Rengasteoria on yleisen algebran haara , joka tutkii renkaiden ominaisuuksia - algebrallisia rakenteita , joissa on yhteen- ja kertolasku, jotka ovat käyttäytymisellään samanlaisia kuin lukujen yhteen- ja kertolasku. Rengasteoriassa on kaksi haaraa: kommutatiivisten ja ei-kommutatiivisten renkaiden tutkimus.
Kommutatiivisia renkaita tutkitaan yleisesti paremmin, koska ne ovat pääasiallinen tutkimuskohde kommutatiivisessa algebrassa , joka on tärkeä osa nykyaikaista matematiikkaa ja tarjoaa työkalut algebrallisen geometrian ja algebrallisen lukuteorian kehittämiseen . Nämä kolme teoriaa liittyvät niin läheisesti toisiinsa, että aina ei ole mahdollista osoittaa, mille alueelle tietty tulos kuuluu, esimerkiksi Hilbertin nollalause on perusrooli algebrallisessa geometriassa, mutta se on muotoiltu ja todistettu kommutatiivisen algebran kannalta. Toinen esimerkki on Fermatin viimeinen lause , joka ilmaistaan alkeisaritmeettisena (joka on osa kommutatiivista algebraa), mutta sen todistus käyttää sekä algebrallisen geometrian että algebrallisen lukuteorian syviä tuloksia.
Ei-kommutatiivisten renkaiden käyttäytyminen on monimutkaisempaa, niiden teoriaa kehitettiin kommutatiivisesta algebrasta riippumattomasti melko pitkään, mutta 1900-luvun lopulla oli taipumus rakentaa tätä teoriaa geometrisemmin, ottaen huomioon sellaiset renkaat. funktioiden renkaina (ei-olemassa olevissa) "ei-kommutatiivisissa tiloissa". Tämä suuntaus sai alkunsa 1980-luvulla ei-kommutatiivisen geometrian ilmaantumisen ja kvanttiryhmien löytämisen myötä . Näiden teorioiden menetelmiä soveltamalla on saavutettu parempi ymmärrys ei-kommutatiivisista renkaista, erityisesti ei-kommutatiivisista Noetherin renkaista . [1] .
Yhteistä kaikille renkaille:
Rakennelauseet joillekin rengasluokille: