Erotettavuuden aksioomit

Erotettavuusaksioomat ovat topologisille avaruuksille asetettuja lisävaatimuksia , jotka mahdollistavat rajoitettujen topologisten avaruusluokkien tutkimisen, joiden ominaisuudet ovat enemmän tai vähemmän lähellä metrisia avaruuksia . Tällaisen matemaattisen todistustekniikan soveltaminen erotettavuuden periaatteena perustuu oletukseen erotettavuuden aksioomien täyttymisestä .

Esitetään joukko erotettavuusaksioomia, joista yleisimmin käytettyjä on kuusi, jotka merkitään vastaavasti T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 ( saksan sanasta Trennungsaxiom ); lisäksi joskus käytetään muita aksioomia ja niiden muunnelmia (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 ja muut).

T 0 ( Kolmogorovin aksiooma ): millä tahansa kahdella erillisellä pisteellä ja vähintään yhdellä pisteellä on oltava ympäristö , joka ei sisällä toista pistettä. $x$ $y$

T 1 ( Tihonovin aksiooma ): kahdelle eri pisteelle ja täytyy olla pisteen lähialue, joka ei sisällä pistettä , ja pisteen lähialue, joka ei sisällä pistettä . Vastaava kunto: kaikki yhden pisteen sarjat ovat kiinni. $x$ $y$ $x$ $y$ $y$ $x$

T 2 ( Hausdorffin aksiooma , Hausdorffin avaruus ): kahdelle erilliselle pisteelle ja on oltava ei-leikkausalueita ja . $x$ $y$ $U(x)$ $V(y)$

T 3 : Jokaiselle suljetulle joukolle ja pisteelle, joka ei sisälly siihen, on olemassa niiden ei-leikkaavat lähialueet [1] [2] . Vastaava ehto: jokaiselle pisteelle ja sen ympäristölle on sellainen naapurusto , että . Joskus erotettavuuden aksiooman T 3 määritelmä sisältää erotettavuuden aksiooman T 1 vaatimukset . [3] [4] Joskus myös aksiooman T 1 vaatimus [2] [4] ei sisälly säännöllisen avaruuden määritelmään . Säännöllinen avaruus on avaruus, joka täyttää aksioomat T 1 ja T 3 . $x$ $U$ $V$ $x\in V\subset\bar{V}\subset U$

T 3½ : mille tahansa suljetulle joukolle ja pisteelle, joka ei sisälly siihen, on olemassa jatkuva (annetussa topologiassa) numeerinen funktio , joka on annettu tälle avaruudelle, joka ottaa arvot pisteestä - koko avaruuteen ja kaikille , jotka kuuluvat . Avaruuksia, jotka täyttävät aksioomat T 1 ja T 31 , kutsutaan täysin säännöllisiksi avaruuksiksi tai Tihonov-avaruiksi; lisäksi joskus T 1 :n täyttyminen sisältyy T 31 :n määritelmään [5] , mutta täysin säännöllisen avaruuden määritelmässä se ei sisällä aksiooman T 1 vaatimusta (siis se sisältyy Tikhonov-avaruus [2] . $F$ $a$ $f(x)$ $0$ $yksi$ $f(a) = 0$ $f(x)=1$ $x$ $F$

T 4 : kahdelle suljetulle disjunktijoukolle on olemassa niiden disjunktioalueet [1] [2] . Vastaava ehto: mille tahansa suljetulle joukolle ja sen naapurustolle on olemassa naapurusto , jossa ( on joukon sulkeminen ). Normaaliavaruus — tilat, jotka täyttävät T 1 ja T 4 [2] [6] . Joskus T 4 :n määritelmään sisältyy vaatimus, että T 1 [7] [8] täyttyy , mutta normaaliavaruuden määritelmä ei sisällä vaatimusta T 1 [8] . $F$ $U$ $V$ $F\subset V\subset\bar{V}\subset U$ ${\bar {V}}$ $V$

Jotkut erotettavuuden aksioomien ja siihen liittyvien luokkien suhteet toisiinsa:

$T_{0}$ , eivätkä seuraa muista aksioomista (jos niiden määritelmä ei sisällä aksioomaa ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
seuraa ; _ $T_{1}$ $T_{0}$
säännölliset tilat ovat Hausdorff;
täysin säännölliset tilat ovat säännöllisiä;
normaalit tilat ovat myös täysin säännöllisiä;
kompaktit Hausdorff-tilat ovat normaaleja.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s. 105
↑ 1 2 3 4 5 matemaattinen tietosanakirja
↑ Engelking, s.71
↑ 1 2 Kelly, s. 154
↑ Engelking, s.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s. 106
↑ Engelking, s.74
↑ 1 2 Kelly, s. 153

Kirjallisuus

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov ja N. Yu. Netsvetaev Topologian ongelmaoppikirja
Engelking R. Yleinen topologia: Per. englannista. - M .: Mir, 1986. - 752 s.
Kelly, J. L. Yleinen topologia. - M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Erotettavuuden aksiooma // Mathematical Encyclopedia. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli) - artikkeli matemaattisesta tietosanakirjasta, kirjoittaja - V. I. Zaitsev