Monotonisuuskaava

Monotonisuuskaava on klassinen minimipinnan lause . Hän toteaa erityisesti, että rajattoman minimaalisen pinnan ja pintaan keskitetyn pallon leikkauspinta-ala ei voi olla pienempi kuin samansäteisen ympyrän pinta-ala.

Sanamuoto

Oletetaan , että euklidisessa avaruudessa on -ulotteinen minimipinta ja . Merkitään vähimmäisetäisyydellä rajasta . $M$ $k$ $p\in M$ $R$ $s$ $M$

Sitten funktio

{\displaystyle r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m))))

kasvaa monotonisesti välissä ; tässä tarkoittaa -ulotteista aluetta ja on pallo, jonka säde on keskitetty . $[0,R]$ $\mathrm{S}$ $k$ $B_{r}(p)$ $r$ $s$

Seuraukset

Sillä , ja kuinka epätasa-arvo täyttyy formulaatiossa $M$ $s$ $R$ $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

osoitteessa ; tässä tarkoittaa yksikköpallon tilavuutta -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa.

r\leq R

\omega_{k}

k

Lisäksi jos on itseleikkauspiste $s$

\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},

osoitteessa .

r\leq R

Sovellukset

Ecolm ja White käyttivät monotonisuuskaavaa todistaakseen, että minimipinta, jonka kattaa ääriviiva, jonka kiertovaihtelu on 4π tai pienempi, on sisäkkäinen.
Brende ja Hung käyttivät yleistettyä monotonisuuskaavaa arvioidakseen minimaalisen pinnan leikkausalueen pallon kanssa, jonka keskipiste on pinnan ulkopuolella.

Kirjallisuus

S. Brandle, PK Hung. Aluerajat minimipinnoille, jotka kulkevat pallon määrätyn pisteen läpi // arXiv:1607.04631 [math.DG].

Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Minimaalisten pintojen upottaminen, joiden rajakaarevuus on enintään 4π // Ann . Math.. - 2002. - S. 209–234 .