Dehn-Sommervillen yhtälöt

Dehn-Somerville-yhtälöt ovat täydellinen sarja lineaarisia suhteita yksinkertaisen monitahoisen eri mittaisten pintojen lukumäärälle . Nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen yksinkertaisia polytooppeja varten, koska jälkimmäiset ovat kaksoispolytooppeja yksinkertaisiin polytooppeihin.

Sanamuoto

Tietylle yksinkertainen - ulotteinen monitahoinen , merkitse dimensiopintojen lukumäärällä ; erityisesti ,. Harkitse muodollista summaa $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

{\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k))

jossa , eli kertoimet syntyvät luonnollisesti avattaessa vasemman summan sulkuja. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\displaystyle h_{k))$

Sitten Dehn-Somerville-yhtälöillä on muoto

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

jokaiselle kokonaisluvulle . $k$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Sekvenssiä kutsutaan polyhedronin f-vektoriksi. $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$
Sekvenssiä kutsutaan monitahoisen h-vektoriksi. $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$
- Jos on lineaarinen funktio yleisessä asemassa, eli kaikki monitahoisen pisteet sijaitsevat eri tasoilla , niin se on yhtä suuri kuin indeksin kärkien lukumäärä ; eli tarkalleen reunat tästä kärjestä menevät alas pitkin . Dehn-Somerville - yhtälöt saadaan korvaamalla . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\ell$ ${\displaystyle h_{k))$ $P$ $k$ $k$ $\ell$ $\ell$ $-\ell$
  - Lisäksi saamme mille tahansa , tämä antaa ei-triviaalisia epäyhtälöitä -vektorille. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $f$

Historia

Dimensioissa 4 ja 5 suhteet kuvaili Max Dehn [1] . Yleisesti ottaen yhtälöt kuvaili Duncan Somerville vuonna 1927.

Muistiinpanot

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann. 61 (1905), 561-586

Kirjallisuus

V. A. Timorin. Kuperan polyhedran kombinatoriikka . - MTSNMO, 2002. - (Kesäkoulu "Moderni matematiikka"). — ISBN 5-94057-024-0 .