Faa di Brunon kaava

Faa di Brunon kaava on yleistys kaavasta , jolla monimutkainen funktio erotetaan korkeamman asteen johdannaisiksi . Se nimettiin italialaisen matemaatikon ja papin Francesco Faa di Brunon mukaan, jonka ansiosta hänestä tuli kuuluisa (noin 1855), vaikka tämän kaavan todellinen löytäjä on Louis Francois Antoni Arbogast , joka yli 50 vuotta ennen Faa di Brunoa teki ensimmäisen julkaisuja [1] tästä aiheesta.

Ehkä tunnetuin Faa di Brunon kaava on seuraava:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{ n))))\cdot f^{(m_{1}+\pisteet +m_{n})}{\big (}g(x){\iso )}\cdot \prod _{j=1}^ {n}{\big (}g^{(j)}(x){\big )}^{m_{j)),

jossa ei-negatiivisten kokonaislukujen ( m 1 , …, m n ) kaikkien n - joukon summa , jotka täyttävät rajoituksen

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

Joskus paremman muistamisen vuoksi kaava kirjoitetaan muodossa

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\pisteet +m_{n})}{\big (}g(x) ){\big )}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!)}}\oikea)^{m_ { j}},

tämä kuitenkin vähentää kombinatorisen tulkinnan ilmeisyyttä.

Summaamalla termit kiinteällä arvolla m 1 + m 2 + … + m n = k ja huomioimalla, että m j :n on oltava yhtä suuri kuin nolla, kun j > n − k + 1, voimme päätyä hieman yksinkertaisempaan kaavaan, joka ilmaistaan Bellin polynomit B n , k ( x 1 , …, x n − k +1 ):

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum _{k=1}^{n}f ^{(k)}{\iso (}g(x){\iso )}\cpiste B_{n,k}{\iso (}g'(x),g''(x),\pisteet ,g ^{(n-k+1)}(x){\iso )}.

Kombinatorinen muoto

Kaavalla on seuraava kombinatorinen muoto:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=(f\circ g)^{(n)}( x)=\summa _{\pi \in \Pi }f^{{\big (}|\pi |{\iso ))){\big (}g(x){\iso )}\cdot \prod _{B\in \pi }g^{{\big (}|B|{\big )}}(x),

missä

π ottaa arvot joukon { 1, …, n } kaikkien osioiden joukosta Π, B ∈ π tarkoittaa, että muuttuja B kulkee osion π läpi, | A | ilmaisee joukon A kardinaalisuutta (eli |π| on osion π lohkojen lukumäärä, | B | on lohkon B koko ).

Esimerkki

Kaavan kombinatorinen muoto voi aluksi tuntua monimutkaiselta, joten tarkastellaan erityistä tapausta:

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''{\big (}g(x){\big )}g'(x)^{ 4}+6f'''{\iso (}g(x){\iso )}g''(x)g'(x)^{2}+{}\\&+3f''{\iso ( }g(x){\iso )}g''(x)^{2}+4f''{\iso (}g(x){\iso )}g'''(x)g'(x) +{}\\&+f'{\big (}g(x){\big )}g''''(x).\end{tasattu))

Kaikki toiminnot suoritetaan seuraavan kaavan mukaan:

{\begin{alignedat}{4}g'(x)^{4}&\leftrightarrow {}&1+1+1+1&\leftrightarrow {}&f''''{\big (}g(x) ){\iso )}&\vasen oikea nuoli {}&1,\\g''(x)g'(x)^{2}&\vasen oikea nuoli &2+1+1&\vasen oikea nuoli &f'''{\iso (}g (x){\iso )}&\vasen oikea nuoli &6,\\g''(x)^{2}&\vasen oikea nuoli &2+2&\vasen oikea nuoli &f''{\big (}g(x){\iso )} &\vasen oikea nuoli &3,\\g''(x)g'(x)&\vasen oikea nuoli &3+1&\vasen oikea nuoli &f''{\big (}g(x){\iso )}&\vasen oikea nuoli &4,\ \g''''(x)&\vasen oikea nuoli &4&\vasen oikea nuoli &f'{\big (}g(x){\big )}&\vasen oikea nuoli &1.\end{alignedat))

Tekijä vastaa ilmeisesti 4:n osiota 2 + 1 + 1 (derivaatan järjestys). Sen tekijä osoittaa, että tässä osiossa on 3 termiä. Lopuksi kerroin 6 tarkoittaa, että neljän elementin joukossa on täsmälleen 6 osiota, joissa yksi osa sisältää kaksi elementtiä ja kaksi osaa yhden. $g''(x)g'(x)^{2}$ ${\displaystyle f'''{\big (}g(x){\iso )))$

Analogisesti kolmannen rivin tekijä vastaa luvun 4 osiota 2 + 2 ja osoittaa, että tällä osiolla tulisi olla 2 termiä. Kerroin 3 kertoo, että on vain yksi tapa jakaa 4 elementtiä ryhmiin, joiden koko on 2. $g''(x)^{2}$ ${\displaystyle f''{\big (}g(x){\iso )))$ ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$

Kaavan muut ehdot tulkitaan samalla tavalla.

Kertoimien kombinatorinen tulkinta

Faa di Brunon kaavan kertoimet voidaan ilmaista suljetussa muodossa. n -koon joukon osioiden lukumäärä, joka vastaa luvun n osiota :

n=\aliviiva {1+\cdots +1} _{m_{1}}+\alijaviiva {2+\cdots +2} _{m_{2}}+\alijaviiva {3+\cdots +3 } _{m_{3}}+\cdots

on yhtä suuri

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_ {2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Nämä kertoimet näkyvät myös Bell - polynomeissa , jotka ovat merkityksellisiä kumulanttien tutkimuksen kannalta .

Muistiinpanot

↑ Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (neopr.) . - Strasbourg: Levrault, 1800.

Linkit

Weisstein, Eric W. Faa di Bruno's Formula (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Luentomuistiinpanot Faa di Brunon kaavasta esimerkeineen .
V. A. Kudrjavtsev. Yleinen kaava jonkin funktion asteen n:nnelle derivaatalle // Matemaattinen koulutus . - M. - L .: ONTI , 1934. - Numero. 1 . - S. 24-27 .