Kolmikulmainen kulma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. lokakuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Kolmikulmainen kulma on avaruuden osa, jota rajoittaa kolme tasaista kulmaa , joilla on yhteinen kärki ja pareittain yhteiset sivut, jotka eivät ole samassa tasossa. Näiden kulmien yhteistä kärkeä O kutsutaan kolmikulmaisen kulman kärjeksi. Kulmien sivuja kutsutaan reunoiksi, kolmikulmaisen kulman kärjessä olevia litteitä kulmia kutsutaan sen pinnoiksi. Jokainen kolmikulmaisen kulman kolmesta pintaparista muodostaa kaksitahoisen kulman (joita rajoittaa kolmas pinta, joka ei sisälly pariin; tarvittaessa tämä rajoitus poistetaan luonnollisesti, jolloin saadaan tarvittavat puolitasot, jotka muodostavat koko dihedralin kulma ilman rajoituksia). Jos asetamme kolmikulmaisen kulman kärjen pallon keskelle, sen pinnalle muodostuu sen rajoittama pallomainen kolmio , jonka sivut ovat yhtä suuret kuin kolmiokulman tasokulmat ja kulmat ovat yhtä suuret kuin sen dihedraaliset kulmat.

Kolmion epäyhtälö kolmiokulmalle

Jokainen kolmikulmaisen kulman tasainen kulma on pienempi kuin sen kahden muun litteän kulman summa. [yksi]

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa

Kolmikulmaisen kulman tasokulmien summa on pienempi kuin 360 astetta.

Todiste

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma (katso kuva 1). Tarkastellaan kolmikulmaista kulmaa, jonka kärkipiste A, jonka muodostavat pinnat ABO, ACO ja kulma BAC. Kirjoitetaan epäyhtälö:

\angle BAC<\angle BAO+\angle CAO

Vastaavasti jäljellä oleville kolmikulmaisille kulmille, joiden kärjet B ja C:

\kulma ABC<\kulma ABO+\kulma CBO

\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO

Kun nämä epäyhtälöt lisätään ja otetaan huomioon, että kolmion ABC kulmien summa on 180°, saadaan

180<\kulma BAO+\kulma CAO+\kulma ABO+\kulma CBO+\kulma BCO+\kulma ACO=180-\kulma AOB+180-\kulma BOC+180-\kulma AOC

Tämän seurauksena: $\kulma AOB+\kulma BOC+\kulma AOC<360$

Kolmikulmaisen kulman kosinilause

Olkoon kolmikulmainen kulma (katso kuva 2), α, β, γ - sen tasaiset kulmat, A, B, C - dihedraaliset kulmat, jotka muodostuvat kulmien β ja γ, α ja γ, α ja β tasoista.

Ensimmäinen kosinilause kolmiokulmalle:

\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}

Kolmikulmaisen kulman toinen kosinilause:

\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha }

Todiste

Olkoon OABC annettu kolmikulmainen kulma. Pudotetaan kohtisuorat kolmiokulman sisäpisteestä sen pintaan ja saadaan uusi napakolmiokulma (kaksoiskulma annetulle). Yhden kolmikulmaisen kulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kolmiokulman kaksikulmia ja yhden kulman tasaiset kulmat täydentävät toisen kulmia 180 asteeseen asti. Toisin sanoen napakulman tasokulmat ovat vastaavasti yhtä suuret: 180 - A; 180 - B; 180 - C ja dihedral - 180 - a; 180-p; 180-γ

Kirjoitetaan sille ensimmäinen kosinilause

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+

+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

ja yksinkertaistamisen jälkeen saamme:

\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

Kolmikulmaisen kulman sinilause

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ , missä α, β, γ ovat kolmikulmaisen kulman tasokulmat; A, B, C - vastakkaiset dihedraaliset kulmat (katso kuva 2).

Katso myös

Kiinteä kulma

Muistiinpanot

↑ Geometria Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , §324 .