Chebyshevin vuorottelu

Chebyshev-alternanssi (tai yksinkertaisesti alternanssi ) ( ranskasta alternance - "alternation") - matematiikassa sellainen pistejoukko , jossa yhden muuttujan jatkuva funktio saa peräkkäin maksimiarvon absoluuttisena arvona, kun taas funktion merkit ovat nämä kohdat vuorottelevat. $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$ $g(x)$ $g(x_{1}),$ $g(x_{2}),...,$ $g(x_{N})$

Tällainen konstruktio havaittiin ensimmäisen kerran lauseessa parhaan approksimaatiopolynomin karakterisoinnista, jonka P. L. Chebyshev löysi 1800-luvulla. Itse termin alternance otti käyttöön I. P. Natanson 1950-luvulla.

Chebyshev'n alternanssilause

Jotta astepolynomi olisi polynomi , jolla on jatkuvan funktion paras yhtenäinen approksimaatio , on välttämätöntä ja riittävää, että on olemassa ainakin sellaisia pisteitä , jotka $Q_{n}(x)$ $n$ $f(x)$ $[a,b]$ $n+2$ $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||

jossa kaikille samanaikaisesti . $i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1$ $i$

Pisteitä , jotka täyttävät lauseen ehdot, kutsutaan Chebyshev-alternanssin pisteiksi. $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

Esimerkki funktion approksimaatiosta

Oletetaan, että neliöjuurifunktio on tarpeen approksimoida käyttämällä lineaarifunktiota (ensimmäisen asteen polynomi) välillä ( 1, 64). Lauseen ehdoista meidän on löydettävä (tarkasteltavana olevassa tapauksessa - 3) Chebyshev-alternanssin pistettä. Siksi neliöjuuren ja lineaarifunktion välisen eron kuperuuden vuoksi tällaiset pisteet ovat tämän eron ainoat ääripisteet ja välin päät, jolle funktio approksimoidaan. Merkitään . - ääripiste. Sitten seuraavat yhtälöt pätevät: $n+2$ $a=1,b=64$ $d$