Ultra raja

Ultralimit on rakenne, jonka avulla voidaan määrittää raja laajalle luokan matemaattisille objekteille. Erityisesti se toimii luku- ja pistejonoille metriavaruudessa ja mahdollistaa yleistykset metristen avaruuksien sarjoihin ja niiden funktiosarjoihin.

Tätä rakennetta käytetään usein välttämään hyppäämistä alajaksoon useita kertoja.

Tämä rakenne hyödyntää ei- pääasiallisen ultrasuodattimen olemassaoloa , jonka todistuksessa puolestaan käytetään valinnan aksioomaa .

Ei-päällinen ultrasuodatin

Muista, että luonnollisten lukujen joukon ultrasuodatin on joukko joukon osajoukkoja , jotka suljetaan leikkaustoiminnon ja superjoukkoon siirtymisen aikana, ja jokaiselle osajoukolle se sisältää joko , tai komplementin . $\omega$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $X\subset \mathbb {N}$ $X$ $\mathbb {N} \backslash X$

Ultrasuodatinta kutsutaan ei-pääsuodattimeksi , jos se ei sisällä äärellisiä joukkoja.

Määritelmät

Seuraavana on luonnollisten lukujen joukossa oleva ei-prissiivinen ultrasuodatin . $\omega$ $\mathbb {N}$

Ultralimit pisteitä

Jos on pistejono metriavaruudessa , niin pistettä kutsutaan -limitiksi , jos jokaiselle osajoukolle ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} ))$ $M$ $x_{\omega }\in M$ $\omega$ $(x_{n})$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\))

sisältyvät . $\omega$

Tässä tapauksessa ne kirjoittavat ja niitä merkitään tai -merkillä . ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))$ ${\displaystyle x_{n}\to x_{\omega ))$ $n\to \omega$

Äärimmäisen rajallinen määrä välilyöntejä

Antaa olla metristen välilyöntien sarja . Harkitse kaikkia mahdollisia pistejonoja . Kahdelle tällaiselle sekvenssille määritämme etäisyyden muodossa $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $x_{n}\in M_{n}$

|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n)).

Funktio on pseudometrinen, jonka arvot ovat . Vastaavaa -metristä avaruutta kutsutaan sekvenssin -rajaksi . $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ $[0,\infty ]$ $\infty$ ${\displaystyle M_{\omega ))$ $\omega$ $M_{n}$

Tässä tapauksessa ne kirjoittavat ja niitä merkitään tai -merkillä . ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n))$ ${\displaystyle M_{n}\to M_{\omega ))$ $n\to \omega$

Ultrapower

Ultrasuodattimen metristen tilojen vakiosarjan ultrarajaa kutsutaan myös ultraasteeksi, -asteeksi, ultratäydellisyydeksi tai -valmistukseksi. Yleensä -aste on merkitty . $M_{n}=M$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $M$ ${\displaystyle M^{\omega ))$

${\displaystyle M^{\omega ))$ on sama kuin jos on kompakti. $M$ $M$

Ominaisuudet

Jos pistejonon -raja on olemassa, se on ainutlaatuinen. $\omega$
Jos metriavaruus on kompakti, minkä tahansa pistesarjan -raja on olemassa ja on ainutlaatuinen. $\omega$
- Erityisesti kaikilla reaalilukujen rajoitetuilla sarjoilla on hyvin määritelty -raja . $\omega$ $\mathbb {R}$
$\omega$ -sarjan raja on sen yksityinen raja .
- Erityisesti jos , niin tavallisessa merkityksessä . ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n))$ ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n))$
Sekvenssin ultraraja voi olla erilainen kuin osasekvenssin ultraraja.
Tasa-arvo $f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})$

pätee mielivaltaiselle jatkuvalle funktiolle, joka on määritelty pisteessä .

f

{\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))

Erityisesti: $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega } y_{n}$ $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n \to \omega }y_{n})$

Katso myös

Ultrasuodatin