Estä Hamiltonin

Lohko Hamiltonin on Hamiltonin , joka kuvaa magneetin kriittistä käyttäytymistä lähellä toisen asteen vaihemuutoskohtaa .

Aihe

Magneettia pidetään Curie-pisteen läheisyydessä . Magneetin käyttäytyminen tällä alueella määräytyy useiden termodynaamisten ominaisuuksien (kuten lämpökapasiteetin , herkkyyden ) eron perusteella. Termodynaaminen samankaltaisuuden hypoteesi yhdistää kaikki erot korrelaation pituuden rajoittamattomaan kasvuun . Korrelaatiopituus mitataan suoraan käyttämällä neutronien sirontakokeita. Tämän artikkelin tarkoituksena on kuvata, kuinka saada Hamiltonin, joka määrittelee järjestelmän kätevästi lisääntyvien korrelaatioiden olosuhteissa.

Cellular Hamiltonians

Koska kriittiset ilmiöt ja kidehilan muodostuminen ja sisäiset atomikuoret eivät liity millään tavalla toisiinsa, pidämme jälkimmäistä annettuna. Olettaen, että kriittiset ilmiöt johtuvat elektronispinien laajamittaisesta kollektiivisesta käyttäytymisestä , huomaamme, että meidän ei todennäköisesti tarvitse tietää kaistan rakennetta ja monia muita yksityiskohtia - meidän tarvitsee vain tietää niiden yleinen vaikutus vuorovaikutus elektronien spinien välillä. Tässä tapauksessa voidaan tehdä vieläkin voimakkaampia yksinkertaistuksia. Tarkastellaan klassisia spinejä, yksi jokaisessa tietyn kidehilan alkeissolussa, jolla on tunnettu spin-spin-vuorovaikutus. Unohdamme kvanttiluonteen, elektronien liikkeen ja monet muut yksityiskohdat. Esimerkkejä tällaisilla oletuksilla toimivista malleista ovat Ising - malli ja Heisenberg - malli .

Määritämme jokaiselle solulle spin-muuttujan , joka toimii solun c kokonaisspin mittana. Yhteensä hila sisältää soluja ja siten spin-muuttujia. Kutsumme näitä muuttujia solukierroksiksi. Spin-energia on spin-muuttujien funktio. Tämä on solun spin Hamiltonin. Kutsutaan sitä Hamiltonin soluksi. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\hattu {H}}[\sigma ]$

Ising malli

Tälle mallille on ominaista muotoinen Hamiltonin solu

${\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum _{{c}}\sum _{{r}}'(\sigma _{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

jossa r:n ylittävä summa otetaan vain solun c lähimpien naapureiden yli. Pyörimismuuttujat voivat ottaa vain kaksi arvoa . Hamiltonin (1) avulla voidaan yksinkertaisimmin heijastaa sitä tosiasiaa, että identtisesti suuntautuneiden spinien energia on pienempi kuin päinvastoin suuntautuneiden spinien energia. J - " vaihtoenergia ". $\sigma _{{c}}=\pm 1$

Heisenbergin malli

Heisenbergin malli on yleistys Isingin mallista tapaukseen, jossa spin voidaan suunnata mielivaltaisella tavalla. Jokaisen spinin kuvaamiseksi tarvitsemme vektorin

$\sigma _{{c}}=(\sigma _{{1c}},\sigma _{{2c}},\sigma _{{3c}}).\qquad (2)$

Sille otetaan käyttöön tavallinen skalaaritulo ja Hamiltonin (1) ulkonäkö säilyy. $\sigma _{{c}}$

XY-malli

XY-malli on tapausväli Ising-mallin ja Heisenberg-mallin välillä. Se kuvaa magneetteja, joiden spinit suuntautuvat pääasiassa yhteen tasoon.

Hamiltonin lohkon rakentaminen, Kadanoff-muunnos

Korrelaatiopituuden kasvun olosuhteissa on järkevää olettaa, että magneetin kriittinen käyttäytyminen ei riipu tiettyjen alkeissolujen spineistä, vaan sen määräävät pikemminkin kokonaisten alueiden spinien keskiarvot. tutkittavasta otoksesta. Muodostetaan lohko Hamiltonin riippuen sellaisista keskiarvoista. Tällaista konstruktiota kutsutaan Kadanoff- muunnokseksi .

Ensimmäinen tapa

Muodostetaan lohko Hamiltonin lohko, joka kuvaa lohkospinien välistä vuorovaikutusta. Tätä varten jaamme kiteen alkeissolujen kokoisiksi kuutiolohkoiksi, missä d on sen tilan ulottuvuus, jossa järjestelmää tutkitaan. Jokaiselle lohkolle määrittelemme lohkospin solun pyörimisten summana jaettuna . Lohkon Hamiltonin parametrit tiivistävät järjestelmän käyttäytymisen oleelliset yksityiskohdat b hilavakioiden asteikolla. $b^{d}$ $b^{d}$

Olkoon todennäköisyys löytää järjestelmä, jolla on tietty spinjakauma solujen yli, yhtä suuri

$P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)$

Sitten todennäköisyys löytää järjestelmä tietyllä lohkokierrosten jakaumalla ilmaistaan muodossa

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,x}}\delta (\sigma _{{i, x}}-b^{{-d}}\sum _{{c}}^{{x}}\sigma _{{i,c}})\prod _{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

tätä kaavaa voidaan pitää lohkon Hamiltonin määritelmänä . ${\hattu {H'}}[\sigma ]$

$K_{{b}}{\hattu {H}}[\sigma ]={\hattu {H'}}[\sigma ]\qquad (5)$

Kadanoff-muunnoksen ominaisuus on ilmeinen

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{2}}}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\hattu {H}}[\sigma ].\qquad (6)$

Toinen tapa

Tarkastellaan solua Hamiltonin Fourier-komponenttien funktiona ${\hattu {H}}[\sigma ]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum _{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma _{{c}}.\qquad (7)$

Esittelemme nyt lohkon Hamiltonin seuraavalla tavalla

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,k>\Lambda }}d\sigma _{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

tässä tapauksessa lohkon spin määritellään seuraavasti

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum _{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma _{{k}},\qquad (9)$

ja kuvaa spin-konfiguraatiota asteikoissa aina $b\sim \Lambda ^{{-1}}$

Huomautus

Ensimmäinen ja toinen tapa määritellä lohko Hamiltonin eivät ole täysin samanlaisia ja määrittelevät muodollisesti erilaisia objekteja.

Kirjallisuus

1. Ma Sh. Nykyaikainen kriittisten ilmiöiden teoria. - M.: Mir, 1980. - 297 s.

2. A. N. Vasil'ev, Kvanttikentän renormalisointiryhmä kriittisen käyttäytymisen ja stokastisen dynamiikan teoriassa. - Pietari: PNPI Publishing House, 1998. - 774 s. — ISBN 5-86763-122-2