Universum Grothendieck

Grothendieckin universumi matematiikassa on ei-tyhjä joukko , jossa: ${\mathcal {U}}$

jos ja , niin ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y\in x$ $y\in {\mathcal {U}}$
jos , niin ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $\{x,y\}\in {\mathcal {U}}$
jos , niin ; $x\in {\mathcal {U}}$ ${\mathcal {P}}(x)\in {\mathcal {U}}$
jos on elementtiperhe ja , niin . ${\näyttötyyli (x_{i},i\in I)}$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$

Grothendieckin universumeja käytetään luokkateoriassa vaihtoehtona oikeille luokille . Universumien idea kuuluu Alexander Grothendieckille , joka kuvaili niitä ensin ja sovelsi niitä topoositeoriassa SGA-seminaarissa [1] .

Ominaisuudet

Seuraavat Grothendieckin universumien ominaisuudet seuraavat välittömästi määritelmästä:

jos , niin yksialkiojoukko kuuluu myös ryhmään ; $x\in {\mathcal {U}}$ $\{x\}$ ${\mathcal {U}}$
jos ja on osajoukko , sitten ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y$ $x$ $y\in {\mathcal {U}}$
jos , niin järjestetty pari kuuluu myös ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $(x,y)$ ${\mathcal {U}}$
jos , niin liitto ja karteesinen tulo kuuluvat ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $x\cup y$ $x\times y$ ${\mathcal {U}}$
jos on elementtien perhe ja , Sitten ; ${\näyttötyyli (x_{i},i\in I)}$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$
jos , niin (etenkään Grothendieckin universumi ei ole sen oma elementti). $x\in {\mathcal {U}}$ $card(x)<kortti({\mathcal {U}})$

Aksiooma maailmankaikkeuksista

SGA4 esittelee seuraavan aksiooman universumeista:

Jokaiselle joukolle on olemassa sellainen universumi , että . $x$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Valitaan jokin Grothendieckin universumi . ${\mathcal {U}}$

Joukkoa kutsutaan - pieni jos ; $x$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$
Kategoria kutsutaan - pieniksi , jos sen objektien ja morfismien joukot ovat -pieniä; ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$
Kategoria kutsutaan paikallisesti pieneksi , jos kaikki sen hom-joukot ovat -small. ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

Erityisesti kaikkien -pienten joukkojen luokka ei ole -small, vaan on paikallisesti -pieni. ${\mathcal {U}}-\mathbf {Set}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

Muistiinpanot

↑ Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, osa 1, Théorie des Topos . Haettu 21. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 18. huhtikuuta 2018. (määrätön)