliluku dynaamisten järjestelmien teoriassa , joka on järjestelmän monimutkaisuuden mitta.

Määritelmä

Olkoon metrisen kompaktin joukon (X,d) jatkuva kuvaus T itseensä. Sitten X:n mittari määritellään seuraavasti $d_{n}$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

toisin sanoen se on suurin etäisyys, jolla x:n ja y:n kiertoradat eroavat n iteraatiossa. Lisäksi tietylle joukolle sanotaan, että joukko on -erotettu , jos sen pisteiden väliset parit-etäisyydet eivät ole pienempiä kuin , ja suurimman sellaisen joukon kardinaalisuutta merkitään . Tällöin kuvauksen T topologinen entropia on kaksoisraja $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon ).

Sama arvo voidaan määritellä eri tavalla: jos merkitään pienimmän -verkon potenssilla, niin $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon ).

Näiden määritelmien vastaavuus on helppo päätellä epäyhtälöistä.. On syytä huomata, että molemmat määritelmät formalisoivat seuraavan ei-tiukan käsitteen: tuntemattomalle lähtöpisteelle kuinka paljon informaatiota on hankittava per iteraatio, jotta voidaan ennustaa suuri määrä iteraatioita pienellä korjatulla virheellä. $N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$

Kirjallisuus

Adler, R. L.; Konheim, Allan G.; McAndrew, MH Topologinen entropia // Transactions of the American Mathematical Society . - 1965. - Voi. 114 . - s. 309-319 .
Dmitri Anosov (2001), "T/t093040", julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Walter, Peter. Johdatus ergodiseen teoriaan (neopr.) . - Springer-Verlag , 1982. - Vol. 79. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). - ISBN 0-387-95152-0 .