Hamilton-Jacobin yhtälö

Fysiikassa ja matematiikassa Hamilton - Jakobin yhtälö on muodon yhtälö

H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1))},\dots ,{\frac {\partial S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Tässä S tarkoittaa klassista toimintaa , on klassinen Hamiltonin ja ovat yleistettyjä koordinaatteja. $H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ $q_{i}$

Suoraan klassiseen (ei-kvanttimekaniikkaan) liittyvänä se soveltuu kuitenkin hyvin yhteyden muodostamiseen klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan välille , koska se voidaan saada esimerkiksi lähes suoraan Schrödingerin yhtälöstä nopeasti värähtelevän mekaniikan approksimaatiossa. aaltofunktio (suuret taajuudet ja aaltoluvut).

Klassisessa mekaniikassa se yleensä syntyy klassisen Hamiltonin erityisestä kanonisesta muunnoksesta , joka johtaa tähän epälineaariseen ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöön , jonka ratkaisu kuvaa dynaamisen järjestelmän käyttäytymistä.

Hamilton-Jacobi-yhtälö tulisi erottaa Hamiltonin ja Euler-Lagrangen liikeyhtälöistä . Vaikka tämä yhtälö on johdettu niistä, se on yksittäinen yhtälö, joka kuvaa mekaanisen järjestelmän dynamiikkaa millä tahansa määrällä vapausasteita s , toisin kuin 2 s Hamiltonin yhtälöt ja s Euler-Lagrange -yhtälöt.

Hamilton-Jacobin yhtälö auttaa ratkaisemaan Keplerin ongelman tyylikkäästi .

Kanoninen muunnos

Hamilton-Jacobi-yhtälö seuraa välittömästi siitä tosiasiasta, että minkä tahansa generoivan funktion (indeksit huomioimatta) liikeyhtälöt saavat saman muodon seuraavalle muunnokselle ja sen alla: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\osittais S}{\osittais t)).

Uusista liikeyhtälöistä tulee

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

Hamilton-Jacobi-yhtälö syntyy tietystä generoivasta funktiosta S , joka tekee Hʹsta identtisen nollan kanssa. Tässä tapauksessa kaikki sen johdannaiset katoavat, ja

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

Siten pohjustetussa koordinaattijärjestelmässä järjestelmä on täysin paikallaan vaiheavaruudessa . Emme kuitenkaan ole vielä määrittäneet, millä generoivalla funktiolla S muunnos alukekoordinaattijärjestelmään saadaan aikaan. Käytämme sitä tosiasiaa

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Koska yhtälö (1) antaa , voimme kirjoittaa $p=\partial S/\partial q,$

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

joka on Hamilton-Jacobin yhtälö.

Ratkaisu

Hamilton–Jacobi-yhtälö ratkaistaan usein muuttujien erottelulla . Anna jonkin koordinaatin (tarkkuuden vuoksi puhumme ) ja sitä vastaava liikemäärä syöttää yhtälöön muodossa $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t))+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1)) }\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2))},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.

Sitten voit laittaa

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

jossa on mielivaltainen vakio, on käänteisfunktio, ja ratkaise Hamilton-Jacobi-yhtälö vähemmillä muuttujilla. Jos prosessia voidaan jatkaa kaikissa muuttujissa, yhtälön ratkaisu saa muodon $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

missä ovat mielivaltaiset vakiot, on integrointivakio. Muista, että tässä tapauksessa se on päätepisteen funktio . Koska toiminto määrittelee Hamiltonin järjestelmän kanonisen muunnoksen , sen derivaatat koordinaattien suhteen ovat momentteja uudessa koordinaattijärjestelmässä, joten ne on säilytettävä: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots ,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i))}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{ n},t).

Tämä yhdessä liikemääräyhtälöiden kanssa määrittää järjestelmän liikkeen.

Lisäksi, jos holonomisessa järjestelmässä , jossa on vapausasteita , on muotopotentiaalisella energiallajamuotoonenergiallakineettisellä [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\piste {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Butenin, 1971 , s. 167.

Kirjallisuus

Artikkeli Physical Encyclopediassa
Gantmakher F. R. Luennot analyyttisestä mekaniikasta . 2. painos - M . : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Analyyttisen mekaniikan perusteet . - M .: Korkeakoulu, 1976.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 5. painos, stereotyyppinen. - M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — ("Teoreettinen fysiikka", osa I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Mekaniikan variaatioperiaatteet . - M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW Classical Mechanics . - M .: Ulkomaalainen. kirjallisuus, 1961.
Pavlenko Yu. G. Luennot teoreettisesta mekaniikasta. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 s.
Pars L. A. Analyyttinen dynamiikka . - M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Johdatus analyyttiseen mekaniikkaan. - M .: Nauka, 1971. - 264 s.