Tunnelointi suorakaiteen muotoisen esteen läpi

Tunnelointi suorakaiteen muotoisen esteen läpi on kvanttimekaaninen tunnelointivaikutus tilanteessa, jossa hiukkasen potentiaalisulku on suorakaiteen muotoinen, nimittäin tunnelointialueella . $U(x)$ $U(x)=V=\,$ $0<x<a$

Yleensä oletetaan, että esteen molemmilla puolilla hiukkasen kokonaisenergia liittyy vain liikettä suuntaan (ei liikettä kohtisuorassa tasossa ) ja että hiukkasen massa on muuttumaton. $U=0$ $E$ $x$ $yz$ $m$

Parametrien tyypilliset arvot ovat: - elektronvoltin luokkaa , - useita nanometrejä ja tunnelointihiukkaset ovat alkuainehiukkasia (elektroneja jne.). $V$ $a$

Tunneloinnin analyysissä ongelmana on laskea todennäköisyys kulkea esteen läpi yksittäisessä hiukkasen törmäyksessä sen kanssa. Suorakaiteen muotoinen este syntyy yksinkertaisimpana approksimaationa todellisille esteille, mikä mahdollistaa yksinkertaisen analyyttisen ratkaisun. $T(E)$

Ratkaisu

Tasoaallon kuvaama hiukkanen putoaa esteen rajalle oikealla ja heijastuu osittain amplitudilla Osa aallosta kulkee esteen läpi todennäköisyysamplitudilla Hiukkasen aaltofunktion lausekkeet kolmella alueella yksiulotteisessa tapaus: $r.$ $t.$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);

\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);

\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).

Tässä oletetaan, että aaltovektorit ovat:

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))),

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(VE)}{\hbar ^{2)))).

Koska itse aaltofunktioissa esterajoilla ja niiden ensimmäisissä derivaatoissa ei saa olla epäjatkuvuuksia, tätä ehtoa käytetään sovittamaan aaltofunktiot ja niiden derivaatat rajoilla ja saadaan neljä yhtälöä, joissa on neljä tuntematonta:

{\näyttötyyli 1+r=A+B}

ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B

{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a))

k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.

Heidän ratkaisunsa:

A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1 }}}\right)=2

A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{ k_{2}}}\oikea)

B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_ {2}}}\oikea)

te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{ 2}}{k_{1}}}\oikea)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\oikea)\vasen (1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\oikea)=4e^{-ik_{1}a}

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{ k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\oikea)\oikea)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\) frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)))

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2} }}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\oikea)\sinh {k_{2}a}}},

josta seuraa lähetyskertoimen lauseke:

T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1} {4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\oikea)^{2}\sinh ^ {2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}} {4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.

Merkintä. Tässä yhteydessä voidaan tarkastella Delta-tyyppisen potentiaalin tilannetta , jota kuvaa Diracin delta-funktio . Tämä on suorakaiteen muotoisen esteen rajoittava tapaus, joka pyrkii äärettömän korkeaan ja samalla äärettömän kapeaan potentiaaliin (ja niin, että tulo , jossa on tietty vakio). Sitten se selviää $U(x)=g\delta(x).$ $Va=g,$ $g$ $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E)))^{-1}.$

Jos hiukkasen energia on esteen yläpuolella, niin:

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(EV)}{\hbar ^{2))))

ja saat toisen tuloksen:

T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2 }k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.

Kohteessa , kvanttiläpäisykerroin on yleensä erilainen kuin yksikkö, toisin kuin klassisessa tapauksessa. Ei-monotonisuutta tapahtuu tällä energia-alueella $E>V$ $T(E).$

Kirjallisuus

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2. painos) (englanniksi) . - Prentice Hall , 2004.