Volumetrinen aksiooma

Tilavuuden aksioomaa kutsutaan seuraavaksi joukkoteorian väitteeksi :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Jos kirjoitetaan tilavuuden aksiooma muotoon

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})

sitten aksiooma voidaan muotoilla seuraavasti:

"Riippumatta kahdesta joukosta, jos jokainen 1. joukon alkio kuuluu 2. joukkoon ja jokainen 2. joukon elementti kuuluu 1. joukkoon, ensimmäinen joukko on identtinen toisen joukon kanssa."

Toinen sanamuoto [1] :

"Kaksi joukkoa ovat yhtä suuret, jos ja vain jos ne koostuvat samoista elementeistä."

Muut 3D-aksiooman formulaatiot

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{ 2})\ )$

Muistiinpanot

Tilavuuden aksiooma ilmaisee välttämättömän ehdon kahden joukon yhtäläisyydelle. Riittävä ehto joukkojen tasa-arvolle johdetaan predikaattiaksioomista , nimittäin: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, jossa on mikä tahansa matemaattisesti oikea tuomio noin , ja se on sama tuomio, mutta noin .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Yhdistämällä esitetty riittävä ehto joukkojen yhtäläisyydelle tilavuuden aksioomiin , saadaan seuraava joukkojen yhtäläisyyden kriteeri :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Tämä joukkojen tasa-arvokriteeri ei ole huonompi eikä parempi kuin muut vastaavat kriteerit, mukaan lukien:

1) kompleksilukujen yhtäläisyyden kriteeri

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) järjestettävien parien yhtäläisyyden kriteeri

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) järjestämättömien parien tasa-arvokriteeri

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) kahden sekvenssin yhtäläisyyskriteeri

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Edellä olevasta on selvää, että tilavuuden aksiooma on orgaaninen osa joukkoteorian aksiomatiikkaa.

Tilavuuden aksioomaa käytetään todistamaan sellaisen joukon ainutlaatuisuus, jonka olemassaolo on jo julistettu [aksioomalla] tai vahvistettu [lauseen todistuksella].

Esimerkkejä

1. Todiste tyhjän sarjan ainutlaatuisuudesta

[Ainakin yhden] tyhjän joukon olemassaolo julistetaan aksioomalla

\exists a\forall b\ (b\notin a)

On todistettava enintään yhden joukon olemassaolo , jolle väite on totta $a$

\forall b\ (b\notin a)

Toisin sanoen meidän on todistettava

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Tai mikä on sama, se on todistettava

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Todiste

{\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Koska , todiste tyhjän joukon ainutlaatuisuudesta on valmis. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Todiste osajoukkojen joukon ainutlaatuisuudesta

[Ainakin yhden] osajoukkojen joukon olemassaolo julistetaan aksioomalla

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

On todistettava enintään yhden joukon olemassaolo , jolle väite on totta $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Toisin sanoen meidän on todistettava

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Tai mikä on sama, se on todistettava

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Todiste

{\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Koska , todiste osajoukkojen joukon ainutlaatuisuudesta on valmis. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Katso myös

Joukkoteorian aksiomatiikka

Muistiinpanot

↑ Stoll R. Sarjat. Logiikka. aksiomaattisia teorioita. - M., Enlightenment, 1968. - Levikki 70 000 kappaletta. - s. 13

Volumetrinen aksiooma

Muut 3D-aksiooman formulaatiot

Muistiinpanot

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus