Meshchersky yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Meshchersky-yhtälö on muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikassa perusyhtälö , jonka I. V. Meshchersky sai vuonna 1897 [1] muuttuvan massan (koostumuksen) materiaalipisteelle .

Yhtälö kirjoitetaan yleensä seuraavassa muodossa:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

missä:

$M(t)$ on materiaalipisteen massa, joka muuttuu johtuen hiukkasten vaihdosta ympäristön kanssa mielivaltaisella hetkellä t;
${\mathbf v}$ on muuttuvamassaisen materiaalipisteen liikenopeus;
${\mathbf F}$ - vaihtelevan massaisen materiaalin pisteeseen vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti sen ulkoisesta ympäristöstä (mukaan lukien, jos näin tapahtuu, väliaineen siltä puolelta, jonka kanssa se vaihtaa hiukkasia, esimerkiksi sähkömagneettiset voimat - kun kyseessä on aineen siirto magneettinen väliaine, väliaineen liikkeen vastus jne.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ on liitoshiukkasten suhteellinen nopeus;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ on erotettujen hiukkasten suhteellinen nopeus;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ ja ovat vastaavasti kiinnittyneiden hiukkasten kokonaismassan kasvunopeus ja erotettujen hiukkasten kokonaismassan kasvunopeus. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Tsiolkovskyn kaava voidaan saada tämän yhtälön ratkaisemisen tuloksena.

Koko:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} }{dt}}

kutsutaan "loistehoksi" .

Yleensä [2] [3] [4] Meshchersky-yhtälö saadaan materiaalipistejärjestelmän liikemäärän muutosnopeuden yhtälön perusteella, jonka muoto on:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

missä on järjestelmän impulssi, joka on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmän muodostavien aineellisten pisteiden impulssien summa, ja on kaikkien järjestelmän kappaleisiin vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti. Alla on yhtälön johtaminen käyttämällä juuri tällaista lähestymistapaa. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

Meshchersky-yhtälön johtaminen

Tarkastellaan kappaletta, jonka massa on muuttuva . Olkoon pieni massa liittyä kappaleeseen ajan kuluessa , jolla oli nopeus ennen liittymistä , ja pieni massa irtoaa , jonka nopeus erotuksen jälkeen tulee yhtä suureksi kuin . Meitä kiinnostavana järjestelmänä pidämme kaikkia kolmea mainittua elintä. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

Liikemäärän säilymislain mukaan järjestelmän liikemäärä tarkasteltavan prosessin alussa ja lopussa on sama:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

missä on muutos pääkappaleen liikemäärässä, joka johtuu sekä sen nopeuden että massan muutoksesta. $d(M{\vec {v)))$

Ottaen huomioon, että kohdasta (1) saamme: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

Päärungon massan muutos liittyy ja suhteeseen , joten (2):sta seuraa: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

Kun on siirrytty differentiaaleista johdannaisiin ja järjestetty termit uudelleen, (3) saa muodon:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Ottamalla käyttöön suhteelliset hiukkasten nopeudet ja yhtä suuret ja vastaavasti ja lisäämällä ulkoisten voimien resultantti saadaan Meshchersky-yhtälö lopullisessa muodossaan. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Relativistinen Meshchersky-yhtälö

Ensimmäiset teokset [5] , jotka omistivat rakettien liikkeen tutkimukselle relativistiset vaikutukset huomioon ottaen, olivat Akkeretin [6] ja Zengerin [7] teokset .

Johdettaessa Meshchersky-yhtälöä, joka soveltuu valonnopeuteen verrattavissa oleville nopeuksille, käytetään relativistisen liikemäärän lauseketta . Tämän seurauksena yhtälö saa muodon: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\oikea )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}\oikea)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\oikea).

Tässä yhtälössä yleisessä tapauksessa suhteellisia nopeuksia ja ei oteta käyttöön , koska relativistisessa tapauksessa nopeuksien summaus suoritetaan eri tavalla. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

Jos vain hiukkaset erotetaan nopeudella, joka on kollineaarinen raketin nopeuden kanssa, tämä yhtälö pelkistyy seuraavaan muotoon:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

missä on hiukkasten nopeus suhteessa rakettiin. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Löytöhistoria

Vaihtelevan massaisen materiaalipisteen liikeyhtälön hiukkasten kiinnittymisen (tai erotuksen) tapaukselle sai ja tutki perusteellisesti IV Meshchersky, Pietarin yliopistossa 10. joulukuuta 1897 puolustamassa pro gradu -työssä [8] . Ensimmäisen raportin muuttuvan massaisen aineellisen pisteen liikeyhtälöstä hiukkasten samanaikaisen kiinnittymisen ja erottamisen yleisessä tapauksessa teki I. V. Meshchersky 24. elokuuta 1898 20. elokuuta 1898 järjestetyn X kongressin matematiikan ja tähtitieteen osaston kokouksessa. Venäjän luonnontieteilijät ja lääkärit Kiovassa , se tuli laajalti tunnetuksi myöhemmin, kun työ "Vaihtelevan massan pisteen liikeyhtälöt yleisessä tapauksessa" julkaistiin "Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute" vuonna 1904 [9] .

On jomukaan_G.K.että,huomattava

Muistiinpanot

↑ Kosmodemyansky A. A. “Ivan Vsevolodovich Meshcherskyn tieteellinen toiminta” s. 9-25 I. V. Meshcherskyn kirjassa. Työskentelee muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikassa. Ed. 1. - M.: GITTL, 1949. s. 13.
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. - S. 119-120. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Lyhyt kurssi teoreettisesta mekaniikasta. - M . : Higher School, 1986. - S. 287-288. — 416 s.
↑ Irodov I. E. Mekaniikan peruslait. - M . : Korkeakoulu, 1985. - S. 41. - 248 s.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Makroskooppisten painovoima- ja sähkömagnetismiteorioiden perusteet. - M .: Nauka, 1989. s. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.-1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (venäjäksi: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Teoksia muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikasta. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1952. - s. 37.
↑ Meshchersky I. V. Teoksia muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikasta. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1952. - s. 222.
↑ Muuttuvan koostumuksen järjestelmän dynamiikan perusteiden ja suihkun työntövoiman teorian kehittäminen. — M.: 1977
↑ "Fysiikan ja mekaniikan historian opinnot". Moskova: Nauka, 1986, s. 191-238

Kirjallisuus

Meshchersky I. V. "Vaihtelevan massan pisteen dynamiikka" // Kirjassa. I. V. Meshchersky. Työskentelee muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikassa. Ed. 2. - M.: GITTL, 1952. - 280 s. s. 37-188.
Meshchersky I.V. , "Vaihtelevan massan pisteen liikeyhtälöt yleisessä tapauksessa" // Kirjassa. I. V. Meshchersky. Työskentelee muuttuvamassaisten kappaleiden mekaniikassa. Ed. 2. - M.: GITTL, 1952. - 280 s. s. 222-264.
Mikhailov G. K. "Vaihtuvan koostumuksen järjestelmien dynamiikan historiasta" Izvestiya AN SSSR: Rigid Body Mechanics, 1975, nro 5, s. 41-51.
Mikhailov GK Muuttuvan koostumuksen järjestelmien dynamiikan historiasta ja suihkun työntövoiman teoriasta. M.: Neuvostoliiton tiedeakatemian mekaniikkaongelmien instituutti, 1974.
Karagodin V. M. Kehimekaniikan teoreettiset perusteet vaihtelevalla koostumuksella. M.: Oborongiz, 1963. 178s.
Vaihtuvan massaisten kappaleiden mekaniikka - artikkeli Physical Encyclopediasta
Kilchevsky N.A. Teoreettisen mekaniikan kurssi. Osa 1. M .: Nauka, 1977. Luku IV "Vaihtelevan massan pisteen dynamiikka" Kappale 221. - Meshchersky-yhtälön johtaminen (s. 433-435).
Aizerman M.A. Klassinen mekaniikka. 2. painos M.: Nauka, 1980. - 368s. Luku 3. Osa 9. Mekaniikan peruslauseiden soveltaminen muuttuvan koostumuksen omaavan järjestelmän liikkeeseen. s. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Teoreettinen mekaniikka (lisäyksiä yleisiin osiin). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 s. - ISBN 5-9221-0703-8 (Kappaleet 2.5. Muuttuvan koostumuksen järjestelmän kinematiikka. s. 71-77; 3.4. Vaihtuvan koostumuksen järjestelmän dynaamiset perussuureet. s. 91-94; 6.2. massakeskuksen liike kappaleen vuorovaikutuksessa s. 170-172 6.3 Lause muuttuvan koostumuksen omaavan järjestelmän liikemäärän muutoksesta s. 172-180 6.6 Lauseen soveltaminen kineettisen energian muutos muuttuvan koostumuksen järjestelmään. s. 200-207; 7.2. Yleinen yhtälön analyyttinen dynamiikka vaihtelevan massaisen pistejärjestelmän osalta, s. 215-227.)
Sedov L. I. Rakettilennon relativistisesta teoriasta // Sovellettu matematiikka ja mekaniikka - 1986. - V. 50, no. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Makroskooppisten painovoima- ja sähkömagnetismiteorioiden perusteet. - M.: Nauka, 1989. - 272 s. — ISBN 5-02-013805-3 . III luku. kappale 4. Rakettilennon relativistinen teoria.

Linkit

Borodovsky VN Kotimaiset ohjukset. Historiaa ja tulevaisuutta