Hajotuskenttä

Polynomin p hajoamiskenttä kentän yli on kentän pienin laajennus , jonka yli se hajoaa lineaaristen tekijöiden tuloksi: $K$ $L$ $K,$ $s$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

missä

x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.

Tässä tapauksessa, eli tämä on suurin mahdollinen kenttä, kaikki alkiot, joissa voidaan muodostaa lisäämällä ja kertomalla kenttäelementtejä ja lukuja sekä keskenään että keskenään. Siksi hajoamiskentästä puhutaan jatkeena, joka saadaan lisäämällä kaikkiin tietyn polynomin juuriin . $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ $K$ $x_1,\pisteet,x_n$ $L$ $K$

Samalla tavoin esittelemme polynomiperheen hajoamiskentän käsitteen , laajennuksen L siten, että jokainen p i hajoaa L [ x ]:ssä lineaarisiin tekijöihin ja L generoidaan K :n yli kaikkien juurien p i avulla . Polynomien p 1 , p 2 , …, p n äärellisen joukon hajoamiskenttä tulee luonnollisesti olemaan niiden tulon p=p 1 p 2 …p n hajotuskenttä . $p_{i}(x),i\in I$

Laajennuskenttä on normaali laajennus . Lisäksi jokainen normaalilaajennus voidaan esittää jonkin polynomiperheen hajotuskenttänä.

Ominaisuudet

Äärillisen polynomiperheen hajotuskenttä on kentän äärellinen algebrallinen laajennus . $K$
Polynomin hajoamiskenttä on olemassa mille tahansa polynomiperheelle p i ja se on yksiselitteisesti määritelty isomorfismiin asti , joka on identtinen K :llä .

Esimerkkejä

Jos polynomin aste ei ylitä , niin . $s$ $yksi$ $L=K$
Kompleksilukukenttä $\mathbb {C}$ toimii polynomin laajennuskenttänä reaalilukukentän yli . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Mikä tahansa äärellinen kenttä , jossa on polynomin laajennuskenttä yksinkertaisen alikentän yli . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Kirjallisuus

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967