Moduuli renkaan yläpuolella

Moduuli renkaan päällä on yksi yleisalgebran peruskäsitteistä , joka on yleistys kahdesta algebrallisesta käsitteestä - vektoriavaruudesta (itse asiassa vektoriavaruus on kentän päällä oleva moduuli ) ja Abelin ryhmästä (joka on moduuli kokonaislukurenkaan yli ). $\mathbb {Z}$

Moduulin käsite on kommutatiivisen algebran ytimessä , jolla on tärkeä rooli matematiikan eri alueilla, kuten esim.

Motivaatio

Vektoriavaruudessa skalaarijoukko muodostaa kentän ja skalaarilla kertominen tyydyttää useita aksioomia , kuten kertolaskujakauman . Moduulissa vaaditaan vain, että skalaarit muodostavat renkaan (assosiatiivinen, yksikkö ), aksioomit pysyvät samoina.

Suuri osa moduuliteoriasta koostuu yrityksistä yleistää vektoriavaruuksien tunnetut ominaisuudet niihin, joskus tätä varten täytyy rajoittua "hyvin käyttäytyvien" renkaiden moduuleihin, kuten ideaalialueisiin . Yleensä moduulit ovat kuitenkin monimutkaisempia kuin vektoriavaruudet. Esimerkiksi jokainen moduuli ei voi valita kantaa , ja jopa niillä, joissa tämä on mahdollista, voi olla useita kantoja, joissa on eri määrä elementtejä (ei-kommutatiivisen renkaan tapauksessa).

Määritelmät

Antaa olla rengas ( yleensä katsotaan kommutatiiviseksi identiteettielementin kanssa ). A -moduuli on Abelin ryhmä , joka toimii kertomalla renkaan elementeillä : $R\$ $1\in R$ $R$ $M\$ $R\$

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,

joka täyttää seuraavat ehdot:

yksi)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\forall m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

neljä)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Huomautus: Ei-kommutatiivisen renkaan tapauksessa tällaisia moduuleja kutsutaan usein vasemmaksi . Tässä tapauksessa oikeat moduulit ovat niitä objekteja, joissa ehto 1) korvataan seuraavalla:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

joka on paljon helpompi muotoilla kirjoittamalla rengaselementti moduulielementin oikealle puolelle : $m$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ siksi terminologia.

Kommutatiivisen renkaan tapauksessa vasemman ja oikean moduulin määritelmät ovat samat, ja niitä kutsutaan yksinkertaisesti moduuleiksi. $R\$

Mitä tahansa rengasta voidaan pitää moduulina itsensä yläpuolella (ei-kommutatiivisessa tapauksessa se on myös oikea moduuli itsensä yli). $R\$

Aiheeseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet

Moduulin alimoduuli on ryhmän aliryhmä , joka on suljettu elementeillä kertomiseen osoitteesta , eli siten, että: $HERRA}\$ $B\$ $M\$ $R\$

\kaikki b\in B,\ r\in R\ :rb\in B

Jos rengasta tarkastellaan vasemmanpuoleisena moduulina itsensä yläpuolella, sen alimoduulit ovat vasen ihanteita ; jos rengasta pidetään oikeana moduulina, niin oikeilla ihanteilla. Kommutatiivisessa tapauksessa vasemmiston ja oikeiston ihanteiden käsitteet osuvat yhteen. $R$

Homomorfismi tai -moduulien homomorfismi on ryhmähomomorfismi , jonka lisäehto täyttyy . Kaikkien tällaisten homomorfismien joukkoa merkitään . Tässä joukossa voidaan esitellä Abelin ryhmän rakenne määrittelemällä 0 ja seuraavat yhtälöt: $R$ ${\näyttötyyli ,R}$ $A$ $B$ $\phi :A\-B$ $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Jos on moduulin alimoduuli , voimme pitää osamäärämoduulia elementtien ekvivalenssiluokkien joukkona määrittämällä elementtien välisen ekvivalenssisuhteen: $N$ $M$ $M/N$ $M$

a\sim b

jos ja vain jos .

ba

N

Tekijämoduulin elementit merkitään yleensä nimellä . Yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään kaavoilla . $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Esimerkkejä

Mikä tahansa Abelin ryhmä on kokonaislukurenkaan yläpuolella oleva moduuli.
Mikä tahansa rajattu Abelin ryhmä (eli Abelin ryhmä , joka on ) on moduuli jäännösluokkien renkaan yläpuolella modulo . $n$ $A$ $nA=0$ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
Lineaarinen tila kentän päällä on modulo over . $F$ $F$
Lineaarinen avaruus on moduuli kaikkien sen lineaaristen muunnosten renkaan päällä $V$ $L(V)$
Tasaisen jakotukin differentiaalimuodot on varustettu luonnollisella moduulirakenteella kaikkien tasaisten toimintojen renkaan päällä . $M$ $M$
Jos I on renkaan R vasen ideaali , se on vasen moduuli tämän renkaan päällä. Samoin oikeat ihanteet ovat oikeita moduuleja.

Moduulityypit

Lopullisesti luodut moduulit
Sykliset moduulit : Moduulin sanotaan olevan syklinen, jos se on luotu yhdestä elementistä.
Ilmaiset moduulit
Projektiiviset moduulit
Injektiomoduulit
Hajoamattomat moduulit : Moduulin sanotaan olevan hajoamaton, jos se on nollasta poikkeava eikä sitä voida hajottaa kahden nollasta poikkeavan moduulin suoraksi summaksi .
Täysin hajoavat moduulit : moduulit, jotka voidaan hajottaa hajoamattomien suoraan summaksi.
Yksinkertaiset moduulit
Puoliyksinkertaiset moduulit
Artin moduulit
Noetherian moduulit

Historia

Yksinkertaisimmat esimerkit moduuleista (äärelliset Abelin ryhmät eli -moduulit) esiintyvät jo Gaussissa binääristen neliömuotojen luokkaryhmänä. Moduulin yleinen käsite kohdataan ensimmäisen kerran 1960- ja 1980-luvuilla. XIX vuosisadalla Dedekindin ja Kroneckerin teoksissa , jotka on omistettu algebrallisten lukujen ja algebrallisten funktioiden kenttien aritmetiikalle. Suunnilleen samaan aikaan suoritettu äärellisulotteisten assosiatiivisten algebroiden ja erityisesti äärellisten ryhmien ryhmäalgebrojen (B. Pierce, F. Frobenius ) tutkimus johti joidenkin ei-kommutatiivisten renkaiden ihanteiden tutkimiseen. Aluksi moduuliteoria kehittyi pääasiassa jonkin renkaan ihanteiden teoriana. Vasta myöhemmin E. Noetherin ja W. Krullin teoksissa huomattiin, että on kätevämpää muotoilla ja todistaa monia tuloksia mielivaltaisina moduuleina, ei vain ihanteina. $\mathbb {Z}$

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra. - M .: IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.