Laskettavan valinnan aksiooma

Laskettavan valinnan aksiooma on joukkoteorian aksiooma , jota yleensä merkitään . Aksiooma sanoo, että jokaiselle ei-tyhjien joukkojen laskettavalle perheelle on olemassa " valintafunktio ", joka erottaa jokaisesta joukosta yhden ja vain yhden sen alkioista. Toisin sanoen ei-tyhjien joukkojen sekvenssille voidaan rakentaa niiden edustajien sekvenssi , kun taas joukot voivat olla äärettömiä ja jopa lukemattomia [1] .

Aksiooman paikka matematiikassa

Laskettavan valinnan aksiooma on rajoitettu versio koko valinnan aksioomasta ( ), toisin kuin jälkimmäinen, se väittää valintafunktion olemassaolon vain laskettavalle joukkojen perheelle. Kuten Paul Cohen osoitti , laskettavan valinnan aksiooma on riippumaton muista joukkoteorian aksioomeista (ilman valinnan aksioomaa) [2] . Toisin kuin valinnan täydellinen aksiooma, laskettavan valinnan aksiooma ei johda pallon kaksinkertaistumiseen paradoksiin tai muihin vastoin intuitiivisiin seurauksiin.

Laskettavan valinnan aksiooma riittää perustelemaan analyysin päälauseet . Tästä seuraa erityisesti [3] :

• mille tahansa rajapisteelle on olemassa siihen suppeneva sekvenssi;
• Lebesguen mitta on laskettavasti additiivinen;
• jokainen ääretön joukko sisältää laskettavan osajoukon.

Merkittävää osaa joukkoteorian väitteistä ei kuitenkaan voida todistaa laskettavan valinnan aksioomalla. Esimerkiksi sen osoittamiseksi, että jokainen sarja voidaan järjestää hyvin , tarvitaan täydellinen valinnan aksiooma.

On olemassa hieman vahvempi versio nimeltä " riippuvaisen valinnan aksiooma " ( ). Siitä seuraa laskettavan valinnan aksiooma, samoin kuin determinismin aksiooma ( ).

Kirjallisuus

• Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: Nauka, 1977. - 368 s. — 3 luku, 4 §.
• Kanovey VG Valinnan aksiooma ja determinismin aksiooma. - M .: Nauka, 1984. - 64 s. — (Tieteen ja teknisen kehityksen ongelmat).
• Medvedev F. A. Valinnan aksiooman varhainen historia . - M .: Nauka, 1982. - 304 s. Arkistoitu 28. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa
• Medvedev F. A. Valinnan aksiooma ja matemaattinen analyysi // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1980. - Nro 25 . - S. 167-188 .
• Matemaattisen logiikan hakuteos. Osa II. Joukkoteoria = Matemaattisen logiikan käsikirja / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 s.
• Herrlich, Horst. Valintaperiaatteet perustopologiassa ja -analyysissä  (englanniksi)  // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - Voi. 38, nro. 3 . - s. 545.
• Potter, Michael. Joukkoteoria ja sen filosofia: kriittinen johdanto . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 .  (Englanti)

Muistiinpanot

1. ↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 9.
2. ↑ Potter, 2004 , s. 164.
3. ↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 6, 9.