Luken numerot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14.10.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Lucas-luvut saadaan toistuvalla kaavalla

{\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2))

alkuarvoilla ja ja ovat konjugoitu Fibonacci - lukuihin . Nämä luvut on nimetty ranskalaisen professorin Édouard Lucasin mukaan . Luken numerosarja alkaa näin: $L_{0}=2$ $L_{1}=1$

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (sekvenssi A000032 OEIS : ssä )

Yleinen termi kaava

Jakso voidaan ilmaista n: n funktiona : $L_{n}$

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+ {\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

missä on kultainen leikkaus . Jos n > 1, luku |(− φ ) − n | alle 0,5 ja n: n kasvaessa lähestyy nollaa yhä enemmän, mikä tarkoittaa, että arvolla n > 1 Lucas-luvut ilmaistaan muodossa missä on pyöristysfunktio lähimpään kokonaislukuun . $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil ,$ $\lfloor \cdot \rceil$

Erityisesti Fibonacci-luvut ilmaistaan samalla tavalla käyttämällä Binet'n kaavaa : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n)){\sqrt {5))}={\frac {\varphi ^{n}- (-\varphi )^{-n)){\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt { 5}}}{2}}\oikea)^{n}-\vasen({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\oikea)^{n}\oikea].

Lucas-lukujen avulla tarkistetaan , onko luku alkuluku

Lucas - numeroita voidaan käyttää numeroiden primaalisuuden testaamiseen . Tarkistaaksesi, onko luku p alkuluku, ottamalla ( p + 1):s Lucas-luku, vähennä siitä yksi, ja jos tuloksena oleva luku ei ole tasaisesti jaollinen p :llä , niin p ei taatusti ole alkuluku. Muussa tapauksessa luku voi olla sekä alkuluku että yhdistelmä, ja se vaatii huolellisempaa tarkistamista.

Tarkastetaan esimerkiksi, onko luku 14 alkuluku. Luukkaan 15. päivä on 843.

${\cfrac {843-1}{14}}=60.142857\ldots$

Siksi luku 14 ei selvästikään ole alkuluku.

Yhteys Fibonacci-numeroiden kanssa

Lucas-luvut suhteutetaan Fibonaccin lukuihin seuraavilla kaavoilla

${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1))$
${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1))$
${\displaystyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n))$ , ja koska meillä on tapana +∞, suhde pyrkii $n$ ${\frac {L_{n}}{F_{n}}}$ ${\sqrt {5}).$
$F_{2n}=L_{n}F_{n}$
${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n))$
${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \yli 5))$

Yleistykset

Lucas-luvut voidaan määrittää myös negatiivisille indekseille kaavalla:

{\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n))

Eduard Lucas esitteli " yleistettyjen Fibonacci-sekvenssien " käsitteen, joiden erikoistapauksia ovat Fibonacci- ja Lucas-luvut.

{\begin{matrix}F_{n}=U_{n}(1,-1)\\L_{n}=V_{n}(1,-1)\end{matriisi))