Topologinen avaruus

Topologinen avaruus on joukko, jolla on tietyn tyyppinen lisärakenne ( ns. topologia); on topologian pääasiallinen tutkimuskohde .

Historiallisesti topologisen avaruuden käsite esiintyi metrisen avaruuden yleistyksenä . Topologiset avaruudet syntyvät luonnollisesti lähes kaikilla matematiikan aloilla. Muiden yleistysten joukossa spatiaalisen rakenteen omaavasta joukosta löytyy pseudotopologinen avaruus [1] .

Määritelmä

Olkoon joukko annettu . Sen osajoukkojen järjestelmää kutsutaan topologiaksi , jos seuraavat ehdot täyttyvät: $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Ryhmään kuuluvan mielivaltaisen joukkojen liitto kuuluu ; eli mille tahansa indeksointijoukolle ja perheelle . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
Leikkauskohta äärellisen perheen joukkoja kuuluu ; eli jos , niin . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$ .

Paria kutsutaan topologiseksi avaruudeksi . Joukkoja , jotka kuuluvat ryhmään, kutsutaan avoimiksi joukoiksi . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Joukkoja, jotka täydentävät avoimia, kutsutaan suljetuiksi .

Jokaista avointa joukkoa, joka sisältää tietyn pisteen, kutsutaan sen lähialueeksi .

Muita aksioomia

Kolmea topologisten avaruuksien yleistä luokkaa määritteleviä aksioomia täydentävät usein tietyt erotettavuusaksioomat , riippuen siitä, mitkä topologisten avaruuksien eri luokat erotetaan, esimerkiksi Tihonov-avaruudet, Hausdorff-avaruudet , säännölliset, täysin säännölliset, normaaliavaruudet jne.

Lisäksi topologisten avaruuksien ominaisuuksiin vaikuttavat voimakkaasti tiettyjen laskettavuuden aksioomien toteutuminen - ensimmäinen laskettavuuden aksiooma , toinen laskettavuuden aksiooma (avaruudet, joilla on laskettava topologiapohja) sekä avaruuden erotettavuus . Topologian laskettavan perustan olemassaolosta seuraa erotettavuus ja ensimmäisen laskettavuuden aksiooman toteutuminen. Lisäksi esimerkiksi säännölliset avaruudet, joilla on laskettava kanta, ovat normaaleja ja lisäksi metrisoitavia, eli niiden topologia voidaan antaa jollain metriikalla. Kompakteissa Hausdorff-tiloissa laskettavan topologiakannan olemassaolo on välttämätön ja riittävä ehto mittaatavuudelle. Metriavaruuksien osalta laskettavan topologiakannan olemassaolo ja erotettavuus ovat samanarvoisia.

Esimerkkejä

Yhdistetty kaksoispiste on kahden pisteen topologinen avaruus.

Reaaliviiva on topologinen avaruus, jos esimerkiksi mielivaltaisia (tyhjiä, äärellisiä tai äärettömiä) äärellisten tai äärettömien välien liittoja kutsutaan avoimiksi joukoiksi. Kaikkien äärellisten avoimien intervallien joukko on tämän topologian perusta . Tämä on linjan vakiotopologia. Yleensä reaalilukujoukolle voidaan ottaa käyttöön hyvin erilaisia topologioita, esimerkiksi suora viiva "nuolitopologialla", jossa avoimet joukot näyttävät tältä tai Zariski-topologia , jossa mikä tahansa suljettu joukko on rajallinen joukko pisteitä. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\to$ $(a,\infty)$

Yleensä euklidiset avaruudet ovat topologisia avaruksia. Niiden vakiotopologia voi perustua avoimiin palloihin tai avoimiin kuutioihin. Edelleen yleistettynä jokainen metriavaruus on topologinen avaruus, jonka topologia perustuu avoimiin palloihin . Tällaisia ovat esimerkiksi funktionaalisessa analyysissä tutkitut funktioiden äärettömät ulottuvuudet . $\mathbb {R} ^{n}$

Jatkuvien kuvausten joukko topologisesta avaruudesta topologiseen avaruuteen on topologinen avaruus seuraavan topologian suhteen, jota kutsutaan kompaktiksi avoimeksi . Esikanta annetaan kartoituksista koostuvilla joukoilla, joiden alla kompaktin joukon kuva on avoimessa joukossa . $C(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $X$ $U$ $Y$

Satunnaisesta joukosta voidaan tehdä topologinen avaruus kutsumalla kaikki sen osajoukot avoimeksi. Tällaista topologiaa kutsutaan diskreetiksi . Siinä kaikki sarjat ovat avoinna. Toinen rajoittava tapaus on kutsua pienin mahdollinen määrä osajoukkoja avoimeksi , eli ottaa käyttöön triviaali topologia - vain tyhjä joukko ja itse avaruus ovat avoinna siinä . $X$ $X$ $X$

Topologian määrittelytavat

Topologian määrittäminen kanta- tai esikantatietokannan avulla

Aina ei ole kätevää luetella kaikkia avoimia joukkoja. Usein on kätevämpää määrittää pienempi joukko avoimia joukkoja, jotka luovat ne kaikki. Tämän formalisointi on topologiakannan käsite. Topologian osajoukkoa kutsutaan topologiakantaksi, jos mikä tahansa avoin joukko esitetään joukosta joukosta , ts. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Vielä edullisempi tapa määritellä topologia on määrittää sen esikanta , joukko, josta tulee kanta, jos siihen lisätään mielivaltaisia äärellisiä leikkauspisteitä sen elementeistä. Jotta joukkojärjestelmä julistettaisiin topologian esikantaksi, on välttämätöntä ja riittävää, että se kattaa koko joukon . ${\mathfrak {P}}$ $X$

Esipohjaa käytetään useimmiten määrittämään kartoitusperheeseen indusoitunut topologia (katso alla). $X$

Indusoitu topologia

Olkoon joukon mielivaltainen kartoitus topologiseen avaruuteen . Indusoitu topologia tarjoaa luonnollisen tavan ottaa käyttöön topologia : avoimet joukot sisään ovat kaikkia mahdollisia käänteiskuvia avoimista joukoista sisään ; eli auki, jos on avoin sellainen, että . Yllä kuvattu topologia on minimaalinen ja ainoa (inkluusio) topologia, jossa annettu kartoitus on jatkuva. $f:X\Y:ksi$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $U\in X$ $V\in Y$ $U=f^{-1}(V)$ $X$

Esimerkki. Olkoon topologinen avaruus, sen osajoukko. Jos sovellamme edellä kuvattua rakennetta joukkoteoreettiseen upotukseen , saadaan topologia osajoukolle, jota yleensä kutsutaan myös indusoiduksi topologiaksi. $X$ $A$ $i:A\-X$

Tekijätopologia

Olkoon topologinen avaruus, olkoon sille myös jokin ekvivalenssisuhde , tässä tapauksessa on olemassa luonnollinen tapa määritellä topologia tekijäjoukolle . Ilmoitamme tekijäosajoukon avoimeksi, jos ja vain, jos sen esikuva tekijöiden määrityksen alla on avoin . On helppo varmistaa ensinnäkin, että tämä todellakin määrittää topologian, ja toiseksi, että tämä on suurin ja ainoa (inkluusio) topologia, jossa osoitettu tekijöiden kartoitus on jatkuva. Tällaista topologiaa kutsutaan yleensä osamäärätopologiaksi . $X$ $\sim$ $X/{\sim }$ $X$ $X/{\sim }$

Topologian määrittäminen suljetuilla joukoilla

Joukkoa kutsutaan suljetuksi , jos sen komplementti on avoin joukko. Topologian määrittäminen suljettujen joukkojen järjestelmälle tarkoittaa alajoukkojen järjestelmän esittämistä, jolla on seuraavat ominaisuudet: $F\alajoukko X$ $U = X \setminus F$ $X$ ${\mathcal {P}}$ $X$

Järjestelmä on suljettu joukkojen (mukaan lukien äärettömät perheet) leikkauspisteen toiminnan aikana: ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Järjestelmä on suljettu joukkojen liiton toiminnan suhteen (äärellisenä määränä): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
Sarjat sisältyvät järjestelmään . $X,\;\varnothing$ ${\mathcal {P}}$

Jos annetaan joukkojärjestelmä, jolla on tällaisia ominaisuuksia, komplementtioperaatiota käytetään avoimen joukkojärjestelmän rakentamiseen, joka määrittää topologian . $\mathcal{T}$ $X$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

Algebrallisessa geometriassa topologiaa sovelletaan kommutatiivisen renkaan spektriin (kaikkien alkuideaalien järjestelmä), jonka yksikkö on - . Topologia on otettu käyttöön suljettujen joukkojen järjestelmällä: olkoon mielivaltainen renkaan ideaali (ei välttämättä yksinkertainen), niin se vastaa joukkoa $B$ $X = \mathrm{Spec}\, B$ $X$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Kaikki tämän tyyppiset joukot muodostavat joukkojärjestelmän, joka täyttää luetellut aksioomit, koska

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Zariskin topologia avaruudessa määritellään myös käyttämällä suljettujen joukkojen järjestelmää. Zariski-topologian suljetut joukot ovat kaikki joukot, jotka ovat äärellisen polynomijärjestelmän yhteisten nollien joukko. Suljettujen joukkojen järjestelmän aksioomien toteutuminen seuraa siitä tosiasiasta, että polynomien rengas on Noetherin ja siitä, että mielivaltaisen polynomijärjestelmän yhteiset nollat osuvat yhteen niiden muodostaman ihanteen yhteisten nollien kanssa. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

Avaruus on luonnollisesti upotettu polynomirenkaan spektriin (se osuu yhteen kaikkien sen suljettujen pisteiden joukon kanssa), ja Zariskin topologia ei ole sama kuin avaruustopologian indusoima . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $X$ $Y$

Jatkuvat näytöt

Topologian käsite on minimi, joka tarvitaan jatkuvista kartoituksista puhumiseen . Intuitiivisesti jatkuvuus on epäjatkuvuuksien puuttumista, eli jatkuvan kartoituksen läheisten pisteiden tulisi mennä läheisiin. Osoittautuu, että pisteiden läheisyyden käsitteen määrittelemiseksi voidaan luopua etäisyyden käsitteestä. Tämä on juuri jatkuvan kartoituksen topologinen määritelmä.

Topologisten avaruuksien kartan sanotaan olevan jatkuva , jos jokaisen avoimen joukon käänteiskuva on avoin. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

Topologisten avaruuksien kategoria sisältää objekteina kaikki topologiset avaruudet, kun taas morfismit sisältävät jatkuvia kuvauksia. Yritykset luokitella tämän luokan objektit algebrallisten invarianttien avulla on omistettu matemaattisen tieteen osalle, jota kutsutaan algebralliseksi topologiaksi . Yleinen topologia on omistettu jatkuvuuden käsitteiden sekä muiden käsitteiden, kuten tiiviyden tai erotettavuuden, tutkimiseen sellaisenaan ilman muita työkaluja . Kohteen lisärakenteina voi olla esimerkiksi nippu sarjoja tai affiiniviiva , eli . Merkitse välilyöntiluokka alkaen lisärakenteella . Unohtava functor - karteesiset niput. Objekteja kutsutaan rakenteellisiksi tiloiksi. Yllä olevaa kerrosobjektia kutsutaan yllä olevaksi rakenteeksi . $\mathrm{Yläosa}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $X$ $X$ $\mathbb {A} _{X}\to X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Toiminnallinen rakenne

Hochschildin mukaan funktionaalinen rakenne on kartoitus , joka määrittää jokaiselle avoimelle joukolle jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden algebran aligebran . Tämä kartoitus on algebran nippu , jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden alkioiden alirivi , joka sisältää vakionimen. Tämä seuraa seuraaville ehdoille : $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\alajoukko X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$

if on mielivaltainen avoimien joukkojen liitto, niin kuvaus kuuluu , jos jokaisen avoimen joukon rajoite kuuluu ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $f$ ${\displaystyle U_{\alpha ))$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ sisältää kaikki funktion vakiot; $U$
jos , niin rajoite sisältyy kohtaan . $V\alajoukko U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

Esimerkiksi rajallinen -monitori on parakompakti Hausdorff-avaruus, jolla on toiminnallinen rakenne, , joka on paikallisesti isomorfinen avaruuden kanssa . Raja koostuu niistä pisteistä, jotka on kartoitettu hypertason pisteisiin, jotka ovat tasaulotteinen monisto, jossa on indusoitu rakenne. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty })$ $(n-1)$

Homotopy pallojen ryhmät

Sfäärien homotopiaryhmät ovat topologisia perusinvariantteja, joiden ymmärtäminen johtaa topologisten avaruuksien parempaan ymmärtämiseen yleensä sekä suuren määrän monimutkaisten kuvioiden läsnäoloon niiden rakenteessa.

Katso myös

Yleisen topologian sanasto

Muistiinpanot

↑ Frölicher, 1970 , s. 21.

Kirjallisuus

Aleksandrov, PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Yleinen topologia. - M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Frölicher, A., Bucher W. Differentiaalilaskenta vektoriavaruuksissa ilman normia. - M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elementary topology.
Vasiliev V. A. Johdatus topologiaan. - M . : Fazis, 1997.