Liouville-Ostrogradsky-kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Liouville-Ostrogradsky- kaava on kaava, joka yhdistää Wronsky-determinantin (Wronskian) differentiaaliyhtälön ratkaisuille ja tämän yhtälön kertoimille.

Olkoon muodon differentiaaliyhtälö

$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+.. .+P_{n}(x)y=0,$

niin missä on Vronsky-determinantti $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{ -\int P_{1}(x)dx},$ $K(x)$

Lineaariselle homogeeniselle differentiaaliyhtälöjärjestelmälle

$y'(x)=A(x)y(x),$ missä on järjestyksen jatkuva neliömatriisi , Liouville-Ostrogradsky-kaava on voimassa $Kirves)$ $n$

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ missä on matriisin jälki ${\mathop {{\rm {tr}}}}A(x)$ $Kirves)$

Differentiointisääntö ulottuvuuden 2 determinantille

Determinantin derivaatalla muuttujan x suhteen on muoto $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}} (x)\end{vmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$ ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_ {{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\ begin{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11} }&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatrix}}$

Dimension Determinant Differentiation Rule $n$

Päästää $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\pisteet &a_{{1n}}(x) \\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\pisteet &a_{{2n}}(x)\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{{ n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\pisteet &a_{{nn}}(x)\\\end{matriisi}}\oikea)$

Silloin johdannainen on totta $\Delta '(x)$

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\pisteet &a_{{1n}}'(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\pisteet &a_{{2n}}(x)\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{{n1}}( x)&a_{{n2}}(x)&\pisteet &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{ 12}}(x)&\pisteet &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\pisteet &a_{{2n}}' (x)\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\pisteet &a_{{nn}}(x)\\ \end{vmatrix}}+\pisteet +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\pisteet &a_{{1n}}(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\pisteet &a_{{2n}}(x)\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{{n1}}' (x)&a_{{n2}}'(x)&\pisteet &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$

(-. rivi erottuu -. termillä ) $i$ $i$

Todiste

Käytämme kaavaa determinantin täydelliseen laajentamiseen

$\Delta (x)=\summa _{{i_{1},i_{2},\pisteet ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\ pisteet ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)$

Summa on otettu kaikkiin mahdollisiin lukujen permutaatioihin , on permutaation pariteetti . $1,2,\pisteet ,n$ $P(\cdot )$

Erottamalla tämä lauseke suhteessa , saamme $x$

${\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P( i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n }}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{ {2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\dots +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}( -1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\pisteet ,i_{n}}}(-1) ^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x) \cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\pisteet +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\pisteet ,i_{n}}} (-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{aligned}}$

Jokaisessa summassa -: nnen rivin alkiot erotetaan toisistaan ja vain ne. Korvaamalla summat determinantteilla saamme $i$

Todistus toisen kertaluvun yhtälölle

Olkoon yhtälön funktiot jatkuvat , ja $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ $p(x), q(x)$ $[a;b]$

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ ovat tämän yhtälön ratkaisuja.

Erottelemalla Wronsky-determinantin saamme

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}'&y_{ {2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end {vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatrix}}$

Ensimmäinen termi on 0, koska tämä determinantti sisältää 2 identtistä riviä. Korvaaminen

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

toiselle termille, saamme

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'- qy_{2}\end{vmatrix}}$

Lisäämällä ensimmäisen rivin, kerrottuna q:lla, toiseen, saamme

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}} =-pW$

ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia , joten

$W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx$ on differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia.

Integroimalla saamme

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x) dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Todiste tavallisten differentiaaliyhtälöiden lineaariselle järjestelmälle

Olkoot vektorifunktiot lineaarisen ODE-järjestelmän ratkaisuja. Esittelemme matriisin seuraavasti ${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\dots ,{{\mathbf y}}_{n}(x)$ $\Phi$

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\ pisteet &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|$

Sitten . Käyttäkäämme sitä tosiasiaa, että ovat ODE-järjestelmän ratkaisuja, eli . $W(x)\equiv \det \Phi (x)$ $y_{i}(x)$ ${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$

Matriisimuodossa jälkimmäinen voidaan esittää muodossa $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\ mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}( x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\pisteet &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matriisi}}\oikea\ |=A(x)\Phi(x)$

tai ottamalla käyttöön matriisin derivaatta kunkin elementin derivaattojen matriisina

$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$

Antaa olla -th rivi matriisin . Sitten $\varphi _{i}(x)$ $i$ $\Phi (x)$

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

Jälkimmäinen tarkoittaa, että matriisin -: nnen rivin derivaatta on tämän matriisin kaikkien rivien lineaarinen yhdistelmä matriisin -: nnen rivin kertoimilla . Tarkastellaan matriisin determinanttia , jossa -:s rivi erotetaan. Determinantti ei muutu, jos kaikkien muiden rivien lineaarinen yhdistelmä vähennetään tämän matriisin rivistä. $i$ $\Phi (x)$ $i$ $Kirves)$ $\Phi (x)$ $i$ $i$

$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \ \\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x) )\\\vdots \\\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n }(x)\\\end{matriisi}}\oikea|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \ \\summa _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)-\sum _{{j\neq i}}a_{{ij} }(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\ varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\ varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$

Käyttämällä kaavaa determinantin erottamiseksi saamme

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operaattorin nimi {tr}A(x)W(x)$

Viimeisellä tavallisella differentiaaliyhtälöllä on ratkaisu

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operaattorinimi {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Todistus mielivaltaisen järjestyksen lineaariselle differentiaaliyhtälölle

Lineaarinen differentiaaliyhtälö -. kertaluku $n$

${\näyttötyyli y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\pisteet +P_{n-1}(x)y'(x) )+P_{n}(x)y(x)=0}$

vastaa seuraavaa järjestelmää

${\begin{aligned}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\pisteet -P_{{n-1} }(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}} \\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{tasattu }}$

seuraavan muodon matriisilla $Kirves)$

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\pisteet &0\\0&0&1&\pisteet &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\pisteet &0&1\\-P_{n}(x)& -P_{{n-1}}(x)&\pisteet &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matriisi}}\oikea)$

Alkuperäisen yhtälön ja järjestelmän Wronskianit ovat samat, ja matriisin jälki on . Korvaamalla järjestelmän kaavaan saamme $Kirves)$ $-P_{1}(x)$

$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int _{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Liouville-Ostrogradsky-kaavan soveltaminen

Olkoon toisen kertaluvun lineaarisen tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu tiedossa, eli . Liouville-Ostrogradsky-kaavaa käyttämällä on mahdollista löytää samalle järjestelmälle lineaarisesti siitä riippumaton ratkaisu. $y_{1}(x)$ $n = 2$ $y_{2}(x)$

Kirjoitetaan Wronskian:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2 }}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$ siksi

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int { \frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}$

Koska lineaarinen riippumattomuus ja se on riittävä , olettaen , saamme $y_{1}(x)$ $y_{2}(x)$ $W\neq 0$ $C=1,\,B=0$ $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Esimerkki

Olkoon tietty ratkaisu yhtälön tiedossa . Liouville-Ostrogradsky-kaavaa käyttämällä saamme $y''-{\mathop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$ $y_{1}=\sin x$

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx))))=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Sitten homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu $y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\ synti x$

Käytetty kirjallisuus

Agafonov S. A., saksalainen A. D., Muratova T. V. Differentiaaliyhtälöt. Oppikirja lukioille. - M . : Kustantaja MSTU im. Bauman , 1999. - 366 s. — (Matematiikka teknillisessä yliopistossa, osa VIII).
Romanko VK Differentiaaliyhtälöiden kurssi ja variaatiolaskenta. - 2. painos - M . : Perustietojen laboratorio, 2001. - 344 s.