Naapurustossa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Pisteen ympäristö on joukko, joka sisältää annetun pisteen ja lähellä sitä (jossain mielessä). Matematiikan eri aloilla tämä käsite määritellään eri tavoin.

Määritelmät

Matemaattinen analyysi

Olkoon mielivaltainen kiinteä luku. $\varepsilon > 0$

Reaaliviivan pisteen naapuruus (kutsutaan joskus naapurustoon) on joukko pisteitä, jotka ovat pienempiä kuin , eli . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

Moniulotteisessa tapauksessa naapurifunktio suoritetaan avoimella pallolla, joka on keskitetty pisteeseen . $\varepsilon$ $x_{0}$

Banach - avaruudessa pisteeseen keskitettyä aluetta kutsutaan joukoksi . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

Metrisessä avaruudessa pisteessä olevaa naapurustoa kutsutaan joukoksi . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Yleinen topologia

Olkoon topologinen avaruus annettu , jossa on mielivaltainen joukko ja on topologia , joka on määritelty kohdassa . $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Joukkoa kutsutaan pisteen ympäristöksi, jos on olemassa sellainen avoin joukko , että . $V\alajoukko X$ $x\in X$ $U\in \mathcal{T}$ $x \in U \alajoukko V$
Vastaavasti joukon naapurusto on sellainen, että on olemassa avoin joukko , jolle . $M\alajoukko X$ $V\alajoukko X$ $U\in \mathcal{T}$ $M \osajoukko U \osajoukko V$

Muistiinpanot

Yllä olevat määritelmät eivät vaadi, että lähiö on avoin joukko, vaan että se sisältää avoimen joukon . Jotkut kirjoittajat väittävät, että mikä tahansa naapurusto on avoin. [1] Tällöin joukon ympäristö on mikä tahansa avoin joukko, joka sisältää sen. Tämä ei ole perustavanlaatuinen ero tulevan topologisen teorian kehittämisen kannalta. Jokaisessa tapauksessa on kuitenkin tärkeää korjata terminologia. $V$ $U$
Pisteiden joukon naapurusto on sellainen joukko , jossa on minkä tahansa pisteen ympäristö . $M$ $V$ $V$ $x\in M$

Esimerkki

Olkoon reaaliviiva vakiotopologialla annettu . Sitten on avoin naapurusto ja pisteen suljettu naapurusto . $(-1,2)$ ${\näyttötyyli [-1,2]}$ $0$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Pierced Neighborhood

Pisteen puhkaisualue on pisteen lähialue, josta tämä piste on jätetty pois.

Tarkkaan ottaen puhkaistu naapurusto ei ole pisteen naapurusto, koska naapuruston määritelmän mukaan naapurustossa on oltava itse piste.

Muodollinen määritelmä: Joukkoa kutsutaan pisteen jos pisteytetyksi lähialueeksi (puhkaistavaksi alueeksi). $\piste{V}$ $x\in X$

\piste{V} = V \setmiinus \{x\},

missä on naapurusto . $V$ $x$

Katso myös

Yleisen topologian sanasto

Muistiinpanot

↑ Rudin, 1975 , s. 13.

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Toiminnallinen analyysi. - M .: Mir , 1975 .