Jakelutoiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Jakaumafunktio todennäköisyysteoriassa on funktio, joka luonnehtii satunnaismuuttujan tai satunnaisvektorin jakaumaa; todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x, missä x on mielivaltainen reaaliluku. Tietyissä olosuhteissa (katso alla ), määrittää täysin satunnaismuuttujan.

Määritelmä

Olkoon annettu todennäköisyysavaruus ja sille määritelty satunnaismuuttuja . Sitten satunnaismuuttujan jakaumafunktiota kutsutaan funktioksi , jonka kaava antaa: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\oikea)

Toisin sanoen satunnaismuuttujan jakaumafunktiota (todennäköisyyksiä) kutsutaan funktioksi , jonka arvo pisteessä on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys, eli tapahtuma , joka koostuu vain niistä alkeistuloksista, joille . $X$ $F(x)$ $x$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Ominaisuudet

$F_{X}$ jatkuva oikealla [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ ei vähene koko numerolivillä.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
Satunnaismuuttujan jakauma määrittää yksiselitteisesti jakautumisfunktion. $\mathbb {P} ^{X}$
- Päinvastoin on myös totta: jos funktio täyttää neljä yllä lueteltua ominaisuutta, niin sille on määritelty todennäköisyysavaruus ja satunnaismuuttuja siten, että se on sen jakaumafunktio. $F(x)$ $F(x)$
Oikean jatkuvuuden määritelmän mukaan funktiolla on oikea raja missä tahansa pisteessä ja se on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}(x)$
- Laskemattomuuden vuoksi funktiolla on myös vasen raja missä tahansa kohdassa , joka ei välttämättä ole sama kuin funktion arvo. Siten funktio on joko jatkuva pisteessä tai siinä on
ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuus . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}$

Identiteetit

Todennäköisyyden ominaisuuksista seuraa, että sellainen, että : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Diskreetit jakaumat

Jos satunnaismuuttuja on diskreetti, eli sen jakauman antaa yksiselitteisesti todennäköisyysfunktio $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots

silloin tämän satunnaismuuttujan jakaumafunktio on paloittain vakio ja voidaan kirjoittaa seuraavasti: $F_{X}$

F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}\leqslant x}p_{i}

Tämä funktio on jatkuva kaikissa pisteissä siten, että , ja sillä on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuus pisteissä . $x\in \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\kaikki i$ $x=x_{i},\;\forall i$

Jatkuvat jakelut

Jakauman sanotaan olevan jatkuva, jos sen jakaumafunktio on sellainen . Tässä tapauksessa: $\mathbb {P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

ja siksi kaavat näyttävät tältä:

\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

jossa tarkoittaa mitä tahansa väliä, avointa tai suljettua, äärellistä tai ääretöntä. $|a,b|$

Ehdottomasti jatkuvat jakelut

Jakauman sanotaan olevan ehdottoman jatkuva , jos lähes kaikkialla on olemassa ei-negatiivinen funktio (suhteessa Lebesguen mittaan ) siten, että: $\mathbb {P} ^{X}$ $f_{X}(x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

Funktiota kutsutaan jakautumistiheydeksi . Tiedetään, että ehdottoman jatkuva jakaumafunktio on jatkuva, ja lisäksi, jos , niin , ja $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Muunnelmia ja yleistyksiä

Joskus venäläisessä kirjallisuudessa otetaan tällainen jakautumisfunktion määritelmä:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\oikea)

Tällä tavalla määritelty jakautumisfunktio on jatkuva vasemmalla, ei oikealla.

Monimuuttujajakaumafunktiot

Olkoon kiinteä todennäköisyysavaruus ja satunnaisvektori. Silloin jakauma , jota kutsutaan satunnaisvektorin jakaumaksi tai satunnaismuuttujien yhteisjakaumaksi , on todennäköisyysmitta . Tämän jakauman tehtävä määritellään seuraavasti: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\oikea)

missä tässä tapauksessa tarkoittaa sarjojen karteesista tuloa . $\prod$

Moniulotteisten jakaumafunktioiden ominaisuudet ovat samanlaiset kuin yksiulotteisessa tapauksessa. Yksi-yhteen vastaavuus jakaumien ja monimuuttujajakaumafunktioiden välillä säilyy myös. Todennäköisyyksien laskentakaavat kuitenkin muuttuvat paljon monimutkaisemmiksi, ja siksi jakaumafunktioita käytetään harvoin . $\mathbb {R} ^{n}$ $n>1$

Katso myös

Todennäköisyystiheys

Muistiinpanot

↑ Shiryaev, A. N. Todennäköisyys. - M .: Nauka, 1980. - S. 45, 166.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani maailman ympäri
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4192219-0