Kuutiojäännöksen luonne

Kuutiojäännöksen luonne on kahden argumentin lukuteoreettinen funktio, joka on tehojäännössymbolin erikoistapaus . Se on myös hahmo yksinkertaisessa kentässä .

Kuutiojäännöksen luonne on analoginen Legendren symbolin kanssa, ja sen laskemiseen käytetään kuutiomaista vastavuoroisuuslakia , joka on analoginen neliöllisen vastavuoroisuuden lain kanssa .

Määritelmä

Päästää

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$ -

yhtenäisyyden kuutiojuuri .

Tarkastellaan D=Z[w] — Eisensteinin lukujen rengasta eli muodon lukuja

$\alpha =a+b\,\omega$ ,

missä a ja b ovat kokonaislukuja .

Antaa olla alkuluku renkaassa D normin kanssa siten, että . Tässä tapauksessa se on jaollinen kolmella. Määritellään kuutiojäännöksen luonne seuraavasti: $\pi$ $N(\pi )$ $N(\pi )\neq 3$ $N(\pi )-1$

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=0$ , jos jaollinen . $\alpha$ $\pi$
$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\alpha ^{(N(\pi )-1)/3}\mod \pi$ muuten.

Huomaa, että kun , ei jakamalla , kuutiojäännöksen luonteen arvo on yksi kolmesta arvosta: . $\pi$ $\alpha$ $\{1,\ \omega ,\ \omega ^{2}\}$

Vastavuoroisuuden kuutiolaki

Kutsumme sitä ensisijaiseksi , jos se on yksinkertainen D :ssä ja on kongruentti 2:n modulo 3:n kanssa. Olkoon ja ensisijainen, niin $\pi$ $\pi$ $\theta$

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\oikea)_{3}$

Muut kuutiojäännöksen luonteen ominaisuudet

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1$ jos ja vain jos vertailu on päätettävissä Z[ω]:ssa, eli jos ja vain jos on kuutiojäännös $x^{3}\equiv \alpha \mod {\pi }$ $\alpha$
Moninkertaisuus : $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\oikea)_{3} \cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}$
Jaksoisuus : jos , niin ${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod {\pi ))$ $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\oikea)_{3}$
Jos on ensisijainen, niin $\pi =-1+3(m+n\omega )$

$\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}$
$\left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}$

Viitteet

Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - Moskova: Mir, 1987.

Franz Lemmermeyer. Vastavuoroisuuden lait: Eulerista Eisensteiniin. - Springer Verlag, 2000. - ISBN 3-540-66957-4 .

Hahmot lukuteoriassa ja ryhmäteoriassa
Neliölliset merkit	Legendren symboli Jacobin symboli Kronecker-symboli - Jacobi
Tehojäämien merkit	Kuutiojäännöksen luonne Bikvadraattisen jäännöksen luonne Tehojäämän symboli