Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Pafnuty Lvovich Chebyshev

Nimi syntyessään

Pafnuty Lvovich Chebyshev

Syntymäaika

4. (16.) toukokuuta 1821 [1]

Syntymäpaikka

Akatovo , Borovsky Uyezd , Kalugan kuvernööri , Venäjän valtakunta

Kuolinpäivämäärä

26. marraskuuta ( 8. joulukuuta ) 1894 [1] (73-vuotias)

Kuoleman paikka

Pietari , Venäjän valtakunta

Maa

Venäjän valtakunta

Tieteellinen ala

matematiikka , mekaniikka

Työpaikka

Pietarin yliopisto

Alma mater

Moskovan yliopisto (1841)

Akateeminen tutkinto

Matematiikan ja tähtitieteen tohtori (1849)

Akateeminen titteli

Pietarin tiedeakatemian akateemikko (1859)

tieteellinen neuvonantaja

N.D. Brashman

Opiskelijat

E. I. Zolotarev , A. N. Korkin , A. M. Ljapunov , A. A. Markov , P. O. Somov , Yu. V. Sokhotsky

Tunnetaan

yksi modernin approksimaatioteorian perustajista

Palkinnot ja palkinnot

Nimikirjoitus

Työskentelee Wikisourcessa

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Pafnuty Lvovich Chebyshev (virheellinen Chebyshev ; 4. toukokuuta [16], 1821 , Okatovo , Kalugan maakunta , Venäjän valtakunta - 26. marraskuuta [ 8. joulukuuta 1894 , Pietari , Venäjän valtakunta ) - venäläinen matemaatikko ja mekaanikko , Pietarin perustaja matemaattinen koulu, akateemikko Pietarin tiedeakatemia ( avustaja vuodesta 1853, ylimääräinen akateemikko vuodesta 1859) [2] ja 24 muuta maailman akatemiaa [3] .

Chebyshev on "suurin 1800-luvun venäläisen matemaatikko N. I. Lobatševskin ohella" [4] . Hän sai perustavanlaatuisia tuloksia lukuteoriassa ( alkulukujen jakauma ) ja todennäköisyysteoriassa ( keskirajalause , suurten lukujen laki ), rakensi ortogonaalisten polynomien yleisen teorian, yhtenäisten approksimaatioiden teorian ja monia muita. Hän perusti mekanismien synteesin matemaattisen teorian ja kehitti useita käytännössä tärkeitä mekanismien käsitteitä.

Sukunimen ääntäminen ja oikeinkirjoitus

Tiedemiehen nimi - hänen omien ohjeidensa mukaan - lausutaan "Chebyshov" [5] ; 1800-luvulla tämän vanhan aatelissuvun tällainen ääntäminen (kirjoitettu silloin - perinteisen e/e :n erottamattomuuden olosuhteissa kirjallisesti - nimellä "Chebyshev") oli hyvin yleinen [6] (oletetaan, että tämä sukunimi sen alkuperä on lyhyt possessiivinen adjektiivi, joka on muodostettu antroponyymistä Chebysh painottaen päätettä vinotapauksissa ja varren viimeistä tavua nominatiivissa [7] ).

1900-luvulla johtuen taipumuksesta erottaa sukunimet -ov / -ev alkuperäisistä omistusadjektiiveista [6] ja edelleen laajalle levinnyt erottamattomuus kirjaimessa e / e , virheellinen ääntäminen "Chebyshev" (painottaen ensimmäistä tavu) yleistyi melko laajalti – huolimatta selkeistä suosituksista arvovaltaisista lähteistä [8] [9] . Neljäs painos akateemisesta "Russian Spelling Dictionary" -sanakirjasta (2013) [10] , painosanakirja "Proper Names in Russian" (2001) [11] ja akateemiset erikoisjulkaisut [12] [13] käyttävät johdonmukaisesti ё -kirjainta nimiä siirrettäessä ja nimet, korjaa Chebyshevin oikeinkirjoitus ja ääntäminen oikeinkirjoitus- ja ortoeettiseksi normiksi [14] .

Elämäkerta

Pafnuty Chebyshev syntyi 4. toukokuuta ( 16. ) 1821 Okatovon kylässä, Borovskin piirissä, Kalugan maakunnassa (nykyinen Akatovo kylä , Zhukovsky piiri , Kalugan alue) varakkaan maanomistajan, vanhan venäläisen kansan edustajan perheeseen. Tšebyševien aatelissuku , Lev Pavlovich Chebyshev , joka osallistui vuoden 1812 isänmaalliseen sotaan ja Pariisin valtaukseen vuonna 1814 [15] [16] .

Syntymäaika on annettu V. E. Prudnikovin löytämän merkinnän mukaisesti Kalugan maakunnan Spas-Prognanyen kylässä sijaitsevan Herran kirkastumisen kirkon metrikirjasta [17] [18] (monit lähteet kertovat [19 ] ] [2] päivämäärä 14 (26) toukokuuta , jonka K. A. Posse on ilmoittanut artikkelissa "Chebyshev, Pafnuty Lvovich" Brockhausin ja Efronin tietosanakirjasta [20] ). Chebyshevillä oli neljä veljeä ja neljä sisarta. Hänen nuoremmat veljensä tulivat kuuluisiksi tykistömiehinä: yksi heistä oli Kronstadtin linnoituksen tykistöpäällikkö, toinen oli tiedemies, Venäjän aseiden perustaja, Tykistöakatemian kunniaprofessori [ 21] .

Hän sai alkuperäisen kasvatuksensa ja koulutuksensa kotona: hänen äitinsä Agrafena Ivanovna opetti hänelle lukutaitoa, laskutaitoa ja ranskaa - hänen serkkunsa Avdotya Kvintilianovna Sukhareva. Lisäksi Pafnutiy opiskeli musiikkia lapsuudesta lähtien [22] . Yksi tulevan tiedemiehen lapsuuden harrastuksista oli lelujen ja automaattien mekanismien tutkiminen, ja hän itse keksi ja teki ne. Tämä kiinnostus mekanismeihin säilyi Tšebyševin kypsinä vuosina [23] .

Vuonna 1832 perhe muutti Moskovaan jatkamaan kasvavien lastensa koulutusta. Moskovassa yhdessä Paphnutiuksen kanssa matematiikkaa ja fysiikkaa opiskeli P. N. Pogorelski , yksi Moskovan parhaista opettajista, jonka kanssa hän opiskeli myös Weidenhammerin sisäoppilaitoksessa , ja I. S. Turgenev [19] [24] . Pafnuty Chebyshev opetti latinaa tuolloin lääketieteen opiskelija ja tulevaisuudessa Sheremetev-sairaalan ylilääkäri A. T. Tarasenkov , jonka kanssa Pafnutyn sisar Elizaveta Chebysheva meni myöhemmin naimisiin [25] [26] .

Kesällä 1837 Chebyshev aloitti matematiikan opinnot Moskovan yliopistossa filosofian tiedekunnan toisessa fysiikan ja matematiikan laitoksessa. Hänen opettajansa, Moskovan yliopiston soveltavan matematiikan ja mekaniikan professori Nikolai Dmitrievich Brashman vaikutti merkittävästi nuoren Tšebyševin tieteellisten kiinnostuksen kohteiden muodostumiseen ; Erityisesti hänen ansiostaan Chebyshev tutustui ranskalaisen insinöörin Jean-Victor Poncelet'n [19] töihin (tunnetaan erityisesti teoksistaan "Mekaniikan kurssi koneisiin" (1826) ja "Johdatus teollisuuteen, fysikaalinen tai kokeellinen mekaniikka" (1829)).

Lukuvuonna 1840/1841 opiskelijakilpailuun osallistuessaan Chebyshev sai hopeamitalin työstään n:nnen asteen yhtälön juurien löytämiseksi (itse teoksen hän kirjoitti jo vuonna 1838 ja tehtiin Newtonin algoritmi ) [27] [28] .

Vuonna 1841 Pafnuty Chebyshev valmistui keisarillisesta Moskovan yliopistosta. Tällä hetkellä hänen vanhempiensa asiat johtuivat vuonna 1840 huomattavan osan Venäjää valtaavasta nälänhädästä, eikä perhe voinut enää taloudellisesti tukea poikaansa. Yliopistosta valmistunut jatkoi kuitenkin äärimmäisen ahtaasta taloudellisesta tilanteestaan huolimatta sinnikkäästi tieteen harjoittamista [29] [30] . Vuonna 1846 hän puolusti menestyksekkäästi diplomityönsä "Yritys todennäköisyysteorian alkeisanalyysiin" [31] .

Vuonna 1847 Chebyshev hyväksyttiin apulaisprofessoriksi Pietarin yliopistoon . Saadakseen luento-oikeuden yliopistossa hän puolusti toisen väitöskirjan - aiheesta "Integraatiosta logaritmeilla", jonka jälkeen hän luennoi korkeammasta algebrasta , lukuteoriasta , geometriasta , elliptisten funktioiden teoriasta ja käytännön mekaniikasta [32] [ 33] . Useammin kuin kerran hän opetti myös todennäköisyysteorian kurssin poistaen siitä epämääräiset sanamuodot ja laittomat lausunnot ja muuttaen siitä tiukan matemaattisen tieteenalan [34] .

Vuonna 1849 Chebyshev puolusti väitöskirjaansa " Vertailuteoria " Pietarin yliopistossa, minkä jälkeen hänestä tuli vuonna 1850 Pietarin yliopiston professori; hän toimi tässä tehtävässä vuoteen 1882 [5] . Työskennellessään Pietarin yliopistossa Chebyshev ystävystyi sovelletun matematiikan professorin O. I. Somovin kanssa, joka oli myös N. D. Brashmanin opiskelija , ja nämä suhteet kasvoivat syväksi ystävyydeksi. Perheen kannalta Tšebyshev oli yksinäinen, ja tämä seikka vaikutti myös hänen lähentymiseensa suureen Somovin perheeseen [35] .

Vuonna 1852 Chebyshev teki tieteellisen matkan Isoon-Britanniaan, Ranskaan ja Belgiaan, jonka aikana hän tutustui ulkomaisen konetekniikan käytäntöön, museokokoelmiin koneita ja mekanismeja, tehtaiden ja tehtaiden työhön ja tapasi myös suuria matemaatikot ja mekaanikot: O. Cauchy , J. Liouville , J.-A. Serret , L. Foucault , C. Hermite , J. Sylvester , A. Cayley , T. Gregory. Sen jälkeen hän opetti jonkin aikaa käytännön mekaniikkaa Pietarin yliopistossa ja Aleksanterin lyseumissa [36] [37] .

Vuonna 1853 akateemikot P. N. Fuss , V. Ya. Struve , B. S. Yakobi , V. Ya. Bunyakovsky esittelivät Tšebyševin valittavaksi Pietarin tiedeakatemian apulaisprofessoriksi korostaen hänen työnsä merkitystä käytännön mekaniikan alalla. . Samana vuonna hänet valittiin adjunktioon, ja vuonna 1856 hänestä tuli poikkeuksellinen akateemikko. Vuonna 1858 akateemikot V. Ya . Bunyakovskii , M. .Kh E.,V. Ostrogradskii allekirjoittivat saranoitujen suunnikasten teoriaa ja funktioiden approksimaatioteoriaa koskevan työnsä yhteydessä esityksen Tšebyshevin valintaa varten. tavallinen akateemikko, mikä tapahtui seuraavana vuonna [38] . Moskovan yliopiston kunniajäsen (1858) [39] . 22. helmikuuta 1860 alkaen - tavallinen professori; 10. heinäkuuta 1863 alkaen - opetusministeriön tieteellisen komitean jäsen ; 30. elokuuta 1863 alkaen - todellinen valtionvaltuutettu [40] .

Vuonna 1863 erityinen "Chebyshev Commission" otti aktiivisesti osaa Pietarin yliopiston neuvostosta yliopiston peruskirjan kehittämiseen . Aleksanteri II : n 18.6.1863 allekirjoittama yliopiston peruskirja myönsi yliopistolle autonomian professoriyhteisönä. Tämä peruskirja oli olemassa Aleksanteri III :n hallituksen vastauudistusten aikakauteen asti, ja historioitsijat pitivät sitä liberaalimpana ja menestyneimpänä yliopistomääräyksenä Venäjällä 1800- ja 1900-luvun alussa [41] .

P. L. Chebyshev kuoli 26. marraskuuta ( 8. joulukuuta ) 1894 pöytänsä ääressä [42] . Hänet haudattiin synnyintilalleen Spas-Prognanyen kylään (nykyinen Žukovskin alue Kalugan alueella) Herran kirkastumisen kirkon kellariin , vanhempiensa hautojen viereen [43] [44 ] ] .

Tieteellinen toiminta

Matematiikka

P. L. Chebyshevin tärkeimmät matemaattiset tutkimukset liittyvät lukuteoriaan , todennäköisyysteoriaan , funktioiden approksimaatioteoriaan , matemaattiseen analyysiin , geometriaan , soveltavaan matematiikkaan [2] .

Chebyshevin luova menetelmä erottui halusta yhdistää matematiikan ongelmat luonnontieteen ja tekniikan kysymyksiin sekä yhdistää abstraktia teoriaa käytäntöön [45] . Tiedemies huomautti: "Teorian lähentyminen käytäntöön antaa hyödyllisimmät tulokset, eikä vain käytäntö hyötyy tästä: tieteet itse kehittyvät sen vaikutuksen alaisena: se avaa uusia aiheita tutkimukselle tai uusia näkökohtia aiheissa, jotka tunnetaan kauan .. . Jos teoria hyötyy paljon vanhan menetelmän uusista sovelluksista tai sen uudesta kehityksestä, niin se saa vielä enemmän uusia menetelmiä keksimällä, ja tässä tapauksessa tieteet löytävät todellisen oppaansa käytännössä” [46] .

Numeroteoria

Tšebyshevin lukuisista löydöistä on ensinnäkin mainittava lukuteoriaa koskevat teokset . He aloittivat Chebyshev'n väitöskirjalla "Vertailuteoria", joka julkaistiin vuonna 1849; siitä tuli ensimmäinen kansallinen lukuteorian monografia. Tämä teos painettiin useita kertoja, käännettiin saksaksi ja italiaksi [47] .

Vuonna 1851 ilmestyi hänen kuuluisa muistelmakirjansa "Alkulukujen määrän määrittämisestä, jotka eivät ylitä annettua arvoa" [48] . Tähän mennessä tiedettiin todistamaton Legendren arvelu , jonka mukaan alkulukujen jakaumafunktio on suunnilleen yhtä suuri kuin $\pi(x)$

\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln x-1{,}08366)).

Chebyshev löysi paljon paremman likiarvon - integraalilogaritmin (tämän oletuksen teki ensin Gauss kirjeessään Enckelle (1849), mutta ei pystynyt perustelemaan sitä):

\pi (x)\approx \operatorname {li} x\equiv \int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t)).

Chebyshev osoitti, että suhteen raja , jos se on olemassa, ei voi olla eri kuin 1, ja antoi arvion mahdollisista poikkeamista integraalilogaritmista. Hän osoitti myös, että jos suhteen raja on olemassa, niin se on yhtä suuri kuin 1. Hän ei kuitenkaan pystynyt todistamaan näiden rajojen olemassaoloa. Myöhemmin (vuonna 1896) J. Hadamard ja Ch. J. de Vallée-Poussin [49] [50] osoittivat molempien rajojen olemassaolon - toisistaan riippumatta . $\pi (x)/\operaattorin nimi {li} x$ $\pi(x)$ ${\näyttötyyli \pi (x)/(x/\ln x)}$

Tämä muistelma toi 30-vuotiaalle Chebysheville koko Euroopan mainetta. Seuraavana vuonna 1852 Chebyshev julkaisi uuden artikkelin "Alkuluvuista". Siinä hän suoritti syväanalyysin sarjojen konvergenssista alkuluvuista riippuen ja löysi kriteerin niiden lähentymiselle. Näiden tulosten soveltamiseksi hän todisti ensin " Bertrandin postulaatin " ( J. L. Bertrandin oletuksen , että luonnollisten lukujen ja välillä on ainakin yksi alkuluku) ja antoi uuden, erittäin tarkan arvion : $n>3$ $n$ $2n-2$ $\pi(x)$

0{,}92129<{\frac {\pi (x)}{x/\ln x))<1{,}10555.

(tätä epätasa-arvoa vahvistivat myöhemmin jonkin verran J. Sylvester ja I. Shur ) [23] [47] [49] .

Chebyshev teki paljon työtä teorian toisen asteen muodot ja siihen liittyvät ongelmat jaollisuus luonnollisten lukujen ja niiden hajoaminen osaksi alkutekijöitä . Vuonna 1866 julkaistussa artikkelissaan "On an Aritmetic Question" hän tutki jatkuvien murtolukujen laitteistoa käyttäen kokonaislukujen diofantiinilikiarvoja [ 51] . Analyyttisessä lukuteoriassa hän oli yksi ensimmäisistä, joka käytti gammafunktiota [52] .

Todennäköisyysteoria

Chebyshevistä tuli ensimmäinen maailmanluokan venäläinen matemaatikko myös todennäköisyysteoriassa . Vuodesta 1860 lähtien hän korvasi V. Ya. Bunyakovskyn Pietarin yliopiston todennäköisyysteorian laitoksella ja aloitti luentojaksonsa. Hän julkaisi vain neljä teosta tästä aiheesta, mutta luonteeltaan perustavanlaatuisia. Artikkelissa "Keskiarvoista" (1866) " Tšebyshevin eriarvoisuus " todettiin ensin, mitä Markov vahvisti myöhemmin :

\mathbb {P} {\big (}{\big |}xM[x]{\big |}\geqslant k\sigma {\big )}\leqslant {\frac {1}{k^{2 }}}.

Tämä kaava tarkoittaa, että minkä tahansa satunnaismuuttujan todennäköisyys poiketa sen keskiarvosta ( matemaattinen odotus ) enemmän kuin standardipoikkeama ( ) ei ylitä . Esimerkiksi, jos poikkeama on suurempi kuin 1, sen todennäköisyys on enintään 1/25, eli 4%. $x$ $M[x]$ $k$ $\sigma$ $1/k^{2}$ $5\sigma$

Vaikka tämän epätasa-arvon julkaisi ensimmäisenä (ilman todisteita) I.-J. Bienheimille annettiin vuonna 1853 nimi "Tšebyshevin epätasa-arvo" - suurelta osin siksi, että P. L. Chebyshev ei ainoastaan antanut tämän epätasa-arvon johtamista, vaan myös onnistuneesti sovelsi sitä ratkaisemaan tärkeän ongelman - suurten lukujen lain perustelun [53] . .

Nimittäin tämän epätasa-arvon seurauksena Chebyshev sai äärimmäisen yleisen muotoilun suurten lukujen laista : jos satunnaismuuttujien sarjan matemaattiset odotukset ja niiden neliöiden matemaattiset odotukset ovat rajalliset, niin satunnaismuuttujien aritmeettinen keskiarvo on rajallinen. nämä suuret konvergoivat kasvun myötä heidän matemaattisten odotustensa aritmeettiseen keskiarvoon. Tästä lauseesta saadaan Bernoullin ja Poissonin lauseiden seuraus ; Chebyshev oli ensimmäinen, joka arvioi tarkasti näiden lauseiden ja muiden likiarvojen tarkkuuden [54] . $n$ $n$

Samassa artikkelissa P. L. Chebyshev perusteli ensimmäistä kertaa selvästi nykyään yleisesti hyväksyttyä näkemystä satunnaismuuttujan käsitteestä yhtenä todennäköisyysteorian peruskäsitteistä [55] .

Vuonna 1887 ilmestyi Chebyshevin artikkeli "Kahdesta todennäköisyyksiä koskevasta lauseesta". Tässä työssä hän totesi, että tietyissä (melko yleisissä) olosuhteissa keskeinen rajalause on tosi : suuren määrän riippumattomien satunnaismuuttujien summa, joilla ei ole matemaattisia odotuksia (esimerkiksi mittausvirheitä) jakautuu likimäärin normaalin mukaan. lakia, ja mitä tarkemmin, sitä enemmän termejä summassa . Yleisesti ottaen tämä tulos ylittää huomattavasti Moivre-Laplacen lauseen ja kaikki sen analogit [56] . Lauseen todistetta etsiessään Tšebyšev kehitti - normaalijakauman konvergenssin tapaukselle - menetelmän, joka tunnetaan nykyään momenttimenetelmänä , eli menetelmän todennäköisyysjakauman määrittämiseksi momenttien kesken [57 ] [58] .

Todistaessaan versiotaan keskusrajalauseesta Tšebyshev teki loogisen aukon: kävi ilmi, että lauseen sovellettavuuden Tšebyševin esitettyjen ehtojen lisäksi tulisi vaatia myös varianssien aritmeettista keskiarvoa . äärettömyydellä on rajansa. Tämän puutteen korjasi pian A. A. Markov [57] . $n$

Molemmat Chebyshevin lauseet ovat keskeisessä asemassa todennäköisyysteoriassa. Erityisen tärkeää on se, että Chebyshev ei ainoastaan osoittanut rajoittavaa jakaumaa, vaan molemmissa tapauksissa analysoi yksityiskohtaisesti mahdollisten poikkeamien rajoja tästä rajasta [59] . P. L. Chebyshevin tutkimusta jatkoivat hänen opiskelijansa, ensisijaisesti A. A. Markov ja A. M. Ljapunov [57] .

Funktioapproksimaatioteoria

Vaikka funktioiden approksimaatioteorialla on melko rikas esihistoria, tämän matematiikan alan varsinainen historia lasketaan yleensä vuodesta 1854, jolloin P. L. Chebyshevin artikkeli "Theory of Mechanisms Known as Parallelograms" julkaistiin. Siitä tuli ensimmäinen tiedemiehen teosten sarjasta "funktioista, jotka poikkeavat vähiten nollasta" (Tšebyshev omisti neljäkymmentä vuotta tämän alan tutkimukselle) [60] [61] .

Mainitussa artikkelissa Chebyshev tuli siihen tulokseen, että analyyttisen funktion approksimointiin tietyllä aikavälillä tietyn asteen algebrallisella polynomilla Taylorin kaava ei ole tarpeeksi tehokas, ja hän esitti yleisen ongelman löytää paras yhtenäinen. approksimaatio polynomin tietylle jatkuvalle funktiolle [62] . Toiminnon nollasta poikkeaman mittaamiseksi hän otti arvon $f$ $[a,b]$ $f$

\max _{x\in [a,b]}|f(x)|;

nyt sitä kutsutaan joko (Tšebyševin mukaan) poikkeamaksi nollasta [63] tai funktion Tšebyševin normiksi [64] . Itse asiassa puhumme yhtenäisestä metriikasta jatkuvien funktioiden avaruudessa välissä ; tässä metriikassa arvo otetaan funktioiden ja välisen eron mittana $f$ $C[a,b]$ $X\equiv [a,b]$ $f$ $g$

d(f,g)=\max \limits _{X}|f(x)-g(x)|.

Tämän mukaisesti enintään asteisten polynomien joukossa funktion parhaan yhtenäisen approksimoinnin polynomi on sellainen polynomi , jolle erotuksen Tšebyševin normi on minimaalinen [64] [65] . $n$ $f$ $U$ $fU$

Chebyshev määritti tällaiselle polynomille ominaisen ominaisuuden: polynomi on polynomi, jolla on paras yhtenäinen approksimaatio, jos ja vain jos segmentissä on sellaisia pisteitä , joissa niiden erotus saa vuorotellen maksimi- ja minimiarvonsa, jotka ovat yhtä suuret absoluuttisesti. arvo ( Tšebyshevin vuorottelun pisteet ). Myöhemmin, vuonna 1905, E. Borel todisti parhaan yhtenäisen approksimation polynomin olemassaolon ja ainutlaatuisuuden [64] [66] . 1900-luvun puolivälistä lähtien parhaita approksimaatiopolynomeja on käytetty melko usein standarditietokoneohjelmissa perus- ja erikoisfunktioiden laskemiseen [67] . $U$ $[a,b]$ $n+2$ $X_{i}$ $fU$

Chebyshev sai samanlaisen tuloksen jatkuvan funktion parhaalle yhtenäiselle approksimaatiolle rationaalisilla murtoluvuilla , joilla on osoittajan ja nimittäjän kiinteä potenssi [66] .

P. L. Chebyshev esitti ja ratkaisi ongelman löytää polynomeja, jotka poikkeavat vähiten nollasta : segmentillä nämä ovat sellaisia astepolynomeja, joiden kerroin on 1 korkeimmalla termillä, joille poikkeama nollasta tietyllä segmentillä on minimaalinen. Kävi ilmi, että ratkaisu tähän ongelmaan on polynomit , joiden Chebyshev-normi on yhtä suuri (ne eroavat vain numeerisella kertoimella ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomeista ). Polynomit, jotka poikkeavat vähiten nollasta mielivaltaisella välillä, saadaan niistä, joita tarkastellaan riippumattoman muuttujan lineaarisella muutoksella [68] [69] . $[-1,1]$ $n$ ${\overline {T}}_{n}(x)=T_{n}(x)/2^{n-1}$ $1/2^{n-1}$ $[a,b]$

P. L. Chebyshevin esittämiä polynomeja, jotka poikkeavat vähiten nollasta, on käytetty erityisesti laskennallisessa lineaarisessa algebrassa . Nimittäin 1950-luvulta lähtien, kun ratkaistiin muotoisia lineaarisia yhtälöjärjestelmiä symmetrisellä positiivisella määrätyllä matriisilla , Tšebyševin iteratiivinen menetelmä on yleistynyt . Tämä on muunnos yksinkertaisten iteraatioiden menetelmästä yksinkertaisimmassa muodossaan, jolla on muoto $kirves = b$ $A$

x^{k+1}=x^{k}-\tau _{k}\,(Ax^{k}-b),\quad k=0,1,\dots

( on seuraava approksimaatio järjestelmän tarkalle ratkaisulle), ja parametrit valitaan sillä ehdolla, että likimääräisen ratkaisun virhesuhteen tulisi pienentyä mahdollisimman nopeasti seuraavan iteraatiosyklin aikana ( ennakolta annettu). Kävi ilmi, että jos ja ovat matriisin ominaisarvojen ala- ja ylärajat , niin jokaisella syklillä sen jälkeen on otettava luvut, jotka ovat käänteislukuja sen polynomin juurien arvojen kanssa, joka poikkeaa vähiten nollasta. segmentti (tässä tapauksessa laskennan vakauden varmistamiseksi juuria ei oteta peräkkäin, vaan ne järjestetään uudelleen erityisellä tavalla) [70] [71] . Tämä menetelmä on löytänyt tärkeimmät sovellukset elliptisten raja -arvoongelmien numeerisessa ratkaisussa [72] . $x^{k}$ $\tau_{k}$ $N$ $N$ $m$ $M$ $A$ $\tau_{k}$ $[m, M]$

Tämä ja sitä seuraavat Chebyshevin teokset olivat erittäin omaperäisiä sekä ongelmien muotoilun että ehdotettujen ratkaisumenetelmien suhteen. Tšebyševin ehdottama funktion approksimaatioongelman muotoilu eroaa merkittävästi toisesta hyvin tunnetusta lähestymistavasta, kun kahden funktion välisen eron arvioimiseksi käytetään usein jotain keskimääräistä ominaisuutta näiden funktioiden erolle - esim . Lebesguen metriikka [73] : $f$ $g$

d(f,g)={\sqrt {\int \limits _{X}(f(x)-g(x))^{2}\,\mu (dx)))

( parhaan neliökeskiarvon ongelma ) [74] [75] .

Tšebyshevin lähestymistapa eroaa siinä, että kahden funktion läheisyyden kriteeriksi ei oteta keskiarvoa, vaan niiden maksimieroa (funktioiden eron Tšebyševin normi). Tämä lähestymistapa on edullinen monissa käytännön tilanteissa - esimerkiksi kun mekanismi on toiminnassa, jopa lyhytaikainen merkittävä nykyisten parametrien poikkeama standardeista voi johtaa sen suorituskyvyn heikkenemiseen tai jopa tuhoutumiseen [76] . Samanlaisia vaatimuksia asettavat kartografia (kartan mittakaavan maksimivääristymän tulee olla pieni), tarkan kellokoneiston mekaniikka jne. [77] .

Kartografiaa varten Chebyshev muotoili vuonna 1856 lauseen: "edullisin konforminen projektio maan pinnan jonkin osan kuvaamiseksi kartalla on sellainen, jossa mittakaava säilyttää saman arvon kuvan reunalla." 38 vuotta myöhemmin Chebyshevin oppilas D. A. Grave onnistui todistamaan sen ; nyt tätä lausetta kutsutaan Chebyshev-Grave -lauseeksi ja konformisia projektioita, jotka täyttävät sen ehdot, kutsutaan Chebyshev-projektioksi [78] [79] .

1900-luvun alussa Tšebyshevin ja hänen koulunsa teoksissa kehitetty teoria funktioiden parhaan lähentämisestä kasvoi rakentavaksi funktioteoriaksi . Samaan aikaan D. Jacksonin (1911) ja S. N. Bernshteinin (1912) teosten ilmestyessä painopiste siirtyi funktioiden yksittäisten approksimaatioiden ongelmista polynomien approksimaatiovirheiden käyttäytymisen tutkimukseen. kun ne lähestyvät ääretöntä [80] [81] . $n$

P. L. Chebyshev harjoitti myös klassista funktioiden approksimointimenetelmää - interpolointia . Vuonna 1859 hän osoitti työssään "Kysymyksiä funktioiden likimääräiseen esitykseen liittyvistä pienimmistä arvoista", että interpolointivirhe intervalleilla annetulle funktiolle on minimaalinen, jos käytetään ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomien juuria. interpolointisolmuina [82] . $[-1,1]$ $T_{n}(x)$

Matemaattinen analyysi ja geometria

Chebyshev omisti muistelmansa vuodelta 1860 [83] integraalilaskennan ongelmille , joissa tietylle polynomille rationaalisilla kertoimilla annetaan algoritmi sellaisen luvun määrittämiseksi, että lauseke integroidaan logaritmeihin ja vastaavan integraalin laskemiseen . $x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta$ $A$ ${\frac {x+A}{\sqrt {x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta ))}$

Chebyshevin toiminnan viimeisen ajanjakson töihin kuuluu tutkimus "Integraalien raja-arvoista" ("Sur les valeurs limites des intégrales", 1873). Hänen oppilaansa kehittivät sitten täysin uusia tutkijan täällä esittämiä kysymyksiä. Tšebyševin viimeinen muistelma vuonna 1895 kuuluu samalle alueelle.

Chebyshev omistaa lauseen differentiaalibinomiaalin integroitavuuden ehdoista , joka julkaistiin vuoden 1853 muistelmassa "Irrationaalisten differentiaalien integroinnista". Lauseen mukaan integraali

\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,{\rm {d}}x\;

missä , , ovat rationaalilukuja, ilmaistaan alkeisfunktioissa vain kolmessa tapauksessa (tunnetaan jo 1700-luvulla) [84] [85] : $m$ $n$ $s$

$s$ on kokonaisluku;
${\frac {m+1}{n))$ on kokonaisluku;
${\frac {m+1}{n}}\,+\,s$ on kokonaisluku.

Vuonna 1882 P. L. Chebyshev osoitti, että monotonisille funktioille , jotka on annettu aikavälillä ja joilla on ei-negatiiviset arvot, pätee seuraava epäyhtälö: $[a,b]$ $f$ $g$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\,\int \limits _{a}^{b}g(x)\,{\rm { d}}x\,\;\leqslant \;\,(ba)\,\int \limits _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,{\rm {d}} x\;

ja samanlainen eriarvoisuus

\sum _{k=1}^{n}\,a_{k}\,\sum _{k=1}^{n}\,b_{k}\;\leqslant \;n\,\sum _ {k=1}^{n}\,a_{k}\,b_{k}

pätee myös ei-negatiivisten lukujen äärellisiin monotonisiin sarjoihin . Nyt näitä molempia epätasa-arvoja kutsutaan Chebyshevin epätasa-arvoiksi [86] .

Monet P. L. Chebyshevin saavuttamat tärkeät tulokset liittyvät matemaattisen analyysin toiseen osaan - ortogonaalisten polynomien teoriaan ; ne saatiin funktioiden approksimaatioteorian tutkimusten läheisessä yhteydessä. Vuonna 1854 kirjassaan The Theory of Mechanisms Tunnetaan nimellä Parallelograms Chebyshev esitteli 1. ja 2. tyypin Chebyshev-polynomit ja alkoi tutkia niiden ominaisuuksia (nämä olivat ensimmäiset klassisten ortogonaalisten polynomien järjestelmät, jotka seurasivat A. M. Legendren vuonna 1999 käyttöön ottamia järjestelmiä). 1785 Legendren polynomien mukaan ) [87] [88] . $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Vuonna 1859 Chebyshev esitteli artikkelissa "Yhden muuttujan funktioiden laajentamisesta" kaksi uutta klassisten ortogonaalisten polynomien järjestelmää. Nykyään ne tunnetaan Chebyshev-Hermite-polynomeina (tai Hermite-polynomeina ) ja Chebyshev-Laguerre-polynomeina (tai Laguerren polynomeina ) [80] ; Nimet liittyvät siihen, että myöhemmin näitä polynomeja tutkivat vastaavasti C. Hermite (1864) [89] ja E. Laguerre (1878) [90] . Kaikilla yllä olevilla ortogonaalisten polynomien järjestelmillä on tärkeä rooli matematiikassa, ja niillä on erilaisia sovelluksia. Samaan aikaan Chebyshev kehitti jatkuvien murtolukujen laitteiston perusteella yleisen teorian mielivaltaisen funktion laajentamisesta sarjaksi ortogonaalisten polynomien mukaan [91] .

Pintojen differentiaalinen geometria oli aiheena Chebyshevin artikkelissa epätavallisella otsikolla "Vaatteiden leikkaamisesta" (1878); siinä tiedemies esitteli uuden luokan koordinaattiverkkoja, nimeltään " Chebyshev-verkot " [92] .

Soveltava matematiikka

Tšebyshev osallistui neljänkymmenen vuoden ajan aktiivisesti sotilastykistöosaston työhön (vuodesta 1855 - sotatieteellisen komitean tykistöosaston täysjäsen, vuodesta 1859 - väliaikaisen tykistökomitean täysjäsen) ja työskenteli parantamaan tykistötulen kantama ja tarkkuus käyttäen todennäköisyysteorian kokeellisten ampumismenetelmien tuloksia. Ballistiikan kursseilla Chebyshevin kaava on säilynyt tähän päivään asti ammuksen lentoetäisyyden laskemiseksi riippuen sen heittokulmasta, alkunopeudesta ja ilmanvastuksesta tietyllä alkunopeudella. Tšebyshev vaikutti töillään suuresti Venäjän tykistötieteen kehitykseen, tykistötieteilijöiden tutustuttamiseen matematiikkaan [93] [94] .

Läheisessä yhteydessä Tšebyševin työhön väliaikaisessa tykistökomiteassa olivat hänen tutkimuksensa kvadratuurikaavoista . Näiden tutkimusten aikana hän ehdotti vuonna 1873 uudentyyppisiä kvadratuurikaavoja ( Tšebyshevin kvadratuurikaavoja ). Nämä kaavat täyttävät painojen yhtäläisyyden lisävaatimuksen ja mahdollistavat laskelmien yksinkertaistamisen ja niiden tilavuuden pienentämisen, sillä niillä on seuraava tärkeä ominaisuus: ne tarjoavat niistä lasketun integraalin likimääräisen arvon vähimmäisvarianssin (edellyttäen, että virheet solmut ovat riippumattomia ja niillä on sama varianssi ja matemaattinen odotusarvo nolla) [2] [95] . Chebyshev löysi eksplisiittisen muodon näistä kaavoista solmujen lukumäärälle ; Myöhemmin S. N. Bernshtein lisäsi niihin kaavan c ja osoitti, että sellaisia kaavoja ei ole olemassa ja [96] . $n=2,\pisteet,7$ $n = 9$ $n = 8$ $n\geqslant 10$

Mekaniikka

Mekaniikan alalla P. L. Chebyshev oli kiinnostunut sovelletun mekaniikan kysymyksistä ja erityisesti mekanismien teoriasta ; noin 15 tiedemiehen [97] [98] työtä on omistettu jälkimmäiselle . Hän ei kuitenkaan julkaissut yhtäkään teosta teoreettisen mekaniikan yleisistä kysymyksistä , mutta useissa opiskelijoidensa ( P. I. Somov , A. M. Lyapunov , D. A. Grave ) teoksissa, jotka liittyvät teoreettisen mekaniikan alaan, opettajansa ehdottamiin ideoihin. Itse asiassa P. L. Chebyshev johti M. V. Ostrogradskin kuoleman jälkeen alkuperäisen venäläisen mekaniikkakoulun Pietarin haaraa [36] .

Mitä tulee mekanismien teoriaan, tieteen historioitsijat nostavat tällä alueella kolme tieteellistä koulukuntaa, jotka kehittyivät Venäjällä 1800-luvun jälkipuoliskolla: P. L. Chebyshev Pietarissa (muodostettiin aikaisemmin kuin kaksi muuta), V. N. Ligin Odessassa. ja N. E. Žukovski Moskovassa. Chebyshevin kanssa käytyjen keskustelujen vaikutuksesta englantilaiset matemaatikot J. Sylvester ja A. Cayley [99] kiinnostuivat mekanismien kinematiikkaan liittyvistä ongelmista .

Synteesi mekanismeista

1850-luvulla Chebyshev kiinnostui nivelvivuisista mekanismeista, jotka auttavat lähentämään ympyräliikkeen muuntamista suoraviivaiseksi liikkeeksi ja päinvastoin. Tällaisten mekanismien joukossa on Wattin suunnikas , jonka yleishöyrykoneen keksijä J. Watt on suunnitellut vain muuntaakseen tangon suoraviivaisen edestakaisen liikkeen (joka on liitetty jäykästi höyrykoneen mäntään) tasapainottimen pään keinumiseksi. . 1800-luvun puoliväliin mennessä tällaisia mekanismeja tunnettiin vähän, niiden nivelten parametrit valittiin empiirisesti, kun taas eteenpäin suuntautuvan iskun väistämättömät epätarkkuudet johtivat kitkahäviöiden lisääntymiseen ja lenkkien nopeaan kulumiseen [100] [101] .

Chebyshev asetti tehtäväksi löytää tarkoituksellisesti halutun mekanismin parametrit siten, että tietyllä segmentillä mekanismin työpisteen liikeradan suurin poikkeama sen tangentista keskipisteessä poikkeaa vähiten nollasta muihin vastaaviin verrattuna. lentoradat. Ratkaisemalla tämän ongelman tutkija päätyi luomaan uuden osan funktioiden lähentämisen teoriasta - teorian funktioista, jotka poikkeavat vähiten nollasta . Chebyshev esitteli saavutetut tulokset työssään The Theory of Mechanisms Known as Parallelograms (1854), josta tuli mekanismien synteesin matemaattisen teorian perustaja [101] [76] .

Vähiten nollasta poikkeavien funktioiden teorian menetelmiä käytti myös P. L. Chebyshev töissään keskipakosäätimestä (jossa oli tarpeen varmistaa mekanismin liikkeen isokronisuus) ja hammaspyörissä (hammasprofiilin rakentamiseen ). ympyräkaarien avulla, mikä mahdollistaa pyörien kulmanopeuksien suhteen läheisyyden haluttuun arvoon) [98] .

Mekanismin rakenne

Chebyshev loi myös pohjan litteiden mekanismien rakenteen teorialle . Teoksessaan "On Parallelograms" (1869) hän johti vipumekanismeille, joissa on rotaatiokinemaattiset parit ja yksi vapausaste, rakennekaavan (tunnetaan nyt nimellä "Chebyshev-kaava" [102] ) - identiteetin, joka jokaisen tällaisen mekanismin täytyy tyydyttää:

{\näyttötyyli 3m-2(n+v)=1,}

missä on liikkuvien linkkien lukumäärä ja vastaavasti liikkuvien ja kiinteiden saranoiden lukumäärä. 14 vuoden kuluttua saksalainen mekaanikko M. Grübler löysi tämän kaavan uudelleen [76] [103] . Vuonna 1887 P. O. Somov , Chebyshevin oppilas, sai samanlaisen rakennekaavan spatiaalisille mekanismeille [104] . $m$ $n$ $v$

Mekanismin suunnittelu

Chebyshev loi yli 40 erilaista mekanismia ja noin 80 muunnelmaa. Niiden joukossa on pysäyttimiä, tasasuuntaajien ja kiihdyttimien mekanismeja ja vastaavia mekanismeja, joista monia käytetään nykyaikaisessa auto-, moottoripyörä- ja instrumenttien valmistuksessa [103] [105] .

P. L. Chebyshevin ehdottamien useiden mekanismien suunnittelussa hänen kehittämänsä mekanismien synteesimenetelmät löysivät ne toteutuksen. Tässä ensinnäkin kaksi likimääräistä ohjaavaa Chebyshev-mekanismia ansaitsevat maininnan , jotka kuuluvat nivellettyjen nelitankoisten linkkien luokkaan ja tunnetaan lambda -muotoisina ja ristinä . Näissä mekanismeissa tietyn kiertokangella sijaitsevan pisteen liikerata (lambda-muotoisella mekanismilla - kiertokangen päässä, poikittais - keskellä) poikkeaa hyvin vähän tietyllä alueella suora segmentti. Samanaikaisesti mekanismin, jossa on rotaatiokinemaattiset parit ja joka tarjoaa tarkan suoraviivaisen liikkeen yhdelle pisteelleen, linkkien vähimmäismäärä on 6 [106] [107] . $P$

Philadelphian maailmannäyttelyssä vuonna 1876 esiteltiin Chebyshevin suunnittelema höyrykone , jolla oli useita suunnitteluetuja [108] .

Chebyshevin luomien mekanismien joukossa on "jalkakävelykone " [ 109] , joka jäljitteli eläimen liikettä kävellessä [110] . Tämä kone esiteltiin menestyksekkäästi Pariisin maailmannäyttelyssä vuonna 1878, ja sitä säilytetään tällä hetkellä Moskovan ammattimuseossa [111] [112] .

Pyörätuolin malli - P. L. Chebyshevin rakentama skootterin tuoli, esiteltiin Chicagon maailmannäyttelyssä vuonna 1893 [113] , ja hänen keksimä automaattinen lisäyskone [110] , josta tuli ensimmäinen jatkuva lisäyskone [34] ] , säilytetään Pariisin taide- ja käsityömuseossa [105] . Skootterin tuolin lisäksi Chicagon näyttelyssä esiteltiin P. L. Chebyshevin keksimää lajittelukonetta (mekanismi viljan painon mukaan lajitteluun) ja seitsemää mekanismia pyörimisen muuttamiseksi muunlaiseksi liikkeeksi [114] .

Pedagoginen toiminta

Opetusministeriön akateemisen komitean jäsenenä (1856-1873) P. L. Chebyshev tarkasteli oppikirjoja, kokosi ohjelmia ja ohjeita ala- ja yläkouluille [23] [115] .

1800-luvun jälkipuoliskolla konetekniikan nopean kehityksen aiheuttama akuutti pätevän teknisen henkilöstön tarve nosti esiin kysymyksen koulutettujen koneinsinöörien määrän merkittävästä kasvusta ennen venäläistä korkeakoulua. Kiovan yliopiston professori I. I. Rakhmaninov ehdotti tällaisten insinöörien kouluttamista yliopistojen fysiikan ja matematiikan osastoille. P. L. Chebyshev vastusti tätä ehdotusta pitäen tarkoituksenmukaisempana keskittää insinöörien koulutus korkeampiin teknisiin oppilaitoksiin ja kouluttaa perustieteiden asiantuntijoita yliopistoissa . Juuri tätä polkua - polkua, jolla luodaan huomattava määrä eriprofiilisia teknisiä yliopistoja - venäläinen korkeakoulu kulki [116] .

Chebyshevin opiskelijat

Chebysheville Venäjän matemaattisen koulukunnan kehittäminen on aina ollut yhtä tärkeä kuin konkreettiset tieteelliset tulokset. Kuten B. V. Gnedenko ja O. B. Sheinin huomauttavat , "P. L. Chebyshev ei ollut vain hyvä luennoitsija, vaan myös upea tieteellinen neuvonantaja, jolla oli harvinainen kyky menestyksekkäästi valita ja esittää nuorille tutkijoille uusia kysymyksiä, joiden tarkastelu lupasi johtaa arvokkaisiin löytöihin” [117] . Chebyshevistä tuli yksi Moskovan matemaattisen seuran (perustettiin vuonna 1864, julkaisi ensimmäisen matemaattisen lehden Venäjällä - " Mathematical Collection ") vaikutusvaltaisimmista jäsenistä ja se antoi seuralle merkittävää apua [118] .

Lukuisat P. L. Chebyshevin opiskelijat antoivat merkittävän panoksen tieteeseen. Heidän joukossaan ovat tunnetut matemaatikot, mekaanikot ja fyysikot, kuten [51] [119] :

Chebyshev ja hänen oppilaansa muodostivat tuon matemaatikoiden tieteellisen ryhmän ytimen, joka lopulta tuli tunnetuksi Pietarin matematiikan kouluna. Vuonna 1890 tämän ryhmän jäsenet perustivat St. Petersburg Mathematical Societyn . Vuonna 1893 P. L. Chebyshev valittiin tämän seuran kunniajäseneksi.

Arvosanat ja muisti

Tiedemaailma arvosti Chebyshevin ansioita arvokkaalla tavalla. Hänen tieteellisten ansioidensa ominaisuudet ilmaistaan erittäin hyvin akateemikot A. A. Markovin ja I. Ya. Soninin muistiinpanossa, joka luettiin Akatemian ensimmäisessä kokouksessa Tšebyshevin kuoleman jälkeen. Tämä muistiinpano sanoo [120] :

Tšebyshevin teoksissa on nerouden jälki. Hän keksi uusia menetelmiä monien vaikeiden kysymysten ratkaisemiseksi, joita oli esitetty pitkään ja jotka jäivät ratkaisematta. Samalla hän nosti esiin useita uusia kysymyksiä, joiden kehittämisessä hän työskenteli päiviensä loppuun asti.

Samanlainen näkemys P. L. Tšebyševin tieteellisestä panoksesta oli myös muilla 1800-luvun tunnetuilla matemaatikoilla. Niinpä Charles Hermite väitti, että Tšebyshev "on venäläisen tieteen ylpeys ja yksi Euroopan suurimmista matemaatikoista", ja Gustav Mittag-Leffler kirjoitti, että Tšebyšev on nerokas matemaatikko ja yksi kaikkien aikojen suurimmista analyytikoista [121] .

Myöhemmin akateemikko V. A. Steklov totesi, että Tšebyševin nero on poikkeuksellinen esimerkki käytännön yhdistämisestä innostuneen ajattelun luovaan, yleistävään voimaan [122] .

Hänet valittiin jäseneksi:

Pietarin tiedeakatemia (1853),
Berliinin tiedeakatemia (1871) [110] ,
Bolognan tiedeakatemia (1873) [110] ,
Pariisin tiedeakatemia (1874; vastaava jäsen vuodesta 1860 [110] ; Tšebyshev jakoi tämän kunnian vain yhden venäläisen tiedemiehen, kuuluisan Baerin kanssa, joka valittiin vuonna 1876 ja kuoli samana vuonna) [123] ,
Royal Society of London (1877) [110] ,
Ruotsin tiedeakatemia (1893) [110]

ja muut - yhteensä 25 eri akatemiaa ja tiedeseuraa [121] . Chebyshev oli myös kaikkien Venäjän yliopistojen kunniajäsen; hänen muotokuvansa on kuvattu Pietarin valtionyliopiston matematiikan ja mekaniikan tiedekunnan rakennuksessa .

P. L. Chebyshev sai Pyhän Aleksanteri Nevskin , Pyhän Vladimir II asteen, Pyhän Annan I asteen ja Pyhän Stanislavin I asteen ritarikunnan. Vuonna 1890 hänelle myönnettiin myös Ranskan kunnialegioona [124] .

Nimetty P. L. Chebyshevin mukaan:

Neuvostoliiton tiedeakatemian vuonna 1944 perustama palkinto "Parhasta matematiikan ja mekanismien ja koneiden teorian tutkimuksesta" (vuodesta 1997 lähtien sitä on kutsuttu " P. L. Chebyshev Gold Medaliksi ");
kraatteri Kuussa ; _
asteroidi (2010) Chebyshev ;
matemaattinen lehti "Chebyshevsky collection" [125] ;
supertietokone Moskovan valtionyliopiston Research Computing Centerissä [126] ;
monet esineet modernissa matematiikassa;
Pietarin valtionyliopiston tutkimuslaboratorio [127] ;
Chebyshevskaya-katu Pietarissa ( Pietari ) , samoin kuin kadut Volgogradissa , Voronezhissa , Jekaterinburgissa , Kalugassa , Penzassa , Tverissä ;
vuorijono Huippuvuoren saarella [128] ;
peruskoulu Mashkovon kylässä, Žukovskin alueella, Kalugan alueella - naapurikylä, jossa on Tšebyševin perheen tila Spass-Proganjen kylässä ja hänen syntymäpaikkansa Akatovon kylässä [129] .
Pietarin hallituksen palkinto erinomaisista tieteellisistä tuloksista tieteen ja teknologian alalla: matematiikan ja mekaniikan nimityksessä - palkinto heille. P. L. Chebyshev [130] .
Kalugan alueen Žukovski-alueen Spas-Prognanskayan kunnallinen peruskoulu. Koulu järjesti P. L. Chebyshevin museon.

Pietarin akateemikoiden talon julkisivussa , joka sijaitsee osoitteessa: Vasilyevsky Islandin 7. rivi , 2/1, lit. Ja muistolaatta, jossa oli teksti: ”Akateemikko Panfuty Lvovich Chebyshev asui täällä 1821-1894. Kuuluisa matemaatikko, venäläisen lukuteorian, todennäköisyysteorian, mekanismiteorian ja funktioteorian perustaja, joka teki tärkeimmät löydöt näissä tieteissä” [131] .

Julkaisut

Kirjat

Chebyshev P. L. . Kirjoitusten koko kokoonpano. - M. , 1944-1951.
- Osa 1: Numeroteoria . - 1944. - 342 s.
- Osa 2: Matemaattinen analyysi . - 1947. - 520 s.
- Osa 3: Matemaattinen analyysi . - 1948. - 412 s.
- Osa 4: Mekanismien teoria . - 1948. - 255 s.
- Vol. 5: Muut teokset. Biografiset materiaalit . - 1951. - 474 s.
Chebyshev P. L. . Vertailuteoria . - Pietari. , 1849. - XIII + 281 s.
Chebyshev P. L. . Valitut matemaattiset teokset / Toim.-sost. A. O. Gelfond . - M. - L .: OGIZ Gostekhizdat, 1946. - ( Luonnontieteiden klassikot ).
Chebyshev P. L. . Valitut teokset / Toim.-sost. A. O. Gelfond . - M . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1955. - ( Tieteen klassikot ).

Artikkelit

Chebyshev P.L. Jatkuvista fraktioista // Uchenye zapiski Keisarillinen tiedeakatemia ensimmäisessä ja kolmannessa osastossa. - Pietari. , 1855. - T. 3 . - S. 636-664 .
Chebyshev P. L. Kysymyksiä pienimmistä määristä, jotka liittyvät
Mémoires-funktioiden likimääräiseen esitykseen. 10. Sur le questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions; par M. Tchebychev. (Extrait.) (Lu le 9 octobre 1857.) // Bulletin de la Classe Physico-Mathématique de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg , XVI (1858), sarakkeet 145-149.
Koko coll. soch., osa 2, M.-L., 1947, s. 146-150;
Chebyshev P. L. Kysymyksiä pienimmistä suureista, jotka liittyvät funktioiden likimääräiseen esitykseen
Sur le questions de minimima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions ; par P. Tchebychev. Lu le 23. lokakuuta 1857. // Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg , VI serie, t. 7 (1859), 199 - 291
Full. coll. soch., osa 2, M.-L., 1947, s. 151-235
Chebyshev PL Laajentaminen sarjoiksi jatkuvalla murtoluvulla // Matemaattinen kokoelma. - M. , 1866. - S. 291-296 .
Chebyshev, P.L., Summista, jotka koostuvat yksinkertaisimpien monomioiden arvoista kerrottuna funktiolla, joka pysyy positiivisena, Zap. Imp. Acad. Tieteet. - Pietari. , 1891. - T. 64 , nro 7 .
Chebyshev P. L. Funktioista, jotka poikkeavat hieman nollasta joillekin muuttujan arvoille // Zap. Imp. Acad. Tieteet. - Pietari. , 1881. - T. 40 , nro 3 .
Chebyshev, P.L., Kahden integraalin suhteesta, joka on laajennettu muuttujan samoihin arvoihin, Zap. Imp. Acad. Tieteet. - Pietari. , 1883. - T. 44 , nro 2 .
Chebyshev P. L. Likimääräisistä lausekkeista muuttujan neliöjuurelle yksinkertaisten murtolukujen muodossa // Zap. Imp. Acad. Tieteet. - Pietari. , 1889. - T. 61 , nro 1 .

Katso myös

Differentiaalinen binomi
Chebyshev-mekanismi
Chebyshev-polynomit
Tšebyshevin epäyhtälö (todennäköisyysteoria)
Chebyshevin eriarvoisuus summille
Bertrandin postulaatti
Chebyshev verkko
Chebyshev suodatin
Chebyshev-funktiot ja $\psi$ $\theta$
Chebyshev funktiojärjestelmä
Chebyshevin vuorottelu
Chebyshev setti

Muistiinpanot

↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics -arkisto
↑ 1 2 3 4 Bogolyubov, 1983 , s. 517.
↑ Glaser, 1982 , s. 166-169.
↑ 1800-luvun matematiikka. T. I, 1978 , s. 216.
↑ 1 2 Rybnikov, 1974 , s. 417.
↑ 1 2 Unbegaun B. O. . Venäläiset sukunimet / Per. englannista. L. V. Kurkina, V. P. Neroznak, E. R. Squires; toim. N.N. Popov. - M .: Progress , 1989. - S. 349 . - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Lopatin N. V. . Sukunimen "Chebyshev" alkuperästä // Moskovan historiallisen ja sukututkimuksen seuran kronika. - M. , 1997. - S. 160-164.
↑ Gnedenko, 1978 . Artikkelin otsikossa: " Chebyshev (lausutaan Chebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ Kalitkin N. N. . Numeeriset menetelmät. — 2. painos, korjattu. - Pietari. : BHV-Petersburg, 2011. - s. 33 [ Tšebyshevin funktiojärjestelmä ] , 465 [ Tšebyševin vaihesarja ], 552 [ Tšebyševin kriteeri ], 574 [ Tšebyshevin polynomit ] . — (Oppikirjallisuus yliopistoille). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Chebyshev [ Chebyshev polynoms , Chebyshev kaava ]; Chebyshevsky // Venäjän oikeinkirjoitussanakirja / Venäjän tiedeakatemia. Venäjän kielen instituutti. V. V. Vinogradova; toim. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova. - Toim. 4th, rev. ja ylimääräistä - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Venäjän kielen perussanakirjat). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko F. L. . Chebyshev Pafnyuty // Venäjänkieliset oikeat nimet . - M .: Kustantaja NTs ENAS, 2001. - S. 349 . — ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1982. - T. 22, nro 1. - S. 142 [ Sarjan Chebyshev keskus ].
↑ Matemaattinen kokoelma. - M .: Nauka , 2004. - T. 195. - P. 29 [ Chebyshev alternance ], 56-57 [ Chebyshev -menetelmä ].
↑ V. V. Lopatin. Yo-kirjaimen käyttö // Venäjän oikeinkirjoituksen ja välimerkkien käsikirja . Venäjän tiedeakatemian venäjän kielen instituutti. Haettu: 3.4.2019. (määrätön)
↑ Prudnikov, 1976 , s. 13-14, 19.
↑ Glaser, 1982 , s. 166-167.
↑ Lyhyt tietoa P. L. Chebyshevin perheestä ja klaanista // Chebyshev P. L. Täydelliset teokset. T. 5. Muut teokset. Biografiset materiaalit . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951. - 474 s. - S. 189-192.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 19.
↑ 1 2 3 Markov, Sonin, 1944 , s. 5.
↑ Posse K. A. Chebyshev, Pafnuty Lvovich // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Tietoja Moskovan yliopiston ihmisistä, 2019 , s. 39.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 29-30.
↑ 1 2 3 Glaser, 1982 , s. 169.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 29-31.
↑ Kolyagin Yu. M., Savvina O. A. Pääkaupungin koulutuksen historiasta: matematiikka ja matematiikka Moskovan 3. lukiossa // Jeletsin osavaltion yliopiston tiedote. - Yelets: YSU im. I. A. Bunina. Ongelma. 28: Series "Pedagogy" (Matematiikan koulutuksen historia ja teoria), 2011. - ISBN 978-5-94809-510-3 . Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2014. - S. 18-30.
↑ Melnikov A. N., Melnikov R. A. Pafnuty Lvovich Chebyshev ja Jeletsin maa (erinomaisen tiedemiehen syntymän 190-vuotispäivänä) // Jeletsin osavaltion yliopiston tiedote. - Yelets: YSU im. I. A. Bunina. Ongelma. 28: Series "Pedagogy" (Matematiikan koulutuksen historia ja teoria), 2011. - ISBN 978-5-94809-510-3 . Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2014. - S. 35-39.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 37.
↑ P. L. Chebyshev Moskovan yliopistossa // Chebyshev P. L. Täydelliset teokset. T. 5. Muut teokset. Biografiset materiaalit . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951. - 474 s. - S. 193-197.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 43.
↑ Markov, Sonin, 1944 , s. 6.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 63.
↑ Glaser, 1982 , s. 167.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 197-198.
↑ 1 2 Stroyk, 1984 , s. 255.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 210.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , s. 355.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 199-200.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 198-199.
↑ Moskovan yliopiston kronika
↑ Luettelo opetusministeriön alaisuudessa toimivista henkilöistä vuodelta 1868 - s. 32.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 99-102.
↑ Markov, Sonin, 1944 , s. 9.
↑ Glaser, 1982 , s. 170.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 267-268.
↑ Glaser, 1982 , s. 167-178.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 7.
↑ 1 2 1800-luvun matematiikka. T. I, 1978 , s. 160-165.
↑ Tchebychef P.L. Mémoire sur les nombres premiers // Œuvres de P. L. Tchebychef: [ fr. ] . – 1850.
↑ 1 2 Rybnikov, 1974 , s. 420.
↑ Stroyk, 1984 , s. 254.
↑ 1 2 Rybnikov, 1974 , s. 421.
↑ 1800-luvun matematiikka. T. I, 1978 , s. 128-129, 157.
↑ Prokhorov A. V. . Chebyshev epäyhtälö // Matemaattinen tietosanakirja / Luku. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 842-843. - 1248 jne.
↑ Maystrov, 1967 , s. 225-238.
↑ Yu. V. Prokhorov . Satunnaismuuttuja // Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 9-10. - 1248 jne.
↑ Chebyshev P. L. . Kirjoitusten koko kokoonpano. - Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1948. - T. III. - S. 404.
↑ 1 2 3 Rybnikov, 1974 , s. 422.
↑ Prokhorov A. V. . Momenttimenetelmä // Matematiikan tietosanakirja / Luku. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1982. - T. 3. - Stb. 792-793. - 1184 jne.
↑ Kolmogorov A. N. Venäjän tieteen rooli todennäköisyysteorian kehityksessä // Moskovan valtionyliopiston tieteelliset muistiinpanot. - M., 1947. - T. I , numero. 91, kirja. 1 . - S. 53-64 .
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 106-108.
↑ Rybnikov, 1974 , s. 424-425.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 107-108, 126.
↑ Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Laskennalliset menetelmät. - 3. painos - M . : Kustantaja. House MPEI, 2008. - S. 363. - 672 s. — ISBN 978-5-383-00302-2 .
↑ 1 2 3 Verzhbitsky V. M. Numeeristen menetelmien perusteet. - M . : Korkeakoulu , 2002. - S. 393-395. — 840 s. — ISBN 5-06-004020-8 .
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 118, 126-127.
↑ 1 2 Tikhomirov, 1987 , s. 127-128.
↑ Popov B. A., Tesler G. S. Toimintojen laskeminen tietokoneessa: käsikirja. - Kiova: Naukova Dumka , 1984. - S. 22-23. — 599 s.
↑ Bakhvalov N. S. Numeeriset menetelmät (analyysi, algebra, tavalliset differentiaaliyhtälöt). - 2. painos — M .: Nauka , 1975. — S. 58. — 632 s.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 122-123.
↑ Ilyin V.A. , Poznyak E.G. Lineaarinen algebra. - 3. painos - M .: Science , 1984. - S. 175-179. — 294 s.
↑ Lebedev V.I. Chebyshev iteratiivinen menetelmä // Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 848-850. - 1248 jne.
↑ Fedorenko R. P. Johdatus laskennalliseen fysiikkaan . - M . : Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutin kustantamo, 1994. - S. 154 -159. — 528 s. - ISBN 5-7417-0002-0 .
↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - 3. painos - M .: Nauka , 1972. - S. 356-358. — 496 s.
↑ Korneichuk N. P. Funktioiden lähentäminen // Mathematical Encyclopedia / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1984. - T. 4. - Stb. 603-609. - 1216 jne.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 117-118.
↑ 1 2 3 Tyulina, 1979 , s. 197.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 200, 203.
↑ Goncharov V. L. Maantieteellisten karttojen rakentamisesta // Chebyshev P. L. Täydelliset työt. - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951. - T. 5. Muut teokset. Elämäkerrallisia materiaaleja. - 179-183 s.
↑ Meshcheryakov G. A. Matemaattisten ongelmien kartografia // Mathematical Encyclopedia / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Encyclopedia , 1979. - T. 2. - Stb. 740-746. - 1104 jne.
↑ 1 2 Stroyk, 1984 , s. 256.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 139-140.
↑ Pirumov U. G. Numeeriset menetelmät. 2. painos - M . : Drofa, 2003. - S. 133. - 224 s. — ISBN 5-7107-6074-9 .
↑ Tchebychef P.L. Sur l'integration de la différentielle ${\frac {x+A}{\sqrt {x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta ))}dx$ // Œuvres de P. L. Tchebychef. – 1860.
↑ Glazer G. I. . Matematiikan historia koulussa. IX-X luokka. - M . : Koulutus , 1983. - 351 s. - S. 128.
↑ Rybnikov, 1974 , s. 426.
↑ Bityutskov V.I. Chebyshev epäyhtälö // Matemaattinen tietosanakirja. T. 5 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. tietosanakirja , 1984. - 1248 jne. - Stb. 850.
↑ Suetin P.K. Chebyshev-polynomit // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. tietosanakirja , 1984. - 1248 jne. - Stb. 840-841.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 122-125.
↑ Suetin P.K. Eremiittipolynomit // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. tietosanakirja , 1984. - 1248 jne. - Stb. 1016.
↑ Suetin P.K. Laguerren polynomit // Mathematical Encyclopedia. Vol. 3 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. tietosanakirja , 1982. - 1184 jne. - Stb. 167-168.
↑ Rybnikov, 1974 , s. 422, 424-425.
↑ 1800-luvun matematiikka. T. II, 1981 , s. 31.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 192.
↑ P. L. Chebyshev tykistökomiteassa // Chebyshev P. L. Täydelliset teokset. T. 5. Muut teokset. Biografiset materiaalit . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951. - 474 s. - S. 408-412.
↑ Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M .. Numeeriset menetelmät. 3. painos - M .: BINOM. Knowledge Laboratory, 2003. - 632 s. — ISBN 5-94774-060-5 . - S. 98.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 201.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 197-199.
↑ 1 2 Veselovsky I. N. . Esseitä teoreettisen mekaniikan historiasta. - M . : Korkeakoulu , 1974. - 287 s. - S. 227.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 8, 200.
↑ Tyulina, 1979 , s. 196-197.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , s. 356.
↑ Mekanismien ja koneiden teoria / toim. K. V. Frolova . - M . : Korkeakoulu , 1987. - S. 33. - 496 s.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , s. 357.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 203.
↑ 12 Vucinich , Alexander. . Tiede venäläisessä kulttuurissa; 1861-1917 . - Stanford : Stanford University Press , 1970. - 575 s. - ISBN 0-8047-0738-3 . - s. 167.
↑ Artobolevsky I.I. Mekanismien teoria. — M .: Nauka , 1965. — 776 s. - S. 26-27.
↑ Levitsky N.I. Mekanismien ja koneiden teoria. — M .: Nauka , 1979. — 576 s. - S. 388-392.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 201.
↑ P. L. Chebyshevin istutuskone .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Gnedenko, 1978 .
↑ Albert, John. Pafnuty Chebyshev. Höyrykoneet ja polynomit . O.U. Mathfest . Oklahoman yliopiston matematiikan laitos (tammikuu 2009). Haettu: 13.11.2013. (määrätön)
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 201-202.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 146.
↑ Prudnikov, 1976 , s. 242.
↑ P. L. Chebyshev opetusministeriön tieteellisessä komiteassa // Chebyshev P. L. Täydelliset teokset. T. 5. Muut teokset. Biografiset materiaalit . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951. - 474 s. - S. 312-317.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 228.
↑ Gnedenko B.V. , Sheinin O.B. Todennäköisyysteoria // 1800-luvun matematiikka. T. I / Ed. A. N. Kolmogorov, A. P. Juskevitš. — M .: Nauka , 1978. — 256 s. - S. 218.
↑ Rybnikov, 1974 , s. 432-433.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 198, 206-207.
↑ Posse, 1903 .
↑ 1 2 Glaser, 1982 , s. 168.
↑ Mekaniikan historia Venäjällä, 1987 , s. 197.
↑ Tietoja Moskovan yliopiston ihmisistä, 2019 , s. 44: "Chebyshevsky oli ylpeä tästä tittelistä, kun hän huomasi, että Newton sai tämän tittelin 57-vuotiaana ja hän sai sen 53-vuotiaana."
↑ Prudnikov, 1976 , s. 253, 257, 267-268.
↑ Chebyshevsky-kokoelma .
↑ Supertietokone SKIF MSU "Chebyshev" . Moskovan valtionyliopiston laskentakeskuksen tieteellisen tutkimuslaitoksen rinnakkaistietotekniikan laboratorio. Haettu: 8.7.2015. (määrätön)
↑ P. L. Chebyshev Monitieteinen tutkimuslaboratorio . Pietarin osavaltion yliopiston matematiikan ja mekaniikan tiedekunta . Haettu: 8.7.2015. (määrätön)
↑ Elchaninov A.I. Venäläiset maantieteelliset nimet Huippuvuoren kartalla . Haettu: 20.5.2018. (määrätön)
↑ Kunnallinen oppilaitos "Nimeni peruskoulu. P. L. Chebyshev.
↑ Pietarin hallituksen palkinnot "erinomaisista tieteellisistä tuloksista tieteen ja teknologian alalla" . Käyttöönottopäivä: 26.12.2020. (määrätön)
↑ Akateemioiden talo, 2016 .

Kirjallisuus

Bogatova T. V. CHEBYSHEV Pafnuty Lvovich // Moskovan keisarillinen yliopisto: 1755-1917: tietosanakirja / kääntäjät A. Yu. Andreev , D. A. Tsygankov . - M .: Russian Political Encyclopedia (ROSSPEN), 2010. - S. 814-815. — 894 s. - 2000 kappaletta. — ISBN 978-5-8243-1429-8 .
Bogolyubov A. N. . Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkertaopas. - Kiova: Naukova Dumka , 1983. - 639 s.
Glazer G. I. . Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus , 1964. - 376 s.
Glazer G. I. . Matematiikan historia koulussa. VII - VIII luokat. - M . : Koulutus , 1982. - 240 s.
Gnedenko B. V. . Esseitä Venäjän matematiikan historiasta. 2. painos - M . : KomKniga, 2005. - ISBN 5-484-00123-4 . - S. 112-125.
Golovinsky I. A. P. L. Chebyshevin pienimmän neliösumman menetelmän perusteluista // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. - M . : Nauka , 1986. - Numero. XXX . - S. 224-247 .
Demyanov V. P. . Tarkan tiedon ritari (P. L. Chebyshev). - M . : Tieto , 1991. - 192 s. - ( Tieteen ja teknologian luojat ). - ISBN 5-07-000060-8 .
Zhukov K.S. Osastot I, II, III // Akateemioiden talo. Historia ja kohtalot . - Pietari. : Preserved Culture, 2016. - s. 10-129. – 380 s. — ISBN 78-5-9908957-9-9.
Mekaniikan historia Venäjällä / Toim. A. N. Bogolyubova , I. Z. Shtokalo . - Kiova: Naukova Dumka , 1987. - 392 s.
Maystrov L.E.. Todennäköisyysteoria. - M .: Nauka , 1967. - 321 s.
Markov A. A. , Sonin N. Ya . Pafnuty Lvovich Chebyshev. Lyhyt elämäkertaluonnos // Chebyshev P.L. Complete Works. T. 1. Lukuteoria . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1944. - 342 s. - s. 5-9.
1800-luvun matematiikka: 3 osassa / Toim. A. N. Kolmogorov , A. P. Juskevitš . - M .: Science , 1978 (osa I), 1981 (osa II), 1987 (osa III).

Osa I: Matemaattinen logiikka. Algebra. Numeroteoria. Todennäköisyysteoria
T. II: Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria
Vol. III: Tšebyševin suunta funktioteoriassa. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Variaatiolaskenta. Äärillisten erojen teoria

Moiseev N. D. . Esseitä mekaniikan kehityksestä. - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1961. - 478 s.
Posse K. A. Chebyshev, Pafnuty Lvovich // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron . - Pietari. , 1903. - T. XXXVIII (75): Sensuurikomitea - Mies. - S. 452-453.
Prudnikov V. E. P. L. Chebyshev ja Moskovan yliopisto XIX-luvun 40-luvulla // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. Moskovan valtionyliopiston matematiikan historiaa käsittelevän seminaarin aineisto. T. 1. - M. - L. : OGIZ, 1948. - S. 184-214.
Prudnikov V.E. Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894 . - L .: Nauka , 1976.
Pyrkov V.E. P.L.:n 200-vuotisjuhlaan. Chebyshev // Matematiikka. - 2021. - Numero. 5(824) . — s. 35–38 .
Rybnikov K. A. . Matematiikan historia. 2. painos - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1974. - 456 s.
Sadovnichiy V. A. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) // Tietoja Moskovan yliopiston ihmisistä. — 3. painos, täydennetty. - M. : Moscow University Publishing House, 2019. - S. 39-44. — 356 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 978-5-19-011397-6 .
Stroyk D. Ya. Lyhyt katsaus matematiikan historiaan. 3. painos . — M .: Nauka , 1984. — 285 s.
Tikhomirov V. M. . Approksimaatioteoria // Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR, 1987. - 241 s. - (Tieteen ja tekniikan tuloksia). - S. 103-260.
Trifonov VV Chebyshev-veljesten panos sotatieteen ja -tekniikan kehittämiseen. // Sotahistorialehti . - 1987. - nro 5. - S.88-91.
Tyulina I. A. . Mekaniikan historia ja metodologia. - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1979. - 282 s.
Chebyshev Pafnuty Lvovich / B. V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Soviet Encyclopedia, 1978. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / päätoimittaja A. M. Prokhorov ; 1969-1978, osa 29).

Linkit

Chebyshev mekanismit . // Tcheb.ru. Haettu 26. helmikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2011. (määrätön)
P. L. Chebyshev's plantigrade-kone (sarjakuva, joka selittää toimintaperiaatteen). // Matemaattiset opinnot . Haettu: 26. helmikuuta 2014. (määrätön)
Rahasto 505. Chebyshev Pafnuty Lvovich . // ON ARAN . Haettu: 26. helmikuuta 2014. (määrätön)
Chebyshev Pafnuty Lvovich . // Mathinfinity. — Lyhyt elämäkerta ja pääteokset. Haettu: 26. helmikuuta 2014. (määrätön)
Chebyshev Pafnuty Lvovich . // Venäjän tieteellinen perintö. — Elämäkerta ja julkaisut. Haettu: 26. helmikuuta 2014. (määrätön)
Chebyshev kokoelma . // L. N. Tolstoin mukaan nimetty TSPU . Haettu: 26. helmikuuta 2014. (määrätön)
Shiryaev A.N. Suuren venäläisen matemaatikon P.L. Chebyshevin syntymän 200-vuotispäivänä // Teoria Todennäköisyys. ja sen sovellukset, 66:4 (2021), 625–635

Temaattiset sivustot

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Sukututkimus ja nekropolis

WikiTree

Bibliografisissa luetteloissa