Lane-Emden yhtälö

Lane-Emden-yhtälö astrofysiikassa on Poisson -yhtälön dimensioton muoto Newtonin itsegravitoituvan pallomaisesti symmetrisen polytrooppisen nesteen gravitaatiopotentiaalille . Yhtälö on nimetty astrofyysikkojen Jonathan Lanen ja Robert Emdenin mukaan . [1] Yhtälöllä on muoto

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d \xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,

missä on dimensioton säde, liittyy tiheyteen ja siten paineeseen, keskitiheyden suhde . Eksponentti on polytrooppisessa tilayhtälössä mainittu polytrooppinen indeksi $\xi$ $\theta$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n))$ $\rho _{c}$ $n$

P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n))}\,

missä ja ovat paine ja tiheys, on suhteellisuuskerroin. Vakioalkuehdot: ja . Ratkaisut kuvaavat paineen ja tiheyden riippuvuutta säteestä ja edustavat polytrooppeja indeksillä . Jos polytrooppisen aineen sijasta tarkastellaan isotermistä ainetta, yhtälöä kutsutaan Chandrasekhar-yhtälöksi . $P$ $\rho$ $K$ $\theta(0)=1$ $\theta '(0)=0$ $n$

Sovellus

Fysikaalisessa mielessä hydrostaattinen tasapaino suhteuttaa potentiaaligradientin, tiheyden ja painegradientin, Poissonin yhtälö potentiaalin ja tiheyden. Siksi, jos on yhtälö, joka yhdistää paineen muutoksen tiheyden muutokseen, on mahdollista saada ratkaisu tähän ongelmaan. Tehtävässä tarkasteltu polytrooppisen kaasun valinta antaa ongelman lyhyen muotoilun ja johtaa Lane-Emden-yhtälöön. Yhtälö on tärkeä likiarvo itsegravitoituvien plasmapallojen, kuten tähtien, parametreille, mutta se asettaa silti mallille rajoituksia.

Yhtälön johtaminen

Hydrostaattisen tasapainon tilasta

Tarkastellaan nesteen itsegravitoivaa pallosymmetristä jakaumaa hydrostaattisen tasapainon tilassa. Massa säilyy, ainetta kuvaa jatkuvuusyhtälö :

{\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho ,

missä on funktio . Hydrostaattisen tasapainon yhtälöllä on muoto $\rho$ $r$

{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},

missä on myös funktio . Toistuva eriyttäminen johtaa lausekkeeseen $m$ $r$

{\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\ frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\ rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho ,\end{aligned}}

jossa jatkuvuusyhtälöä on käytetty korvaamaan massagradientti. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet ja siirretään termit johdannaisilla vasemmalla puolella: $r^{2}$ $P$

r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac { 2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac { dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho .

Jaamme molemmat puolet arvolla , ja tässä tapauksessa saamme tietyssä mielessä vaaditun yhtälön dimensiomuodon. Jos korvaamme polytrooppisen tilayhtälön ja , niin tasa-arvo saa muodon $r^{2}$ $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n))$

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{ n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}.

Tehdään vaihto , missä $r=\alpha \xi$

\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,

tässä tapauksessa saamme Lane-Emden-yhtälön,

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d \xi }}}\right)+\theta ^{n}=0.

Poissonin yhtälöstä

Samoin johtaminen voidaan aloittaa Poissonin yhtälöllä :

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho .

Voit korvata potentiaaligradientin hydrostaattisen tasapainon yhtälöllä:

{\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}},

joka taas antaa halutun yhtälön mittamuodon.

Päätökset

Polytrooppisen indeksin tietylle arvolle merkitsemme yhtälön ratkaisua muodossa . Yleisessä tapauksessa yhtälö on ratkaistava numeerisesti määrittämään . Tietyille arvoille on olemassa tarkat analyyttiset ratkaisut , erityisesti . Välillä 0 ja 5 ratkaisut ovat jatkuvia ja rajallisia, tähden säde on annettu , jossa . $n$ $\theta _{n}(\xi )$ $\theta_n$ $n$ $n=0,1,5$ $n$ ${\displaystyle R=\alpha \xi _{1))$ $\theta _{n}(\xi _{1})=0$

Tämän ratkaisun tiheysprofiili saadaan lausekkeella $\theta_n$

\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}

Mallitähden kokonaismassa saadaan integroimalla tiheys säteen yli 0 - . $M$ $\xi_1$

Paine voidaan määrittää käyttämällä polytrooppista tilayhtälöä , ts. ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n))))$

P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}.

Lopuksi, jos kaasu on ihanteellinen, niin tilayhtälö on , jossa on Boltzmannin vakio ja keskimääräinen molekyylipaino. Lämpötilaprofiili näyttää tältä: $P=k_{B}\rho T/\mu$ $k_B$ $\mu$

T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}.

Tarkat ratkaisut

Kun kyseessä on aineen pallosymmetrinen jakautuminen, Lane-Emden-yhtälö integroidaan vain kolmelle polytrooppisen indeksin arvolle . $n$

n = 0

Jos , yhtälöllä on muoto $n = 0$

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\ xi }}\oikea)+1=0.

Järjestämme ehdot uudelleen ja integroimme:

\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}.

Jaa molemmat puolet arvolla , integroi: $\xi ^{2}$

\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.

Reunaehdot ja oletetaan, että integroinnin vakiot ovat yhtä suuria ja . Näin ollen $\theta(0)=1$ $\theta '(0)=0$ $C_{0}=1$ $C_{1}=0$

\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.

n = 1

Jos , yhtälö voidaan esittää muodossa $n = 1$

{\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi } }+\theta=0.

Oletetaan, että ratkaisu voidaan esittää sarjana

\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}.

Tässä tapauksessa saadaan rekursiivinen suhde laajennuskertoimille:

a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2))).

Tämä suhde voidaan ratkaista hankkimalla yleinen ratkaisu:

\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi )).

Fyysisen polytrooppisten rajaehto edellyttää, että . Sitten , joka antaa ratkaisun muodossa $\theta (\xi )\rightarrow 1$ $\xi \rightarrow 0$ $a_{0}=1,a_{1}=0$

\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi )).

n = 5

Harkitse Lane-Emden-yhtälöä:

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\ xi }}\right)+\theta ^{5}=0.

Sillä saamme ${\frac {d\theta }{d\xi }}$

{\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right )^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3[1+{\frac {\xi ^{2}}{3} }]^{3/2}}}.

Erota ξ : n suhteen :

\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}+ {\frac {3\xi ^{2}}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}={\frac {9}{9 [1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.

Yksinkertaistamisen jälkeen saamme

\theta ^{5}={\frac {1}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.

Yhtälöllä on siis ratkaisu

{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3))))

osoitteessa . Tämä ratkaisu on massaltaan äärellinen, mutta säteeltään ääretön, joten tällä polytroopilla ei ole fysikaalista ratkaisua. $n = 5$

Numeeriset ratkaisut

Yleensä ratkaisut löydetään numeeristen integrointimenetelmien avulla. Monet standardimenetelmät olettavat, että ongelma on muotoiltu ensimmäisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmäksi. Esimerkiksi,

{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}},

{\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}.

Tässä on mittaton massa, joka määritellään . Vastaavat alkuehdot ovat ja . Ensimmäinen yhtälö on hydrostaattisen tasapainon yhtälö, toinen on massan säilymisen laki. $\phi (\xi )$ $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$ $\phi (0)=0$ $\theta(0)=1$

Homologiset muuttujat

Homologisesti invariantti yhtälö

Tiedetään, että jos on Lane–Emden-yhtälön ratkaisu, niin se on ratkaisu. [2] Tällä tavalla liittyviä ratkaisuja kutsutaan homologisiksi, niiden välistä siirtymäprosessia kutsutaan homologiaksi. Jos muuttujat valitaan invariantiksi homologiassa, tilavuudet voivat pienentää yhtälön järjestystä yhdellä. $\theta (\xi )$ $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$

Tällaisia muuttujia on monia. Yksi kätevä vaihtoehto on seuraava:

U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}

V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta )).

Kun näiden muuttujien logaritmit on erotettu toisistaan, saadaan lausekkeet $\xi$

{\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1 }VU

{\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{- 1}V)

Sitten jaamme muuttujat kahteen yhtälöön riippuvuuden poistamiseksi , minkä jälkeen saadaan lauseke $\xi$

{\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+ n (n+1)^{-1}V-3}}\oikea),

joka on ensimmäisen kertaluvun yhtälö.

Homologisesti invariantin yhtälön topologia

Homologisesti invarianttia yhtälöä voidaan pitää autonomisena yhtälöparina

{\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)

{\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).

Näiden yhtälöiden ratkaisujen käyttäytyminen voidaan määrittää analysoimalla lineaarista stabiilisuutta. Yhtälön kriittiset pisteet (jossa ) ja Jacobi-matriisin ominaisarvot ja vektorit on lueteltu alla olevassa taulukossa. [3] $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$

{\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Kriittiset kohdat}}&{\teksti{Omaarvot}}&{\teksti{Omavektorit}}\\\hline (0 ,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0 ,n) +1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\vasen({\dfrac {n-3}{n-1)),2{\dfrac { n+ 1}{n-1}}\oikea)&{\dfrac {n-5\dfrac \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n}, 4+ 4n)\\\hline \end{array}}

Kirjallisuus

Horedt, Georg P. Polytroopit - Sovellukset astrofysiikassa ja siihen liittyvillä aloilla . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers , 2004. - ISBN 978-1-4020-2350-7 .

Muistiinpanot

↑ Lane, Jonathan HomerAuringon teoreettisesta lämpötilasta hypoteesin perusteella, että kaasumassa säilyttää tilavuutensa sisäisellä lämmöllään ja riippuu maanpäällisissä kokeissa tunnetuista kaasulaeista // The American Journal of Science and Arts : päiväkirja. - 1870. - Voi. 2 . - s. 57-74 .
↑ Chandrasekhar, Subrahmanyan Johdatus tähtien rakenteen tutkimukseen . - Chicago, Ill.: University of Chicago Press , 1939.
↑ Horedt, Georg P. Lane-Emden-yhtälön topologia // Astronomy and Astrophysics : Journal . - 1987. - Voi. 117 , nro. 1-2 . - s. 117-130 . - .

Linkit

Weisstein, Eric W. Lane-Emden-differentiaaliyhtälö (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .