Algebra Temperley-Liba

Algebra Temperley - Lieb - algebra , jonka avulla muodostetaan joitain siirtomatriiseja. Löysi Neville Temperleyja Elliot Lieb . Algebraa sovelletaan tilastomekaniikassa , integroitavien mallien teoriassa, on relevantti solmuteorian ja punosryhmien , kvanttiryhmien ja von Neumannin algebroiden osatekijöiden kannalta .

Määritelmä

Antaa olla kommutatiivinen rengas (useimmiten kenttä reaaliluvut ), jossa elementti on kiinteä . Temperley-Lieb-algebraa kutsutaan - algebraksi , jonka muodostavat Jones - relaatioita noudattavat generaattorit : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ klo $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ klo $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ klo $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ osoitteessa , sellainen $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ voidaan esittää vektoriavaruutena , jossa on kantavektoreita, joista jokainen on neliön muotoinen kaavio, jonka kahdella vastakkaisella puolella on pisteitä. Pisteet muodostavat n paria, jokaista paria yhdistää käyrä, eikä kahta käyrää leikkaa. Viisi kantavektoria näyttävät tältä: $n$ $TL_{3}(\delta )$

Kahden perusalkion kertolasku tapahtuu yhdistämällä kaksi neliötä peräkkäin, jokaisen tuloksena olevan jakson jälkeen saadaan kerroin δ . Esimerkiksi,

× = = δ .

Yksikköelementti on kaavio, jossa on n vaakasuoraa viivaa, ja generaattori on kaavio, jossa i -. piste on kytketty i + 1 -nnen pisteen , 2n - i + 1 - pisteen - 2n - i - . piste, ja kaikki muut pisteet ovat yhteydessä vastakohtiin. Generaattorit ovat esimerkiksi : $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

Vasemmalta oikealle: identtinen elementti (yksi) ja generaattorit U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Jones-suhteet voidaan esittää graafisesti:

= δ

Linkit

Louis H. Kauffman , State Models and the Jones Polynomial. Arkistoitu 8. joulukuuta 2019, Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Täsmällisesti ratkaistu mallit tilastomekaniikassa Arkistoitu 20. maaliskuuta 2012, Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , Perkolaatio- ja värjäysongelman ja muiden säännöllisiin tasomaisiin hilakoihin liittyvien graafiteoreettisten ongelmien väliset suhteet: joitakin tarkkoja tuloksia perkolaatioongelmalle. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251-280.