Appelin yhtälöt

Klassisessa mekaniikassa Appelin yhtälöitä pidetään vaihtoehtoisena muotoiluna Newtonin ehdottamille yleisille liikeyhtälöille. Paul Appel erotti hänet vuonna 1900 [1] . Huolimatta siitä, että nämä yhtälöt ovat täysin vastaavia Newtonin laeista ja pienimmän toiminnan periaatteesta saatujen yhtälöiden kanssa, Appellin yhtälöt osoittautuvat joissakin tapauksissa kätevämmiksi, erityisesti kun järjestelmää rajoittavat mekaaniset rajoitukset .

Sanamuoto

Olkoon mekaaninen massapisteiden järjestelmä, jolle asetetaan geometriset (1) ja lineaariset kinemaattiset (2) rajoitukset: $N$ $m_{1},m_{2},\pisteet ,m_{N}$

(yksi)

f_{{\alpha }}({\mathbf {r}}_{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \alpha =1,.. .,d

(2)

\sum _{{\nu =1}}^{{N}}{\mathbf {A}}_{{\beta \nu }}({\mathbf {r}}_{1},..., {\mathbf {r}}_{N},t)\cdot {\mathbf {{\piste {r}}}}_{\nu }+A_{{\beta }}({\mathbf {r}} _{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g

Järjestelmän liike on kuvattava, jos aktiiviset voimat tunnetaan (kuhunkin pisteeseen vaikuttavat voimat riippuvat ajasta, kaikkien pisteiden sijainnista ja niiden nopeuksista) ja järjestelmän alkutila tunnetaan (sijainti ja kaikkien pisteiden nopeudet alkuhetkellä). ${\mathbf {F}}_{1},...,{\mathbf {F}}_{N}$

Yksi tärkeimmistä mekaanista järjestelmää koskevista oletuksista, joka on välttämätön Appel-yhtälöiden pätevyydelle, on se, että esiin tulevien rajoitusreaktioiden oletetaan olevan ihanteellisia, eli ne eivät toimi yhteensä millään pisteiden virtuaalisella siirrolla . järjestelmästä.

Holonomisen järjestelmän tapauksessa, kun kinemaattiset rajoitukset puuttuvat tai ne ovat integroitavissa (eli ne on pelkistetty geometrisiksi rajoituksiksi), Appell-yhtälöillä on muoto:

(3)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{{k}}}}=G_{{k}}),\quad k=1,...,n

missä

n = 3N-d

on järjestelmän geometristen vapausasteiden lukumäärä;

q_{1},...,q_{n}

- mielivaltainen toisistaan riippumattomien yleisten koordinaattien järjestelmä , joka parametroi järjestelmän mahdollisten geometristen paikkojen tilan milloin tahansa (täten näiden koordinaattien käyttö ottaa täysin huomioon järjestelmälle asetetut geometriset suhteet);

G_{1},...,G_{n}

- "yleistetut voimat" - aktiivisten voimien perustyön laajenemiskertoimet mielivaltaisessa virtuaalisessa siirtymässä :

\delta {\mathbf {r}}=(\delta {\mathbf {r}}_{1},...,\delta {\mathbf {r}}_{N})

\delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N }=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}

(4) on ns. "kiihtyvyysenergia", kaavassa (3) arvo on ajan funktio, yleistetyt koordinaatit ja niiden 1. ja 2. kertaluvun derivaatat.

S={\frac {1}{2}}\sum _{{\nu =1}}^{{N}}m_({\nu }}{\mathbf {{\ddot {r}}}}_ {{\nu }}^{2}

S

Ei-holonomisessa tapauksessa Appel-yhtälöillä on käytännössä sama muoto (3), mutta tässä tapauksessa kaavat eivät sisällä yleistettyjä koordinaatteja, vaan pseudokoordinaatteja, jotka esitetään seuraavasti:

(5) .

{\piste {\pi }}_{k}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{{ik}}{\piste {q}}_{i}+\lambda _ {k},\quad k=1,...,ng

Näissä merkinnöissä muuttujan nimen yläpuolella oleva piste ei tarkoita differentiaatiota ajan suhteen, vaan on osa yksittäistä muuttujan nimeä. Muuttujaa , jonka aikaderivaata olisi sama kuin järjestelmän minkä tahansa liikkeen polun kirjoitettu lauseke, ei välttämättä ole olemassa, joten sitä kutsutaan pseudomuuttujaksi (tai pseudokoordinaatiksi). Kaikki muut kaavat sisältävät joko sen derivaatat (ainakin ensimmäisen kertaluvun) tai differentiaalit, joten sen pseudoolemus ei ilmene millään tavalla. $\pi _{k}$ $\pi _{k}$

Kertoimet ja voivat riippua pisteiden ajasta ja koordinaateista. Lisäksi niiden on täytettävä ehto, että yhtälöiden (5) ja (2) muodostaman lineaarisen järjestelmän muuttujien kertoimien matriisin determinantti (kirjoitettu yleisiin koordinaatteihin) ei katoa. $\lambda _{{ik}}$ $\lambda _{{i}}$ ${\piste {q}}_{i}$

Ei-holonomisen järjestelmän tapauksessa Appel-yhtälöillä on muoto:

(6)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{{k}}}}=G_{{k}},\quad k=1,...,ng

missä

n = 3N-d

on järjestelmän geometristen vapausasteiden lukumäärä;

\pi _{1},...,\pi _{{ng}}

— pseudokoordinaattijärjestelmä;

G_{1},...,G_{{ng}}

- "yleistetut voimat" - aktiivisten voimien perustyön laajenemiskertoimet: ;

{\displaystyle \delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{ng))

funktio S on sama kuin kohdassa (4), mutta ilmaistuna muuttujina (muuttujien merkinnässä vain yksi pisteistä on aikaderivaata!).

t,q_{1},...,q_{n},{\piste {\pi }}_{1},...,{\piste {\pi }}_{{ng}},{\ ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{{ng}}

{\ddot {\pi }}_{i}

Jotta saataisiin täydellinen järjestelmän liikeyhtälöjärjestelmä, on tarpeen lisätä kinemaattisten rajoitusten yhtälöt (2) ja pseudokoordinaattikaavat (5) Appel-yhtälöihin (6).

Muistiinpanot

↑ Appell, P. "Sur une forme générale des équations de la dynamique." (ranska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : aikakauslehti. - 1900. - Voi. 121 . —S . 310—? .

Kirjallisuus

P. Appelin julkaisut tästä aiheesta

Lue lisää

Beryozkin E. N. Teoreettisen mekaniikan kurssi - 2. painos, tarkistettu ja täydennetty - M. : Moskovan valtionyliopiston kustantamo - 1974, 645 s.