Erotettavuuden periaate

Erotettavuuden periaate (tai erotettavuuden periaate ) on yksi matematiikan todisteiden periaatteista, joka perustuu siihen, että jotkut ei-leikkaavat joukot voidaan erottaa jollain tavalla avaruudessa. Koska erotettavuuden periaate on vain periaate (eikä aksiooma ), se edellyttää todistetta hakemuksen pätevyydestä kussakin tapauksessa.

Erotettavuuden periaatteen soveltaminen perustuu oleellisesti erotettavuuden aksioomien täyttymiseen tietylle tilalle .

Erotettavuus euklidisessa avaruudessa

Äärillisulotteisessa euklidisessa avaruudessa erotettavuuden periaate toimii aina siinä mielessä, että kahdelle suljetulle disjunktijoukolle on pinta, joka jakaa avaruuden kahteen disjunktioon niin, että jokainen joukko kuuluu kokonaan yhteen näistä osista. $\mathbb {R} ^{n}$

Erotettavuus Banach-tilassa

Funktionaalisissa (erityisesti Banach ) tiloissa on melko vaikea taata mielivaltaisten joukkojen erotettavuutta. Tietyissä tapauksissa ongelma kuitenkin ratkaistaan melko helposti. Esimerkiksi:

Mitkä tahansa kaksi ei-leikkautuvaa kuperaa joukkoa , joista toisella on ei-tyhjä sisäosa, voidaan erottaa hypertasolla .
Mitkä tahansa kaksi erillistä suljettua kuperaa joukkoa, joista toinen on kompakti, voidaan erottaa voimakkaasti hypertasolla.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Joukkojen A ja B Banach-avaruudessa sanotaan olevan erotettavissa , jos on olemassa funktionaalinen p siten, että mille tahansa , $a\in A$ $b\in B$

\langle p,a\rangle \leq \langle p,b\rangle

Joukkojen A ja B Banach-avaruudessa sanotaan olevan vahvasti erotettavissa , jos on olemassa funktionaalinen p siten, että mille tahansa , $a\in A$ $b\in B$

\langle p,a\rangle <k<\langle p,b\rangle ,\,k\in {\mathcal {R))

Sovellus

Erotettavuuden periaatetta käytetään monien vahvojen geometristen väitteiden todistuksessa. Erityisesti sen avulla perusperiaate ja Fenchel-Moro -lause perustellaan .

Katso myös

Kirjallisuus

Polovinkin E.S., Balashov M.V. Kuperan ja vahvasti kuperan analyysin elementit. - M . : Fizmatlit , 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3