Bialgebra

Bialgebra on vektoriavaruus kentän päällä , joka on sekä unitaalinen assosiatiivinen algebra että koassosiatiivinen koalgebra siten, että algebrallinen ja koalgebrallinen rakenne ovat yhteensopivia. Nimittäin kertominen ja yksikkö ovat yksikköalgebran homomorfismeja , tai vastaavasti algebran kertolasku ja yksikkö ovat koalgebran morfismeja ( nämä lauseet ovat ekvivalentteja, koska ne ilmaistaan samoilla kommutatiivisilla diagrammeilla ).

Bialgebran homomorfismi on lineaarinen kartoitus , joka on sekä vastaavien algebrojen että koalgebrojen homomorfismi. Kommutatiivisten kaavioiden symmetriasta voidaan nähdä, että bialgebran määritelmä on itseduaali , joten jos on mahdollista määritellä duaaliavaruus vektoriavaruuteen, jolle bialgebra on rakennettu (mikä on aina mahdollista, jos se on äärellinen -dimensional), silloin se on automaattisesti bialgebra.

Määritelmä

Bialgebra , jossa on kertolasku , yksikkö , kertolasku ja laskenta kentän yli, on algebrallinen rakenne, jolla on seuraavat ominaisuudet: $(B,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )$ $\nabla$ $\eta$ $\Delta$ $\epsilon$ $K$

$B$ on vektoriavaruus kentän päällä ; $K$
annettu kertolasku, eli lineaarinen kuvaus : kentän yli (tai vastaavasti multilineaarinen kuvaus : kentän yli ) ja yksikkö, eli lineaarinen kuvaus : , joten se on unitaalinen assosiatiivinen algebra ; $\nabla$ $B\otimes B\rightarrow B$ $K$ $\nabla$ $B\times B\rightarrow B$ $K$ $\eta$ $K\rightarrow B$ $(B,\nabla ,\eta )$
annettu commultiplikaatio, eli lineaarinen kartoitus : kentän yli ja yksikkö, eli lineaarinen kartoitus : , joten se on koassosiatiivinen koalgebra ; $\Delta$ $B\rightarrow B\otimes B$ $K$ $\epsilon$ $B\rightarrow K$ $(B,\Delta ,\epsilon )$
yhteensopivuusehdot täyttyvät seuraavilla kommutatiivisilla kaavioilla ilmaistuna :

kertolasku ja moninkertaisuus ovat johdonmukaisia [1] $\nabla$ $\Delta$ jossa : on lineaarinen kartoitus , joka on määritelty kaikille ja at , $\tau$ $B\otimes B\rightarrow B\otimes B$ $\tau (x\otimes y)=y\otimes x$ $x$ $y$ $B$
kertolasku ja laskenta sovittu $\nabla$ $\epsilon$
monimutkaisuus ja yhtenäisyys ovat johdonmukaisia [2] $\Delta$ $\eta$
sovittu yksikkö ja yhtenäisyys $\eta$ $\epsilon$

Muistiinpanot

↑ Dăscălescu, Năstăsescu ja Raianu. Hopf Algebras: Johdanto . - 2001. - S. 147 & 148. Arkistoitu 25. syyskuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Dăscălescu, Năstăsescu ja Raianu. Hopf Algebras: Johdanto . - 2001. - s. 148. Arkistoitu 25. syyskuuta 2021 Wayback Machinessa

Linkit

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: Johdanto , voi. 235 (1. painos), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .