Wiener-Hopf yhtälö

Wiener-Hopf- yhtälö on lineaarinen integraaliyhtälö , jonka positiivisella puoliakselilla on erotusydin :

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

missä on haluttu funktio ; , ovat tunnettuja toimintoja, ovat parametreja. Milloin kutsutaan ensimmäisen tyypin Wiener-Hopf-yhtälöksi, milloin sitä kutsutaan 2. tyypin Wiener-Hopf-yhtälöksi. Wiener ja Hopf saivat sen ratkaiseessaan säteilytasapainon ongelmaa tähtien sisällä. Käytetään myös kybernetiikassa , kun ratkaistaan ongelmia, jotka liittyvät hyödyllisen signaalin erottamiseen ja suodattamiseen sen sekoituksesta kohinan kanssa. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ $\lambda ,\beta$ $\beta=0$ $\beta=1$

Ratkaisumenetelmä

Ratkaisuksi ns. yksisuuntaisia funktioita ja yhtä kuin ja x>0:lle ja yhtä kuin 0 x<0:lle ja funktiolle , joka on yhtä suuri kuin 0 x>0:lle. Yksisuuntaisten funktioiden avulla yhtälö kirjoitetaan muotoon: . Siten yksipuolisten funktioiden avulla yhtälön määritelmäalue laajenee negatiiviselle puoliakselille. Sitten käytetään suoraa Fourier - muunnosta . Kuvayhtälölle on ratkaistu Riemannin raja-arvotehtävä, ts. toimintoja ja ne on määritelty . Integraaliyhtälön ratkaisu on funktion käänteinen Fourier -muunnos : . $\varphi _{+}(x)$ $f_{+}(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi _{-}(x)$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ $\varphi ^{-}$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Kirjallisuus

Fyysinen tietosanakirja. T.1. Päätoimittaja A. M. Prokhorov. M. Sov. Encyclopedia. 1988.
N. Wiener "Olen matemaatikko" M.: Nauka, 1964, V 48 51 (09) UDC 510 (092), 353 sivua kuvineen, ch. 6 ”Luovia onnistumisia ja iloja. 1927-1931", s. 120-143;
Samoilenko V. I., Puzyrev V. A., Grubrin I. V. "Tekninen kybernetiikka", oppikirja. korvaus, M., MAI -kustantamo , 1994, 280 sivua kuvineen, ISBN 5-7035-0489-9 , LBC 14.2.5 C 17 UDC 621.396.6, ch. 3 ”Lineaaristen järjestelmien synteesi. Optimaaliset järjestelmät”, s. 3.3 “Järjestelmien optimointi ISCED-kriteerin mukaan. Wiener-Hopf-yhtälöt.», s. 60-63;
A. V. Manzhirov, A. D. Polyanin "Integraaliyhtälöiden käsikirja. Solution Methods”, M., Factorial Press, 2000, 384 sivua, ISBN 5-88688-046-1 , LBC 517.2 M 23 UDC 517.9, ch. 5 "Menetelmät integraaliyhtälöiden ratkaisemiseksi", s. 5.9-1 "Toisen tyyppinen Wiener-Hopf-yhtälö".
Myshkis A.D. "Matematiikka teknisille yliopistoille", sp. kurssit, 2. painos, St. Petersburg, Lan Publishing House, 2002, 640 s., ISBN 5-8114-0395-X , ch. 7 "Integraaliyhtälöt", kohta 4 "Joitakin yhtälöiden erikoisluokkia", kohta 8 "Fredholmin yhtälö erotusytimellä puoliakselilla".
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Yhtälöt konvoluutioissa ja projektiomenetelmiä niiden ratkaisemiseksi, M., kustantamo "Nauka", 1971, 352 s.