Polynomien rengas

Polynomirengas on rengas , jonka muodostavat yhden tai useamman muuttujan polynomit , joiden kertoimet ovat peräisin toisesta renkaasta. Polynomirenkaiden ominaisuuksien tutkimuksella on ollut suuri vaikutus moniin modernin matematiikan alueisiin; esimerkkejä voidaan antaa Hilbertin kantalauseesta , hajoamiskentän rakentamisesta ja lineaaristen operaattoreiden ominaisuuksien tutkimuksesta .

Polynomit yhdessä muuttujassa kentän päällä

Polynomit

Polynomi x : ssä , jonka kertoimet ovat kentässä k , on muodon lauseke

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},

missä p 0 , ..., p m ovat k :n alkioita , kertoimet p ja x , x 2 , ... ovat muodollisia symboleja ("asteet x "). Tällaisia lausekkeita voidaan lisätä ja kertoa tavanomaisten toimintasääntöjen mukaisesti algebrallisilla lausekkeilla (lisäyksen kommutatiivisuus, jakautuminen , samankaltaisten termien pelkistys jne.). Termit p k x k , joiden kerroin on nolla, jätetään yleensä pois merkinnästä. Summa-symbolilla polynomit kirjoitetaan tiiviimmässä muodossa:

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\sum _{k=0 }^{m}p_{k}x^{k}.

Polynomirengas k [ x ]

Joukko kaikista polynomeista kertoimilla muodostaa kommutatiivisen renkaan , jota merkitään ja kutsutaan polynomien renkaaksi . Symbolia kutsutaan yleisesti "muuttujaksi", tämä terminologia sai alkunsa polynomifunktioiden tarkastelusta yli tai yli . Yleensä polynomit ja polynomifunktiot ovat kuitenkin eri asioita; esimerkiksi alkioiden alkumäärän äärellisessä kentässä polynomit ja määrittävät saman funktion, mutta nämä ovat erilaisia polynomeja (polynomeja pidetään yhtäläisinä silloin ja vain, jos kaikki niiden kertoimet ovat samat). Siksi muuttujan ei voida katsoa kuuluvan kenttään ; Rengasta voidaan ajatella näin: lisäämme uuden elementin kentän elementtijoukkoon ja vaadimme vain, että renkaan aksioomat pitävät kentän elementtien kanssa ja kommutoivat niiden kanssa. $k$ $k[x]$ $k$ $x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {F} _{p}$ $s$ $x^{1}$ $x^{p+1}$ $x$ $k$ $k[x]$ $x$ $x$

Koska polynomirenkaan alkiot voidaan kertoa kentän " skalaareilla " , se on käytännössä kentän assosiatiivinen algebra . Sitä pidetään vektoriavaruutena (eli "unohda" kertolasku), sillä on ääretön alkioiden kanta , , jne. $k$ $k$ $k[x]$ $1=x^{0}$ $x=x^{1}$ $x^{2}$

Ensilukukerroin k [ x ]

Renkaassa k [ x ] yksi polynomi voidaan jakaa toisella (esimerkiksi sarakkeenjakoalgoritmia käyttäen ) jäännöksellä. Tässä tapauksessa jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, mikä tekee funktiosta "polynomin aste" Euklidisen funktion ja polynomien renkaan - Euklidisen . Tästä seuraa, että polynomirenkaassa on mahdollista toteuttaa euklidinen algoritmi suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi , mikä tarkoittaa, että tapahtuu hajoaminen yksinkertaisiksi (tällaisia renkaita kutsutaan faktoriaaliksi ). Tästä seuraa myös, että k [ x ] on pääideaalialue .

Kerroinrenkaat k [ x ]

Tarkastellaan kommutatiivista rengasta L , joka sisältää kentän k siten, että renkaassa L on elementti θ siten, että L on generoitu θ : lla yli k :n , eli mikä tahansa L: n alkio voidaan ilmaista θ :na ja kertoimet kentästä k käyttämällä yhteen- ja kertolasku. Sitten on ainutlaatuinen rengashomomorfismi φ välillä k [ x ] - L , joka "säilyttää" k :n ja lähettää x :n arvoon θ . Tämän kuvauksen surjektiivisuus tarkoittaa tarkalleen, että L generoidaan θ :lla k :n yli . Soveltamalla homomorfismilausetta tähän kuvaukseen saadaan, että L on isomorfinen osamäärärenkaan k [ x ] kanssa ytimen φ suhteen ; koska mikä tahansa ideaalissa k [ x ] on prinsiaalinen ,

L\simeq k[x]/(p).

Tärkeä erikoistapaus on, kun k :n sisältävä rengas on itse kenttä; merkitään se K . Osamäärämoduulin yksinkertaisuus on yhtä suuri kuin pelkistymättömyys . Primitiivisen elementin lauseessa sanotaan, että mikä tahansa äärellinen erotettavissa oleva laajennus voidaan generoida yhdellä alkiolla, ja siksi sillä on polynomin rengastekijän muoto pienemmässä kentässä pelkistymättömän polynomin avulla. Esimerkki on kompleksilukujen kenttä, jonka alkio i generoi R :n päälle siten, että i 2 + 1 = 0 . Vastaavasti polynomi x 2 + 1 on redusoitumaton R :n ja yli ${\näyttötyyli (p)}$ $s$

\mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).

Yleisemmin mielivaltaiselle (jopa ei-kommutatiiviselle) renkaalle A , joka sisältää k :n ja A : n elementin a , joka kommutoi kaikkien k :n alkioiden kanssa , on ainutlaatuinen rengashomomorfismi välillä k [ x ] kohtaan A , joka lähettää x :n a :lle :

\phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.

Tällaisen homomorfismin olemassaolo ja ainutlaatuisuus ilmaistaan polynomirenkaan tietyllä universaalilla ominaisuudella ja selittää polynomirenkaan tietyn "ainutlaatuisuuden" rengasteorian ja kommutatiivisen algebran erilaisissa rakenteissa .

Moduulit

k [ x ] on pääasiallinen ideaalialue , joten vastaava rakennelause pätee sen yli oleviin moduuleihin . Tämä luokittelu on tärkeä lineaaristen operaattoreiden teoriassa , koska moduulit yli k [ x ] vastaavat yksi-yhteen lineaarisia operaattoreita k -vektoriavaruudessa.

Polynomit renkaan päällä

Polynomit renkaan päällä määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin kentän polynomit, mutta useimmat yllä luetellut ominaisuudet eivät enää ole totta niille. Ensinnäkin jakolalgoritmia ei voida soveltaa polynomeihin mielivaltaisen renkaan yli, koska renkaassa on mahdotonta jakaa edes nolla-asteen (vakio) polynomeilla. Siksi polynomirengas ei yleensä ole euklidinen (eikä edes pääideaalialue), vaan R [ x ] pysyy faktoriaalisena , jos R itse on faktoriaalinen. Samassa mielessä, kun siirrytään polynomirenkaaseen, eheys ja Noetherian ominaisuudet säilyvät (jälkimmäinen tulos tunnetaan Hilbertin kantalauseena ).

Polynomit useissa muuttujissa

Määritelmä

N: n muuttujan X 1 ,…, X n polynomi , jonka kertoimet ovat kentässä K , määritellään samalla tavalla kuin yhden muuttujan polynomi, mutta merkintä monimutkaistuu. Olkoon minkä tahansa moniindeksin α = ( α 1 ,…, α n ), jossa jokainen α i on nollasta poikkeava kokonaisluku

X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ ldots X_{n}^{\alpha _{n)),\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n))\in \mathbb {K} .\

X α : ta kutsutaan astemonomiaaliksi . Polynomi on äärellinen lineaarinen yhdistelmä monomeja, joiden kertoimet ovat K : ssa . ${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i))$ ${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha ))$

Polynomit n muuttujassa kertoimilla kentässä k (tavallisilla yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla) muodostavat kommutatiivisen renkaan, jota merkitään k [ x 1 ,…, x n ]. Tämä rengas voidaan saada suorittamalla toistuvasti operaatiota "otan polynomirengas tietyn renkaan yli". Esimerkiksi k [ x1 , x2 ] on isomorfinen k [ x1 ][ x2 ] :n kanssa, samoin kuin k [ x2 ] [ x1 ] . Tällä renkaalla on keskeinen rooli algebrallisessa geometriassa . Monia tuloksia kommutatiivisessa algebrassa on saavutettu tutkimalla tämän renkaan ja sen ylitse olevien moduulien ihanteita.

Hilbertin nollalause

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k [ x 1 ,…, x n ] и алгебраическими подмногообразиями k n известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

( heikko muoto, algebrallisesti suljettu kenttä ) Olkoon k algebrallisesti suljettu kenttä . Silloin millä tahansa renkaan k [ x 1 ,…, x n ] maksimiideaalilla m on muoto

m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}.

( heikko muoto, mikä tahansa kertoimien kenttä ) Olkoon k kenttä, K algebrallisesti suljettu kenttä , joka sisältää k :n ja I ideaali renkaassa k [ x 1 ,…, x n ]. Silloin I sisältää 1, jos ja vain jos I :n polynomeilla ei ole yhteistä nollaa K n :ssä .
( vahva muoto ) Olkoon k kenttä, K algebrallisesti suljettu kenttä , joka sisältää k , I ideaali renkaassa k [ x 1 ,…, x n ] ja V ( I ) algebrallinen alalaji , K n , jonka määrittelee I . Olkoon f polynomi, joka on yhtä suuri kuin nolla V ( I ) kaikissa kohdissa . Silloin jokin aste f kuuluu ideaaliin I .

Ideaaliradikaalin määritelmää käyttäen tämä lause sanoo, että f kuuluu radikaaliin I. Tämän lauseen muodon välitön seuraus on bijektiivinen vastaavuus radikaaliideaalien K [ x 1 ,…, x n ] ja n - ulotteisen affiniavaruuden K n algebrallisten alavariaatioiden välillä .

Katso myös

Kirjallisuus

Tsit Yuen Lam. Ensimmäinen ei-kommutatiivisten renkaiden kurssi. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 2001. - ISBN 978-0-387-95325-0 .
Serge Lang. Algebra. – 3. - New York: Springer-Verlag, 2002. - V. 211. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
M. Scott Osborne. Perushomologinen algebra. - Berliini, New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 196. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). - ISBN 978-0-387-98934-1 .