Lisäys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Summa ( lisäys [2] ) on yksi kahden argumentin (termin) binaarisista matemaattisista perusoperaatioista ( aritmeettisista operaatioista) , jonka tuloksena saadaan uusi luku ( summa ), joka saadaan lisäämällä ensimmäisen argumentin arvoa arvolla. toisesta väitteestä. Toisin sanoen jokaiselle joukon alkioparille on määritetty elementti, jota kutsutaan summaksi ja . Tämä on yksi neljästä aritmeettisen matemaattisen perusoperaation joukosta . Sen prioriteetti normaalissa toimintojen järjestyksessä on yhtä suuri kuin vähennyksen prioriteetti $(a, b)$ $A$ $c=a+b$ $a$ $b$ , mutta pienempi kuin eksponentio , juuren erotus , kertolasku ja jako [3] . Kirjallisesti lisäys merkitään yleensä plusmerkillä : . Lisääminen on mahdollista vain, jos molemmat argumentit kuuluvat samaan elementtijoukkoon ( on sama tyyppi ). Oikeanpuoleisessa kuvassa merkintä tarkoittaa siis kolmea omenaa ja kahta omenaa yhdessä, mikä antaa yhteensä viisi omenaa. Mutta et voi lisätä esimerkiksi 3 omenaa ja 2 päärynää. $a+b=c$
$3+2$

Systemaattisten yleistysten avulla voidaan määrittää yhteenlasku abstrakteille suureille, kuten kokonaisluvuille , rationaaliluvuille , reaaliluvuille ja kompleksiluvuille , sekä muille abstrakteille objekteille, kuten vektoreille ja matriiseille .

Lisäyksellä on useita tärkeitä ominaisuuksia (esimerkiksi ) (katso summa ): $A=$ $\mathbb {R}$

Kommutatiivisuus : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Assosiatiivisuus : ${\näyttötyyli (a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A;}$
Jakelu : ja $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$ $(a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\quad \forall a,b\in \ A;$
Lisäämällä (nolla elementti) saadaan numero, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen: $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Pienten lukujen lisääminen on yksi ensimmäisistä taidoista, joita lapsille opetetaan ala-asteella.

Erilaisia lisälaitteita tunnetaan muinaisista abacusista nykyaikaisiin tietokoneisiin .

Lomakkeet ja terminologia

Lisäys kirjoitetaan käyttämällä plusmerkkiä "+" termien väliin; tätä merkintätapaa kutsutaan infix-merkinnöiksi . Tulos kirjoitetaan yhtäläisyysmerkillä . Esimerkiksi,

$a+b=c$ ("plus on yhtä kuin ce")
$1+1=2$ ("yksi plus yksi on kaksi")
$2+2=4$ ("kaksi plus kaksi on neljä")
$5+4+2=11$ (katso "assosiatiivisuus" alla )
$3+3+3+3=12$ (katso "kertominen" alla )

Useissa tilanteissa lisätään summa, mutta lisäyssymboleja ei käytetä:

Lukujen merkitsemisessä paikkalukujärjestelmissä: luvun merkintä tarkoittaa sarjan summausta [4] . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Jos on numerosarake, jonka viimeinen (alempi) numero on alleviivattu , niin yleensä ymmärretään, että kaikki tämän sarakkeen luvut lasketaan yhteen ja tuloksena oleva summa kirjoitetaan alleviivatun numeron alle.
Jos on merkintä, jossa on kokonaisluku ennen murtolukua , tämä merkintä tarkoittaa kahden termin - kokonaisluvun ja murtoluvun - summaa, jota kutsutaan sekaluvuksi [5] . Esimerkiksi
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Tämä merkintä voi aiheuttaa sekaannusta, koska useimmissa muissa tapauksissa tällainen merkintä tarkoittaa kertolaskua , ei yhteenlaskua [6] .

Suhteessa olevien lukujen sarjan summa voidaan kirjoittaa symbolilla Σ, mikä mahdollistaa iteroinnin kirjoittamisen kompaktisti . Esimerkiksi,

\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Lisäykset ovat numeroita tai objekteja, jotka on laskettu yhteen [7] .

Plusmerkki "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) on yksinkertaistus latinan sanasta "et", joka tarkoittaa "ja" [8] . Tämä symboli löytyy ensimmäistä kertaa kirjoista vuodesta 1489 [9]

Tulkinnat

Lisäystä käytetään lukuisten fyysisten prosessien mallintamiseen. Jopa yksinkertaiselle luonnollisten lukujen lisäämiselle on olemassa monia erilaisia tulkintoja ja vielä enemmän visuaalisia esitystapoja.

Sarjojen yhdistäminen

Ehkä perustavanlaatuisin summan tulkinta on joukkojen yhdistelmä:

Jos kaksi tai useampi ei-päällekkäinen ominaisuusjoukko yhdistetään yhdeksi joukoksi, tuloksena olevan joukon ominaisuuksien määrä on yhtä suuri kuin alkuperäisten joukkojen ominaisuuksien lukumäärän summa.

Tämä tulkinta on helppo visualisoida ja epäselvyyden riski on minimaalinen. Ei kuitenkaan ole selvää, kuinka selittää murto- tai negatiivisten lukujen yhteenlasku käyttämällä tätä yhteenlaskutulkintaa [10] .

Yksi mahdollinen ratkaisu olisi viitata joukkoon esineitä, jotka voidaan helposti erottaa, kuten piirakat tai tangot segmenteillä [11] . Segmenttisarjojen yhdistämisen sijaan tangot voidaan kiinnittää toisiinsa päistään, mikä havainnollistaa erilaista yhteenlaskukonseptia: tangot eivät laske yhteen, vaan niiden pituudet.

Pituuspidennys

Lisäyksen toinen tulkinta on laajentaa alkuperäistä pituutta lisätyn pituuden määrällä:

Kun alkupituutta pidennetään lisätyllä pituudella, niin tuloksena oleva pituus on yhtä suuri kuin alkupituuden ja siihen lisätyn pituuden summa [12] .

Summa a + b voidaan tulkita a:n ja b:n binääriliitoksi algebrallisessa mielessä , ja se voidaan myös tulkita lisäämällä lukuon a b ykköstä . Jälkimmäisessä tulkinnassa summan a + b osilla on epäsymmetrinen rooli, ja operaatio a + b katsotaan soveltavan unaarioperaatiota + b lukuon a [13] . Unaarilähestymistavan avulla voit siirtyä vähentämiseen , koska jokaisella unaarilaskuoperaatiolla on käänteinen unaarivähennysoperaatio ja päinvastoin.

Ominaisuudet

Numeeristen joukkojen summausoperaatiolla on seuraavat pääominaisuudet: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Kommutatiivisuus

Yhteenlasku on kommutatiivinen - summa ei muutu termien paikkoja vaihtamalla (tämä ominaisuus tunnetaan myös kommutatiivisena yhteenlaskulakina ): On olemassa muitakin kommutatiivisuuslakeja: esimerkiksi on olemassa kommutatiivinen kertolasku. Monet binäärioperaatiot , kuten vähentäminen ja jako, eivät kuitenkaan ole kommutatiivisia. $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$

Assosiatiivisuus

Yhteenlasku on assosiatiivinen - kun kolmen tai useamman luvun summaus suoritetaan peräkkäin, operaatioiden järjestyksellä ei ole väliä ( assosiatiivinen yhteenlaskulaki ): ${\näyttötyyli (a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.}$

Jakavuus

Summaisuus on distributiivinen , tämä on kahden samalle joukolle määritetyn binäärioperaation konsistenssin ominaisuus ( distributiivinen laki ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Neutraali elementti

Mitä tulee yhteenlaskemiseen, joukossa on vain yksi neutraali alkio , luvun lisääminen (nolla tai neutraali alkio) antaa luvun, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen: $A$ $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Tämä laki kuvattiin ensimmäisen kerran tarkistetussa Brahman traktaatissa , jonka Brahmagupta kirjoitti vuonna 628. Hän kirjoitti tämän lain kolmen erillisen lain muodossa: negatiiviselle, positiiviselle ja nollaluvulle a ja kuvaamaan näitä lakeja. hän käytti sanoja, ei algebrallisia symboleja. Myöhemmin intialaiset matemaatikot tarkensivat käsitteitä; noin vuonna 840 Mahavira kirjoitti, että "nollasta tulee sama kuin siihen lisätty", mikä vastasi merkintää 0 + a = a . 1100-luvulla Bhaskara II kirjoitti: "Jos mitään ei lisätä tai mitään ei vähennetä, määrä, positiivinen tai negatiivinen, pysyy samana kuin se oli", mikä vastaa merkintää a + 0 = a [15] .

Käänteinen elementti

Lisääminen vastakkaisella elementillä antaa : [16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

Lisäksi summaus ei vie tulosta annetun lukujoukon ulkopuolelle, joten ne suljetaan summausoperaation aikana. Nämä joukot operaatioineen ja muodostavat renkaita ( kommutatiivisia renkaita identiteetillä) [17] . Yleisalgebran kielellä yllä olevat summauksen ominaisuudet sanovat, että ne ovat Abelin ryhmiä summausoperaation suhteen. $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+$ $\cdot$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Suoritetaan lisäystä

Summausoperaatio voidaan esittää eräänlaisena " mustana laatikkona ", jossa on kaksi termiä tulossa ja yksi lähtö - summa: [18] [19]

Kahden luvun lisäämisen ongelman käytännön ratkaisussa on tarpeen vähentää se yksinkertaisempien toimintojen sarjaksi: "yksinkertainen lisäys" , siirto, vertailu jne. Tätä varten on kehitetty erilaisia summausmenetelmiä esimerkiksi luvuille, murtoluvuille, vektoreille jne. Numeerisissa joukoissa käytetään bittikohtaista summausalgoritmia [ 20] . Tässä tapauksessa lisäämistä on pidettävä toimenpiteenä (toisin kuin toimenpide).

Esimerkkialgoritmi kahden luvun bittikohtaiseen yhteenlaskemiseen [21]

Kuten näet, menettely on melko monimutkainen, se koostuu suhteellisen suuresta määrästä vaiheita, ja kun lisäät suuria numeroita, se voi kestää kauan.

"Yksinkertainen lisäys" - tarkoittaa tässä yhteydessä yksinumeroisten lukujen lisäämistä, joka voidaan helposti vähentää kasvavaksi . ] inkrementtihyperoperaattori :

$a+b=\operaattorinimi {hyper1} (a,b)=\operaattorinimi {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$

$a{^{(1)}}b=a+b=\alaviiva {1+1+\pisteet +1} _{a}+\alaviiva {1+1+\pisteet +1} _{b }.$

missä on suoritettujen operaatioiden järjestys ja ajat. ${\näyttötyyli 1+1+\pisteet +1}$ $a$ $b$

Luontainen kyky

1980-luvulla alkanut matemaattinen kehitystutkimus tarkasteli tottumuksen ilmiötä : vauvat katsovat pidempään odottamattomia tilanteita [22] . Karen Vinnin vuoden 1992 kokeessa käytettiin Mikki Hiiri - nukkeja , joita käsiteltiin eri tavoin näytön takana Tämä koe osoitti, että 5 kuukauden ikäiset vauvat odottavat 1 + 1 olevan 2 ja ovat yllättyneitä, kun 1 + 1 on 1 tai 3. Tämä tulos vahvistettiin myöhemmin muissa laboratorioissa eri menetelmillä [23] . Toisessa kokeessa vuonna 1992 vanhemmilla, 18–35 kuukauden ikäisillä taaperoilla, kehitettiin lasten motorisia taitoja, jolloin he saivat pingispalloja laatikosta. nuoremmat kaverit selviytyivät hyvin pienestä määrästä palloja, vanhemmat oppivat laskemaan summan viiteen asti [24] .

Jopa jotkut eläimet osoittavat kykyä taittaa, erityisesti kädelliset . Vuoden 1995 koe oli samanlainen kuin Winnin vuoden 1992 koe, mutta munakoisoja käytettiin nukkien sijasta . Kävi ilmi, että reesusapinoilla ja edipaalitamariineilla on samanlaisia kykyjä kuin ihmisvauvoilla. Lisäksi yksi simpanssi , joka oli opetettu erottamaan ja ymmärtämään arabialaisten numeroiden 0-4 merkitys, pystyi laskemaan kahden luvun summan ilman koulutusta [25] . Myöhemmin havaittiin, että Aasian norsut pystyvät hallitsemaan aritmeettisia perusoperaatioita [26] .

Lasten lisäyksen hallinta

Yleensä lapset oppivat laskemaan ensin . Kun nuoret lapset saavat tehtävän, joka vaatii kahden esineen ja kolmen esineen yhdistämistä, he turvautuvat tiettyjen esineiden, kuten sormilaskennan tai piirtämisen, apuun. Kokemuksen saatuaan he oppivat tai löytävät "laskenta"-strategian: kun on selvitettävä, kuinka paljon kaksi plus kolme on, lapset luettelevat kaksi numeroa, jotka tulevat luvun kolmen jälkeen sanoen: "kolme, neljä, viisi " . (yleensä taivuttaa sormiaan) ja sen seurauksena saada viisi. Tämä strategia näyttää melkein universaalilta; lapset voivat helposti oppia sen ikätovereiltaan tai opettajilta [27] . Monet lapset tulevat itse tähän. Kokemuksen kerattuaan lapset oppivat lisäämään nopeammin, käyttämällä yhteenlaskua ja alkavat luetella numeroita summan suurimmasta numerosta, kuten yllä kuvatussa tapauksessa, alkaen kolmesta ja listaamalla: "neljä, viisi ". Lopulta lapset alkavat käyttää joitain faktoja lisäämisestä (" esimerkkejä ulkoa lisäämisestä "), joko oppimalla ne kokemuksella tai opettelemalla ne ulkoa. Kun jotkut tosiasiat jäävät muistiin, lapset alkavat päätellä tuntemattomia faktoja tunnetuista. Esimerkiksi lapsi, joka lisää kuusi ja seitsemän, voi tietää, että 6 + 6 = 12, ja siksi 6 + 7 on yksi enemmän, eli 13 [28] . Tällainen johtopäätös tulee melko nopeasti, ja useimmat peruskoulun oppilaat luottavat sekoitukseen kaikesta, mitä he muistavat ja mitä he voivat päätellä, minkä ansiosta he voivat lopulta lisätä sujuvasti [29] .

Eri maissa kokonaislukujen ja aritmeettisten opiskelu aloitetaan eri ikäisinä, pääasiassa yhteenlaskua opetetaan esikouluissa [30] . Samanaikaisesti kaikkialla maailmassa, alakoulun ensimmäisen vuoden lopussa, opiskelijat oppivat lisäämistä [31] .

Lisäystaulukko

Lapsille näytetään usein taulukko, jossa voidaan lisätä numeropareja 1:stä 10:een, jotta he oppivat paremmin muistamaan.[ float lauseke ] . Kun tiedät tämän taulukon, voit tehdä minkä tahansa lisäyksen.

desimaalilukutaulukko

+	0	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9
0	0	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9
yksi	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen
2	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista
3	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12
neljä	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13
5	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista
6	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista
7	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16
kahdeksan	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16	17
9	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16	17	kahdeksantoista

Desimaalijärjestelmä

Jotta voit lisätä desimaalilukuja onnistuneesti , sinun on muistettava tai pystyttävä nopeasti näyttämään 100 "faktaa (esimerkkejä) yhteenlaskemisesta" yksinumeroisista luvuista. Kaikki nämä tosiasiat voidaan muistaa opettelemalla ne ulkoa, mutta strategiat lisäämisen oppimiseen kuvioiden avulla ovat informatiivisempia ja tehokkaampia useimmille ihmisille: [32]

Kommutatiivinen ominaisuus : Mallin käyttäminen vähentää muistettavien "lisäystietojen" määrää 100:sta 55:een. $a + b = b + a$
Yksi tai kaksi lisää : 1:n tai 2:n lisääminen on perusongelma, ja se voidaan ratkaista laskemalla (laskemalla) tai lopulta luottaen intuitioon [32] .
Nolla : koska nolla on lisäystoiminnon neutraali elementti (lisäaineyksikkö), nollan lisääminen on helppoa. Aritmetiikan opiskelun aikana yhteenlasku esitetään kuitenkin joillekin opiskelijoille prosessina, jonka aikana termit kasvavat jatkuvasti; ongelman sanallisen muotoilun painottaminen voi auttaa ymmärtämään nollan "yksinomaisuuden" [32] .
Tuplaus : Luvun lisääminen itseensä liittyy kaksinkertaistamiseen (uudelleen)laskentaan ja kertomiseen . Faktojen kaksinkertaistaminen on perusta monille toisiinsa liittyville tosiasioille, ja se on opiskelijoiden suhteellisen helppo ymmärtää [32] .
Melkein tuplaantuu (Summat lähellä kaksinkertaistamista) : summa 6 + 7 = 13 voidaan nopeasti päätellä faktasta, että tuplataan 6 + 6 = 12 ja lisätään yksi, tai tosiasiasta 7 + 7 = 14 ja vähennetään yksi [32 ] .
Viisi ja kymmenen : muotoa 5 + x ja 10 + x olevat summat muistetaan yleensä aikaisin ja niistä voidaan päätellä muita tosiasioita. Esimerkiksi summan 6 + 7 = 13 tulos voidaan päätellä käyttämällä tosiasiaa 5 + 7 = 12 lisäämällä yksi viimeiseen [32] .
Kymmenen saaminen (jopa kymmenen rakentaminen) : on olemassa strategia, jossa 10:tä käytetään välituloksena termien 8 tai 9 läsnä ollessa; esimerkiksi 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

Kun oppilaat kasvavat vanhetessaan, he muistavat yhä enemmän tosiasioita ja oppivat nopeasti päättelemään niistä muita tosiasioita. Monet opiskelijat eivät muista kaikkia tosiasioita, mutta voivat nopeasti päätellä vaaditut [29] .

Siirrä

Tavallisessa moninumeroisessa summausalgoritmissa[ virtaviivainen lauseke ] lisättyjen numeroiden syötteet muodostavat numerot sijaitsevat toistensa alla. Suorita numeroiden lisääminen jokaiseen sarakkeeseen erikseen oikealta alkaen. Jos sarakkeen numeroiden summa ylittää 10, ylimääräinen numero " siirretään " seuraavaan sarakkeeseen (vasemmalle). Esimerkiksi yhteensä 27 + 59

¹ 27 +59 ———— 86

7 + 9 = 16 ja numero 1 siirretään seuraavaan sarakkeeseen. Vaihtoehtoisessa menetelmässä aloita lisääminen vasemmalla olevasta merkittävimmästä numerosta; tässä strategiassa siirto on hieman karkeampaa, mutta likimääräinen määrä saadaan nopeammin. On monia muita siirtotapoja.

Desimaalien lisääminen

Desimaalilaskumenetelmä on yksinkertainen muunnos moninumeroisesta summauksesta, joka on kuvattu edellä [ 33] . Kun lisätään sarake, murtoluvut järjestetään siten, että pilkkuja[ tyyli ] olivat täsmälleen toistensa alla. Tarvittaessa lyhyemmän murto-osan oikealle ja vasemmalle puolelle voidaan lisätä nollia (katso loppunolla [ ja alkunollat ), jotta se on yhtä pitkä kuin pidemmän murto-osan pituus. Joten lisääminen suoritetaan samalla tavalla kuin yllä kuvatussa moninumeroisten lukujen lisäysmenetelmässä, vain pilkku sijaitsee vastauksessa tarkalleen missä se sijaitsi termeille.

Esimerkiksi summa 45,1 + 4,34 voidaan laskea seuraavasti:

45, 10 + 0 4 , 3 4 ————————————— 4 9, 4 4 Eksponentiaalinen merkintä

Eksponentiaalisessa merkinnässä luvut kirjoitetaan muodossa , missä on mantissa , on luvun ominaisuus ja on lukujärjestelmän perusta. Kahden eksponentiaalisessa muodossa kirjoitetun luvun lisääminen edellyttää, että niillä on samat ominaisuudet: distributiivisen ominaisuuden mukaan. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

Esimerkiksi:

2.34\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2,907\cdot 10^{-5}

Erikoistapaus on useiden suuruusluokkien eroavien lukujen lisääminen johdonmukaisella pyöristyksellä. Jos , niin näiden lukujen virheet ovat vertaansa vailla ( ), ja kun summaus suoritetaan, suurempi virhe absorboi pienemmän. Siten assosiatiivisuusominaisuus voidaan rikkoa. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta : jos suoritamme ensin , tuloksen pyöristämisen jälkeen saadaan , lisäämällä edelleen, meillä on , ja jos summaus suoritetaan eri järjestyksessä, niin: . Näin ollen epätarkka pyöristys voi johtaa saman lausekkeen erilaisiin arvoihin. $5.6\cdot 10^{8}+7.2+(-5.6\cdot 10^{8})$ $5.6\cdot 10^{8}+7.2$ ${\displaystyle \noin 5.6\cdot 10^{8))$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})=0$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})+7.2=0+7.2=7.2$

Lisäys muissa numerojärjestelmissä

Muiden kantalukujen lukujen yhteenlasku on identtinen desimaalijärjestelmän kanssa

Esimerkkinä voidaan harkita yhteenlaskua binäärijärjestelmässä [34] . Kahden yksinumeroisen binääriluvun lisääminen siirtoa käyttämällä on melko yksinkertaista:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 siirretään (koska 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Kahden 1:n summa on yhtä suuri kuin 0, ja 1 on lisättävä seuraavaan sarakkeeseen. Tämä tilanne on analoginen sen kanssa, mitä tapahtuu desimaalijärjestelmässä, kun tietyt yksinumeroiset luvut lasketaan yhteen; jos tulos on yhtä suuri tai suurempi kuin kantaarvon (10), vasemmalla olevat numerot kasvavat:

5 + 5 → 0, kanna 1 (koska 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, kanna 1 (koska 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Tämä toimenpide tunnetaan nimellä "siirto" [35] . Kun lisäyksen tulos ylittää arvoalueen ja paikan , sinun on "siirrettävä" järjestelmän kantaluvulla jaettuna ylijäämä (eli 10 desimaalilla) vasemmalle ja lisätään se arvo seuraavassa paikassa. Tämä johtuu siitä, että seuraavan numeron arvo on kertaa suurempi (-: nnessä numerojärjestelmässä) kuin nykyisen numeron arvo. Carry in binääri toimii samalla tavalla kuin desimaali: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (siirto) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ——————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Tämä esimerkki lisää kaksi numeroa: 01101 2 (13 10 ) ja 10111 2 (23 10 ). Ylärivi osoittaa siirron olemassaolon. Aloitamme lisäämisen oikeasta sarakkeesta: 1 + 1 = 10 2 . Tässä 1 siirretään vasemmalle ja 0 kirjoitetaan alimmalle riville. Nyt toisen sarakkeen oikealta luvut lasketaan yhteen: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 siirretään ja 0 kirjoitetaan alimmalle riville. Kolmas sarake: 1 + 1 + 1 = 11 2 . Tässä tapauksessa alimmalla rivillä on 1. Tuloksena saamme 100100 2 (tai 36 desimaalilla).

Tietokoneet

Analogiset tietokoneet toimivat suoraan fyysisten määrien kanssa, joten niiden lisäysmekanismi riippuu termien tyypistä. Mekaaninen summain voi edustaa kahta termiä liukupalojen paikoina , jolloin ne voidaan lisätä keskiarvovivun avulla . Jos termit esitetään kahden akselin pyörimisnopeuksina , ne voidaan lisätä differentiaalin avulla . Hydraulinen summain voi lisätä paineita kahdessa kammiossa käyttämällä Newtonin toista lakia tasapainottamaan mäntäkokoonpanoon kohdistuvia voimia . Tyypillisin analoginen tietokonesovellus on kahden jännitteen lisääminen (suhteessa maahan ); tämä voidaan toteuttaa karkeasti vastuspiirillä , ja edistyneessä versiossa käytetään operaatiovahvistinta [36] .

Lisäystoiminto on henkilökohtaisessa tietokoneessa perustoiminto . Lisäystoiminnon suorituskyky ja erityisesti siirtomekanismiin liittyvät rajoitukset vaikuttavat tietokoneen yleiseen suorituskykyyn.

Abacus , jota kutsutaan myös laskentatauluksi, on laskentalaite, jota käytettiin useita vuosisatoja ennen nykyaikaisen numerojärjestelmän käyttöönottoa. Kauppiaat, kauppiaat ja virkailijat käyttävät edelleen laajalti Aasiassa , Afrikassa ja muilla mantereilla. oletetaan, että abacus luotiin viimeistään 2700-2300 eKr. e., silloin sitä käyttivät sumerit [37] .

Blaise Pascal keksi mekaanisen laskimen vuonna 1642 [38] [39] ; se oli ensimmäinen toimiva lisäyskone . Tässä laskimessa siirtomekanismi toteutettiin painovoiman vuoksi. Se oli ainoa toimiva laskin 1600-luvulla [40] ja ensimmäinen automaattinen digitaalinen tietokone. Pascalin lisäyskonetta rajoitti sen siirtomekanismi, joka salli pyörien kääntymisen vain yhteen suuntaan ja siten pinota. Vähennystä varten käyttäjän oli käytettävä toista numerosarjaa kuvaamaan tulosta ja yhteenlaskumenetelmiä , jotka sisälsivät saman määrän vaiheita kuin yhteenlaskeminen. Giovanni Poleni jatkoi Pascalin työtä rakentamalla toisen toimivan mekaanisen laskimen vuonna 1709. Tämän laskimen kellotaulu oli puuta, ja asennettuna se kykeni kertomaan kaksi numeroa yhteen automaattisesti.

Summittimet suorittavat kokonaislukujen yhteenlaskua elektronisissa digitaalisissa tietokoneissa, yleensä käyttämällä binaariaritmetiikkaa . Yksinkertaisin rakenne käyttää aallonsiirtosummainta (edellisen summaimen siirto summainketjussa on seuraavan summaimen siirto), joka mahdollistaa monibittisten lukujen lisäämisen. Pientä parannusta tarjoaa skip-carry adder , joka toimii samalla tavalla kuin ihmisen intuitio; se ei tee kaikkia siirtoja summassa 999 + 1, se ohittaa yhdeksän ryhmän ja hyppää suoraan vastaukseen [41] .

Käytännössä summaus voidaan suorittaa modulo two -lisäyksen ja JA-operaation avulla yhdessä muiden bittikohtaisten toimintojen kanssa, kuten alla on esitetty. Molemmat toiminnot on helppo toteuttaa summainketjuissa , jotka puolestaan voidaan yhdistää monimutkaisemmiksi loogisiksi operaatioiksi . Nykyaikaisissa digitaalisissa tietokoneissa kokonaislukujen yhteenlasku ja muut kokonaislukuaritmeettiset käskyt ovat nopeimpia operaatioita, mutta samalla niillä on valtava vaikutus tietokoneen kokonaissuorituskykyyn, koska kokonaislukuoperaatiot muodostavat merkittävän osan kaikista laskelmat. Kokonaislukujen yhteenlaskua käytetään esimerkiksi sellaisissa tehtävissä, kuten osoitteiden luominen muistin käytön aikana ja ohjeiden hakeminen tietyn suoritusjärjestyksen aikana . Nopeuden lisäämiseksi nykyaikaiset tietokoneet laskevat arvot numeroina rinnakkain ; tällaisia järjestelmiä kutsutaan kantaviksi näytteiksi, kantamisen ennakoimiseksi ja pseudosiirroksi Ling-summaimessa . Useimmissa tapauksissa lisäyksen toteutus tietokoneella on kolmen viimeisen konstruktin hybridi [42] [43] . Toisin kuin paperilisäys, tietokonelisäys muuttaa usein ehtoja. Muinaisella abakuksella ja summaustaululla summauksen aikana molemmat termit tuhoutuivat, ja jäljelle jäi vain summa. Abakuksen vaikutus matemaattiseen ajatteluun oli niin suuri, että varhaisissa latinalaisissa teksteissä todettiin usein, että "luku numeroon" lisättäessä molemmat luvut katoavat [44] . Palaten nykyhetkeen toteamme, että mikroprosessorin ADD-käsky korvaa ensimmäisen termin arvon summalla, toinen termi pysyy ennallaan [45] . Korkean tason ohjelmointikielessä a + b : n arvioiminen ei muuta a:ta tai b :tä ; jos tehtävänä on kirjoittaa summa kirjaimeen a , niin tämä on ilmoitettava selvästi, yleensä lausekkeella a = a + b . Joissakin ohjelmointikielissä , kuten C tai C++ , tämä on lyhennetty muotoon a += b .

// Iteratiivinen algoritmi int add ( int x , int y ){ int carry = 0 ; while ( y != 0 ){ carry = AND ( x , y ); // Looginen JA x = XOR ( x , y ); // Looginen XOR y = kuljettaa << 1 ; // vasen bittisiirto kuljettaa yhdellä } return x ; } // Rekursiivinen algoritmi int add ( int x , int y ){ palauttaa x jos ( y == 0 ) muuten lisää ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }

Jos lisäyksen tulos on liian suuri tallennettavaksi, tapahtuu tietokoneella aritmeettinen ylivuoto , mikä johtaa virheelliseen vastaukseen tai poikkeukseen ohjelman suorittamisen aikana. Odottamaton aritmeettinen ylivuoto on melko yleinen ohjelmointivirheiden syy . Tällaisia ylivuotovirheitä voi olla vaikea havaita ja diagnosoida, koska niitä voi esiintyä vain erittäin suurilla syötetietosarjoilla, joita ei usein käytetä testeissä [46] . Reaalilukujen lisääminen nykyaikaisiin tietokoneisiin, kuten kaikki liukulukulaskelmat , toteutetaan laitteistossa erityisessä moduulissa, jota kutsutaan matemaattiseksi apuprosessoriksi (nimi on ehdollinen, koska nykyaikaisissa tietokoneissa se on fyysisesti integroitu keskusprosessoriin ). Liukulukulisäys voi myös vuotaa yli, mutta se tekee aina poikkeuksen eikä jää huomaamatta.

Toinen tärkeä ominaisuus liukulukulaskennassa on reaaliluvun esittämisen rajallinen tarkkuus, jonka yhteydessä tietokoneella suoritetaan yleensä likimääräisiä liukulukulaskutoimituksia ja laskennan tuloksiin (mukaan lukien välituloksiin) sovelletaan pyöristystoimintoa . Pyöristystä sovelletaan pääsääntöisesti jopa niihin lukuihin, joita desimaalilukujärjestelmässä edustaa äärellinen murtoluku, eli tarkalleen (koska yleisimmät tietokoneet käyttävät binäärilukujärjestelmää ). Tässä suhteessa laskettaessa liukulukuja tietokoneella summa riippuu pääsääntöisesti termien summausjärjestyksestä - joskus merkittävästi, jos termien järjestys eroaa merkittävästi. Tämä seikka huomioon ottaen, kun kirjoitetaan ohjelmia, jotka käyttävät suuren määrän termien summausta, on turvauduttava erityisiin toimenpiteisiin, joilla pyritään vähentämään virhettä. Yksi tehokkaimmista tavoista vähentää summausvirhettä on Kahan-algoritmi .

Numeron lisäys

Lisäämisen perusominaisuuksien esittämiseksi sinun on ensin päätettävä kontekstista. Lisäys määriteltiin alun perin luonnollisille luvuille . Summa määritellään yhä suuremmille joukoille, mukaan lukien luonnolliset luvut: kokonaisluvut , rationaaliluvut ja reaaliluvut [47] . ( Matematiikan opetuksessa [48] positiivisten murtolukujen yhteenlasku menee ennen negatiivisten lukujen lisäämistä [49] .)

Luonnolliset luvut

Käytetään luonnollisten lukujen määritelmää äärellisten joukkojen ekvivalenssiluokina . Merkitään rajallisten joukkojen ekvivalenssiluokat, jotka muodostuvat bijektioista hakasulkeiden avulla: . Sitten aritmeettinen operaatio "lisäys" määritellään seuraavasti: $\mathbb {N}$ ${\näyttötyyli C,A,B}$ ${\näyttötyyli [C],[A],[B]}$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

missä on joukkojen disjunktioliitto . Tämä luokkien toiminto on otettu käyttöön oikein, eli se ei riipu luokkaelementtien valinnasta, ja se sopii yhteen induktiivisen määritelmän kanssa. $A \sqcup B$

Äärillisen joukon yksi-yhteen-kuvaus segmenttiin voidaan ymmärtää joukon elementtien luetteloimiseksi . Tätä numerointiprosessia kutsutaan " laskemiseksi " [50] [ tarkista linkki (jo 506 päivää) ] . Siten "tili" on yksi yhteen vastaavuuden muodostaminen joukon elementtien ja luonnollisen lukusarjan segmentin välille [51] . $A$ ${\näyttötyyli N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

Luonnollisten lukujen lisäämiseksi numeroiden paikkamerkintään käytetään bittikohtaista summausalgoritmia. Annettu kaksi luonnollista lukua ja sellainen, että: $a$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

missä: ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- numeron numeroiden lukumäärä ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- luokan sarjanumero (sijainti), ;

k\in \{0,1,\dots ,n-1\}

P

- numerojärjestelmän perusta;

\{P\}

joukko numeerisia merkkejä (numeroita), tietty numerojärjestelmä:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

sitten:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\pisteet b_{0};

lisäämällä vähän kerrallaan saamme:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ jos }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cases}}$

Näin ollen summausoperaatio pelkistyy yksinkertaiseen peräkkäiseen yksinumeroisten lukujen yhteenlaskemiseen , jolloin muodostetaan tarvittaessa siirtoyksikkö, joka suoritetaan joko taulukkomenetelmällä tai lisäämällä (laskemalla). $a_{k}+b_{k}$

Aritmeettiset operaatiot lukuille missä tahansa paikkalukujärjestelmässä suoritetaan samojen sääntöjen mukaan kuin desimaalijärjestelmässä , koska ne kaikki perustuvat sääntöihin, jotka koskevat operaatioita vastaaville polynomeille [52] . Tässä tapauksessa sinun on käytettävä lukujärjestelmän annettua kantaa vastaavaa yhteenlaskutaulukkoa . $P$

Esimerkki luonnollisten lukujen lisäämisestä binääri-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmissä, mukavuussyistä numerot kirjoitetaan peräkkäin numeroiden mukaan, kantoyksikkö kirjoitetaan päälle, puuttuvat numerot on täytetty nolilla:

{\begin{array}{ccccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\begin \quad {array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array));\quad \quad {\begin{array}{ccccccc} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

Toinen kuuluisa määritelmä on rekursiivisesti:

Olkoon n + luonnollinen luku , joka seuraa : n n jälkeen , esimerkiksi 0 + =1, 1 + =2. Olkoon a + 0 = a . Sitten kokonaissumma määritetään rekursiivisesti: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Näin ollen 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

Tästä määritelmästä on kirjallisuudessa useita versioita. Rekursiolauseessa _[ tuntematon termi ] posetissa N 2 käytetään täsmälleen edellä annettua määritelmää. [54] . Toisaalta jotkut lähteet käyttävät mieluummin rajoitettua rekursiolausetta, joka koskee vain luonnollisten lukujen joukkoa. Jotkut ehdottavat a:n "korjaamista" väliaikaisesti toistamalla b : tä funktion " a +" määrittelemiseksi ja lisäämällä nämä unaarioperaatiot kaikille a :lle täydellisen binäärioperaation muodostamiseksi [55] .

Dedekind antoi tämän rekursiivisen lisäyksen määritelmän jo vuonna 1854, ja hän laajensi sitä seuraavina vuosikymmeninä [56] . Matemaattisen induktion avulla Dedekind osoitti assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuudet.

Kokonaisluvut

Kokonaislukujoukko on luonnollisten lukujen joukon laajennus , joka saadaan lisäämällä muodon negatiiviset luvut [57] . Kokonaislukujoukko on merkitty Aritmeettiset operaatiot kokonaisluvuille määritellään jatkuvaksi jatkoksi vastaaville luonnollisille lukuille suoritetuille operaatioille. Erona luonnollisista luvuista on, että negatiiviset luvut numeroviivalla on suunnattu vastakkaiseen suuntaan, mikä muuttaa jonkin verran summausmenettelyä. On tarpeen ottaa huomioon numeroiden keskinäinen suunta, tässä ovat mahdollisia useita tapauksia: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Jos molemmat ehdot ovat positiivisia, niin: $c=a+b;$
Jos yksi termeistä on negatiivinen, niin pienemmällä moduuliarvolla oleva termi on vähennettävä termistä, jolla on suurempi moduuliarvo , minkä jälkeen laitetaan tuloksena olevan luvun eteen sen termin etumerkki, jonka moduuli on suurempi: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Jos molemmat termit ovat negatiivisia, niin: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

Toinen kokonaislukujoukon konstruktio perustuu Grothendieck-ryhmiin . Pääajatuksena on, että jokainen kokonaisluku voidaan esittää (useammalla kuin yhdellä tavalla) kahden luonnollisen luvun erotuksena, joten voimme määritellä kokonaisluvun kahden luonnollisen luvun erotuksena. Sitten lisäys määritellään seuraavasti:

Olkoon kaksi kokonaislukua a − b ja c − d , joissa a , b , c ja d ovat luonnollisia lukuja, niin ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Rationaaliset luvut

Rationaalilukujen joukko on merkitty ( englanninkielisestä osamäärästä "yksityinen") ja se voidaan kirjoittaa tässä muodossa: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Jos haluat lisätä rationaalilukuja muodon tavallisten (tai yksinkertaisten) murtolukujen muodossa: , ne tulee muuntaa (tuoda) yhteiseksi (identtiseksi) nimittäjäksi . Otetaan esimerkiksi nimittäjien tulo, kun taas osoittajat kerrotaan vastaavilla nimittäjillä. Lisää sitten tuloksena saadut osoittajat, ja nimittäjien tulosta tulee yhteinen. $\pm {\frac {m}{n}}$

Jos annetaan kaksi rationaalilukua ja sellainen, että: (vähentämättömät murtoluvut), niin: $a$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Tai voit etsiä nimittäjien pienimmän yhteiskerran (LCM). Toimenpide:

Etsi nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Kerro toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Sen jälkeen molempien murtolukujen nimittäjät ovat samat (yhtä ). Useissa yksinkertaisissa tapauksissa tämä yksinkertaistaa laskelmia, mutta suurten lukujen tapauksessa laskelmat muuttuvat paljon monimutkaisemmiksi. Voit ottaa kuten minkä tahansa muun yhteisen kerrannaisen. $M$ $M$

Lisäysesimerkki:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {viisitoista}}.

Jos molempien murtolukujen nimittäjät ovat samat, niin:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Jos nimittäjät ovat minkä tahansa luvun kerrannaisia, muunnetaan vain yksi murtoluku:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

Aritmeettinen operaatio "lisäys" rationaalilukujen yli viittaa suljettuihin operaatioihin. Rationaalisten lukujen yhteenlaskemisen kommutatiivisuus ja assosiaatio on seurausta kokonaislukuaritmeettisista laeista [61] . Katso tarkempi ja yleisempi määritelmä murtolukujen artikkelikentässä .

Fysikaaliset suureet lasketaan yhteen samalla tavalla: ne ilmaistaan yhteisinä mittayksiköinä [62] . Esimerkiksi 50 millilitran ja 1,5 litran lisäämiseksi sinun on muutettava millilitrat litroiksi ja tuotava jakeet yhteiseen nimittäjään: litraa. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Reaaliluvut

Reaalilukujen aritmeettiset operaatiot , jotka esitetään äärettöminä desimaalilukuina, määritellään rationaalilukujen vastaavien operaatioiden jatkuvaksi jatkoksi [63] .

Annettu kaksi reaalilukua, jotka voidaan esittää äärettöminä desimaalilukuina :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

määritellään vastaavasti rationaalilukujen perussarjoilla (jotka täyttävät Cauchyn ehdon ), joita merkitään: ja , silloin niiden summa on luku , jonka määrittää sekvenssien ja : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

todellinen luku , täyttää seuraavan ehdon: $\gamma =\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Siten kahden reaaliluvun summa ja on sellainen reaaliluku , joka sisältyy yhtäältä muodon kaikkien summien ja toisaalta muodon kaikkien summien väliin [64] . $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$ $a'+b'$ $a''+b''$

Käytännössä kahden luvun ja lisäämiseksi on tarpeen korvata ne vaaditulla tarkkuudella likimääräisillä rationaalisilla luvuilla ja . Lukujen summan likimääräiseksi arvoksi ota määritettyjen rationaalilukujen summa . Samalla ei ole väliä, kummalta puolelta (puutteen tai ylimäärän perusteella) otetut rationaaliluvut ovat likimääräisiä ja . Lisäys suoritetaan bittikohtaisen lisäysalgoritmin mukaan. $\alpha$ $\beeta$ $a$ $b$ $\alpha +\beta$ $a+b$ $\alpha$ $\beeta$

Kun likimääräisiä lukuja lasketaan yhteen, niiden absoluuttiset virheet lasketaan yhteen , luvun absoluuttiseksi virheeksi otetaan puolet tämän luvun viimeisestä numerosta. Summan suhteellinen virhe on termien suhteellisten virheiden suurimman ja pienimmän arvon välillä; käytännössä otetaan suurin arvo . Saatu tulos pyöristetään ylöspäin ensimmäiseen oikeaan merkitsevään numeroon, likimääräisen luvun merkitsevä numero on oikea, jos luvun absoluuttinen virhe ei ylitä puolta tätä numeroa vastaavan numeron yksiköstä. $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Lisäysesimerkki , enintään 3 desimaalin tarkkuudella: $\gamma =\pi +e$

Pyöristämme nämä luvut neljänteen desimaaliin (laskentojen tarkkuuden parantamiseksi);
Saamme: ; $\pi \noin 3.1416,\quad e\noin 2.7183$
Lisää vähän kerrallaan: ; $\gamma =\pi +e\noin 3,1416+2,7183\noin 5,8599$
Pyöristys ylöspäin kolmanteen desimaaliin: . $\gamma \noin 5.860$

Aikataulu

Reaalilukujen joukossa summausfunktion kuvaaja on tason muotoinen, joka kulkee koordinaattien origon kautta ja on kallistettu akseleihin 45° kulma-astetta . Koska , niin näille joukoille summausfunktion arvot kuuluvat tähän tasoon. [65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Kompleksiluvut

Kompleksiluvut lisätään toisiinsa lisäämällä reaali- ja imaginaariosa [66] . Se tarkoittaa sitä:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Missä:, on imaginaariyksikkö . Käyttämällä kompleksilukujen esittämistä pisteinä kompleksitasolla , voimme antaa kompleksilukujen yhteenlaskulle seuraavan geometrisen tulkinnan : kompleksilukujen ja kompleksitason pisteillä esitetty summa on piste Kootaan rakentamalla suunnikas , jonka kolme kärkeä sijaitsevat pisteissä O , A ja B . Tai voimme sanoa, että C on sellainen piste, että kolmiot OAB ja CBA ovat yhteneväisiä . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $a+di$ $b+ei$

Vastaavasti hyperkompleksiluvuille (n:nnen ulottuvuuden kompleksiluvut): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\pisteet +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\pisteet +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\pisteet +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\pisteet +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\pisteet +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\pisteet +c_{n}i_{n}.$

Satunnaisten numeroiden lisääminen

Eri joukkoihin kuuluvia lukuja lisättäessä on (jos mahdollista) esitettävä pienempitehoinen joukko enemmäntehoisen joukon osajoukkona tai etsittävä "pienin yhteinen joukko". Jos esimerkiksi haluat lisätä luonnollisen luvun rationaalisella luvulla , niin käyttämällä sitä tosiasiaa, että luonnolliset luvut ovat rationaalisten lukujen osajoukko, esitämme luvun rationaalisena ja lisäämme kaksi rationaalilukua . Vastaavasti käyttämällä sitä tosiasiaa, että: , voit lisätä numeroita eri joukoista toisiinsa. Palataksemme omenaesimerkkiin, käytetään sitä tosiasiaa, että omenoiden joukko ja päärynäjoukko ovat hedelmäjoukon alijoukkoja: , ja siten voimme lisätä 3 omenaa ja 2 päärynää, jotka edustavat niitä hedelmäjoukon osajoukkoina: hedelmä_omena hedelmä_päärynä hedelmä. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3.00+4.56=7.56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{omena}}\}\subset \{{\text{omenat}}\}\subset \{{\text{fruit}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\teksti{päärynä}}\}\subset \{{\text{pears}}\}\subset \{{\text{fruit}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Yleistykset

On monia binäärioperaatioita, joita voidaan pitää reaalilukujen yhteenlaskujen yleistymisenä. Tällaiset yleistyneet operaatiot ovat yleisen algebran pääasiallinen tutkimuskohde , niitä esiintyy myös joukkoteoriassa ja kategoriateoriassa .

Lisäys abstraktissa algebrassa

Vektorin lisäys

Vektoriavaruus on algebrallinen rakenne, jossa mitä tahansa kaksi vektoria voidaan lisätä ja mikä tahansa vektori voidaan kertoa luvulla. Yksinkertainen esimerkki vektoriavaruudesta on sarja kaikista järjestetyistä reaalilukupareista; järjestetty pari on vektori, joka alkaa pisteestä euklidisessa tasossa ja päättyy pisteeseen (ja kaikki samassa suunnassa siihen). Kahden vektorin summa saadaan laskemalla yhteen niiden vastaavat koordinaatit: . Tämä summausoperaatio on keskeinen klassisessa mekaniikassa , jossa vektoreita käsitellään voimien analogeina . $(a, b)$ $(0,0)$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

Matriisilisäys

Matriisilisäys määritellään kahdelle samankokoiselle matriisille. Kahden m × n matriisin A ja B (lausutaan "m kertaa n") summa, kirjoitettuna muodossa A + B , on m × n matriisi , joka saadaan lisäämällä vastaavat elementit [68] [69] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cpisteet &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cpisteet &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aligned}}

Esimerkiksi:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Loput aritmeettiset

Jäännösjoukko 12:lla jaosta koostuu kahdestatoista alkiosta; tämä joukko perii kokonaislukujen yhteenlaskuoperaation. Jäännösjoukossa modulo 2 on vain kaksi elementtiä; sen perimä summausoperaatio tunnetaan lauselogiikassa " poissulkevaksi tai "-operaatioksi. Geometriassa kahden kulmamitan summa määritellään usein reaalilukujen summaksi modulo 2π. Tällainen määritelmä vastaa yhteenlaskuoperaatiota ympyrällä , mikä puolestaan yleistyy yhteenlaskuoperaatioon moniulotteisella toruksella .

Yleinen lisäys

Abstraktin algebran yleisessä teoriassa "lisäyksen" operaatiota voidaan kutsua miksi tahansa assosiatiiviseksi ja kommutatiiviseksi operaatioksi. Tärkeimmät algebralliset järjestelmät tällaisilla summausoperaatioilla sisältävät kommutatiiviset monoidit ja Abelin ryhmät .

Lisäys joukkoteoriassa ja kategoriateoriassa

Luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen yleistys on järjestyslukujen ja kardinaalilukujen yhteenlasku joukkoteoriassa. Nämä operaatiot ovat kaksi erilaista yleistystä luonnollisten lukujen lisäämisestä transfiniittiseen tapaukseen . Toisin kuin useimmat summausoperaatiotyypit, järjestysluku ei ole kommutatiivista. Kardiaalilukujen yhteenlasku on kuitenkin kommutoiva operaatio, joka liittyy läheisesti disjunktiiviseen liitosoperaatioon .

Kategoriteoriassa disjunkttien yhdistämistä käsitellään yhteistulooperaation erikoistapauksena , ja yleiset yhteistulot ovat ehkä abstrakteimpia kaikista summausoperaation yleistyksistä. Jotkut sivutuotteet, kuten suora summa ja kiilasumma , on nimetty osoittamaan niiden suhdetta yhteenlaskuoperaatioon.

Lisäystoiminnot

Yhteenlaskua, samoin kuin vähennys-, kerto- ja jakolaskua pidetään yhtenä perusoperaatioista ja sitä käytetään perusaritmetiikassa.

Aritmetiikka

Vähennystä voidaan pitää yhteenlaskuoperaation erikoistapauksena, nimittäin vastakkaisen luvun yhteenlaskuna . Itse vähentäminen on eräänlainen käänteisoperaatio yhteenlaskulle, eli x:n yhteenlasku ja x :n vähentäminen ovat keskenään käänteisiä funktioita .

Lukujoukolle, jolle yhteenlaskuoperaatio on määritelty, ei aina ole mahdollista määritellä vähennyslaskua; Yksinkertainen esimerkki on luonnollisten lukujen joukko. Toisaalta vähentämisen toiminta määrittää yksiselitteisesti yhteenlasku- ja summausyksikön toiminnan; tästä syystä additiivinen ryhmä voidaan määritellä joukoksi, joka on suljettu vähennyslaskuoperaation alaisena [70] .

Kertominen voidaan ymmärtää useita kertoja toistettuna yhteenlaskuna . Jos termi x esiintyy summassa n kertaa, tämä summa on yhtä suuri kuin n: n ja x :n tulo . Jos n ei ole luonnollinen luku , tulolla voi silti olla järkeä; esimerkiksi kertomalla -1 :llä saadaan päinvastainen luku .

Reaali- tai kompleksilukujen yhteen- ja kertolasku voidaan vaihtaa käyttämällä eksponentiaalista funktiota :

e a + b = e a e b [71] .

Tämä identiteetti mahdollistaa kertomisen käyttämällä [ logaritmitaulukoita ja manuaalista yhteenlaskua; se mahdollistaa myös kertolaskun diasäännön avulla . Tämä kaava on myös hyvä ensimmäisen asteen approksimaatio Lie-ryhmien laajassa kontekstissa , jossa se liittää Lie-ryhmän äärettömän pienten alkioiden kertomisen vektorien yhteenlaskemiseen vastaavassa Lie-algebrassa [72] .

Kertolaskulla on jopa enemmän yleistyksiä kuin yhteenlaskemalla [73] . Yleensä kertolaskuoperaatiot ovat aina distributiivisia summauksen suhteen. Tämä vaatimus on kirjattu renkaan määritelmään . Joissakin tapauksissa, kuten kokonaisluvuissa, kertolaskujen jakauma suhteessa yhteenlaskemiseen ja kertovan identiteetin olemassaolo on riittävä määrittelemään kertolaskutoiminnon yksiselitteisesti. Jakautumisominaisuus luonnehtii myös lisäystä; Laajennamme tuotteen (1 + 1)( a + b ) hakasulkeet kahdella tavalla, päättelemme, että summauksen on oltava kommutatiivista. Tästä syystä summaus renkaassa on aina kommutatiivista [74] .

Jako on aritmeettinen operaatio, joka liittyy etäisesti yhteenlaskuun. Koska a / b = a ( b −1 ), jako on oikea distributiivinen summauksen suhteen: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Jakoa ei kuitenkaan jätetä distributiiviseksi summauksen suhteen; 1/ (2 + 2) ei ole 1/2 + 1/2.

Tilaus

Maksimioperaatio “max ( a , b )” on binäärioperaatio, joka on samanlainen kuin summaus. Itse asiassa, jos kahdella ei-negatiivisella luvulla a ja b on eri järjestys , niin niiden summa on suunnilleen yhtä suuri kuin niiden maksimi. Tämä approksimaatio on erittäin hyödyllinen matematiikan sovelluksissa, kuten Taylor-sarjan katkaisussa . Tämä operaatio johtaa kuitenkin jatkuviin vaikeuksiin numeerisessa analyysissä , koska maksimointitoiminto ei ole palautuva. Jos b on paljon suurempi kuin a , niin tavallinen laskutoimitus ( a + b ) − b voi johtaa ei-hyväksyttävän pyöristysvirheen kertymiseen, jolloin tuloksena on mahdollisesti nolla. Katso myös alivuoto .

Tästä approksimaatiosta tulee tarkka, kun se ylitetään äärettömään rajaan[ määrittää ] ; jos jokin luvuista a ja b on kardinaaliluku , niin niiden kardinaalisumma on täsmälleen yhtä suuri kuin suurempi näistä kahdesta [77] . Näin ollen vähennysoperaatiota ei ole määritelty äärettömän kardinaalisuuden joukoille [78] .

Maksimin löytäminen on kommutoiva ja assosiatiivinen operaatio, aivan kuten yhteenlasku. Lisäksi, koska yhteenlasku säilyttää reaalilukujen järjestyksen, yhteenlasku on distributiivinen maksimointifunktion suhteen samalla tavalla kuin kertolasku on summauksen suhteen:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

Näistä syistä trooppisessa geometriassa kertolasku korvataan yhteenlaskulla ja yhteenlasku korvataan maksimin löytämisellä. Tässä yhteydessä yhteenlaskua kutsutaan "trooppiseksi kertolaskuksi", maksimin löytämistä "trooppiseksi summaksi" ja trooppista "lisäysyksikköä" kutsutaan negatiiviseksi äärettömäksi [79] . Jotkut kirjoittajat mieluummin korvaavat lisäämisen minimointiin; tässä tapauksessa lisäyksikkö on positiivinen ääretön [80] .

Yhdistämällä nämä havainnot yhteen, trooppinen lisäys approksimoi tavallista yhteenlaskua käyttämällä logaritmia:

log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),

joka tarkentuu logaritmin kantaluvun kasvaessa [81] . Approksimaatiosta voi tulla tarkka, jos erotetaan vakio h , joka on nimetty analogisesti kvanttimekaniikan Planckin vakion kanssa [82] , ja otetaan "klassinen raja" , jossa h pyrkii nollaan:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

Tässä mielessä operaatio maksimin löytämiseksi on summauksen dekvantisointi [83] .

Muut lisäystavat

Kasvatus tai Follow-funktion käyttäminen on 1 :n lisäämistä numeroon.

Summaus on mielivaltaisen suuren luvun, yleensä enemmän kuin kahden, yhteenlasku. Tämän käsitteen erityistapauksia ovat yhden luvun summaus (sellaisen summauksen tulos on yhtä suuri kuin itse luku) sekä tyhjä summa , joka on yhtä suuri kuin nolla [84] . Ääretön summaus on ei-triviaali menetelmä, joka tunnetaan sarjan summan löytämisenä [85] .

Identiteettifunktion summaaminen äärelliseen joukkoon antaa saman tuloksen kuin tämän joukon elementtien lukumäärän laskeminen .

Integraatio on eräänlainen "summaus" jatkumon yli , tai tarkemmin ja yleisemmin, sujuvan moninkertaisuuden yli . Integrointi nolladimensiojoukon yli pelkistyy summaukseen.

Lineaariset yhdistelmät yhdistävät kertolaskun ja summauksen; nämä ovat summia, joissa jokaisella termillä on tekijä, yleensä reaali- tai kompleksiluku . Lineaariset yhdistelmät ovat erityisen hyödyllisiä tilanteissa , joissa yksinkertainen lisääminen rikkoisi jotain normalisointisääntöä, kuten sekoitusstrategioita peliteoriassa tai superpositiota kvanttimekaniikassa .

Konvoluutiota käytetään kahden riippumattoman satunnaismuuttujan lisäämiseen annetuilla jakautumisfunktioilla . Konvoluution vakiomäärittelyssä käytetään integrointia, vähennyslaskua ja kertolaskua. Yleisesti ottaen on tarkoituksenmukaista ajatella konvoluutiota "verkkotunnuksen lisäyksenä" ja vektorin lisäystä "aluelisäyksenä".

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Enderton, 1977 , s. 138: “…valitse kaksi sarjaa K ja L teholla K = 2 ja teholla L = 3. Sormisarjat ovat käteviä; oppikirjoissa he käyttävät mieluummin omenasarjoja.
↑ Rudnitskaya, 2004 , s. 110.
↑ Toimintajärjestys, 2012 .
↑ Numerojärjestelmät, 2006 , s. 3.
↑ Devine et ai., 1991 , s. 263.
↑ Mazur, 2014 , s. 161.
↑ Venäjän kielen sanakirja, 1999 , s. 130.
↑ Kajori, 1928 .
↑ Oxford English Dictionary, 2005 .
↑ Viro, 2012 , s. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : "Esimerkiksi tuumat voidaan jakaa osiin, joita on vaikea erottaa kokonaisista tuumaista, paitsi että ne näyttävät lyhyemmiltä; mutta osiin jakautuminen on kissoille tuskallista, ja tämä toiminta muuttaa vakavasti niiden luonnetta.
↑ Mosley, 2001 , s. kahdeksan.
↑ Li Ya., 2013 , s. 204.
↑ Näitä ominaisuuksia kutsutaan siis perusluokkien oppikirjoissa
↑ Kaplan, 1999 , s. 69-71.
↑ Yhteenlaskuominaisuudet , 2016, Kokonaislukujen yhteen-, kerto-, vähennys- ja jakolaskuominaisuudet , Summa vastakkaisella numerolla, s. yksi.
↑ Zelvensky, [s. g.] , s. kahdeksantoista.
↑ Musta laatikko on termi, jota käytetään viittaamaan järjestelmään, jonka sisäinen rakenne ja toimintamekanismi ovat hyvin monimutkaisia, tuntemattomia tai merkityksettömiä tietyn tehtävän puitteissa. "Mustan laatikon menetelmä" on menetelmä tällaisten järjestelmien tutkimiseen, kun järjestelmän rakenneosien ominaisuuksien ja suhteiden sijaan tutkitaan järjestelmän kokonaisreaktiota muuttuviin olosuhteisiin.
↑ Ashby, 1959, Johdatus kybernetiikkaan , s. 127-169.
↑ Zubareva, 2013 , s. 195.
↑ Lisäysalgoritmi , s. yksi.
↑ Wynn, 1998 , s. 5.
↑ Wynn, 1998 , s. viisitoista.
↑ Wynn, 1998 , s. 17.
↑ Wynn, 1998 , s. 19.
↑ Norsut ovat tarpeeksi älykkäitä piirtämään muotoja, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , s. 130.
↑ Carpenter ym., 2014 .
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , s. 153-183.
↑ Matematiikan oppiminen peruskoulussa kokonaislukuina, 2014 , s. 1-8.
↑ Learning Sequence, 2002 , s. 1-18.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fosnot ja Dolk, 2001 , s. 99.
↑ Wingard-Nelson R., 2014 , s. 21.
↑ Dale, 2008 , s. 155.
↑ Botman, 1837 , s. 31.
↑ Treit ja Rogers, 1960 , s. 41-49.
↑ Georges, 2001 , s. yksitoista.
↑ Margun, 1994 , s. 48.
↑ Tanon, 1963 , s. 62.
↑ Katso kilpailevat mallit Pascalin summauskoneen merkinnästä .
↑ Flynn ja Overman, 2001 , s. 2-8.
↑ Flynn ja Overman, 2001 , s. 1-9.
↑ Sang-Su Yo, 2010 , s. 194.
↑ Karpinski, 1925 , s. 102-103.
↑ Horovets ja Hill, 2009 , s. 679.
↑ Blotch, 2006 , s. yksi.
↑ Enderton, 1977 , s. 4-5.
↑ Oppimisjakso, 2002 , s. neljä.
↑ Baez, 2000 , s. 37: "On selvää, että on helpompi kuvitella puolikas omena kuin negatiivinen omena!"
↑ numerointi , Teoreettiset perusteet ei-negatiivisten kokonaislukujen käyttöönotolle, s. 7.
↑ Istomina, 2009 , s. 71.
↑ Numerojärjestelmät, 2006 , s. 3.
↑ Enderton, 1977 , s. 79.
↑ Bergman, 2015 , s. 100: Katso Bergmanin kirjassa versio, joka soveltuu mihin tahansa asetukseen, jossa on laskeva tilaketju .".
↑ Enderton, 1977 , s. 79: "Mutta tarvitsemme yhden binäärioperaation +, emme kaikkia näitä pieniä yksipaikkafunktioita."
↑ Ferrius, 2013 , s. 223.
↑ Vygodski, 2003 .
↑ Barsukov, 1966 , s. 25.
↑ Enderton, 1977 , s. 92.
↑ Gusev, 1988 , s. kaksikymmentä.
↑ Enderton, 1977 , s. 104.
↑ Fierro, 2012 , s. 87.
↑ Koska reaalilukujen joukkoon on jo otettu käyttöön lineaarinen järjestysrelaatio, voimme määritellä reaaliviivan topologian: avoimina joukoina otamme kaikki mahdolliset muodon intervalliliitot. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Iljin, 1985 , s. 46.
↑ Kaavio on tehty ohjelmalla "3D Grapher Version 1.2", www.romanlab.com. Syöteargumentit: x=a, y=b, z=a+b
↑ Conway, 1986 , s. 107.
↑ Aleksandrov, 1956 , s. 304.
↑ Lipshutz, 2001 , s. 201.
↑ Riley, 2006 , s. 253.
↑ Dummit and Foote, 1999 , s. 48.
↑ Rudin, 1976 , s. 178.
↑ Lee J., 2013 , s. 526.
↑ Linderholm, 1972 , s. 49.
↑ Dummit and Foote, 1999 , s. 224: "Jotta tämä pätee, on välttämätöntä, että yhteenlasku on ryhmäoperaatio ja että kertolaskussa on neutraali elementti."
↑ Loday, 2002 , s. 15: "Esimerkki vasemman ja oikeiston jakautumisesta, katso Lodayn artikkeli, erityisesti s. viisitoista".
↑ Viro, 2012 , s. 2.
↑ Enderton, 1977 : "Enderton kutsuu tätä lausuntoa 'Kardinaalilukuaritmeettisen absorboivan lain"; se riippuu kardinaalilukujen vertailukelpoisuudesta ja siten valinnan aksioomasta .”.
↑ Enderton, 1977 , s. 164.
↑ Mikhalkin, 2009 , s. yksi.
↑ Akian et ai., 2006 , s. neljä.
↑ Mikhalkin, 2009 , s. 2.
↑ Litvinov, 2005 , s. 3.
↑ Viro, 2012 , s. neljä.
↑ Martin, 2011 , s. 49.
↑ Stewart, 2010 , s. kahdeksan.

Kirjallisuus

venäjäksi

Barsukov, A. N. Algebra: Oppikirja luokille VI-VIII / Toim. S. I. Novosjolova. - M . : Koulutus, 1966. - 296 s.
Vygodsky, M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja / M. Ya. Vygodsky. — M .: Astrel: AST, 2003. — 509 s. - ISBN 5-17-009554-6 (LLC Publishing House "AST"). - ISBN 5-271-02551-9 (OOO Kustantaja "Astrel").
Gusev, V. A. Matematiikka: Ref. materiaalit: Kirja. opiskelijoille / V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. - M . : Koulutus, 1988. - 476 s. — ISBN 5-09-001292-X .
Zelvensky, I. G. Ryhmät, renkaat, kentät: Methodical. ohjeet tieteenalasta "Geometria ja algebra" / I. G. Zelvensky. - Pietari. : SPbGETU, [s. G.]. -30 s.
Zubareva, I. I. Matematiikka: luokka 5: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. instituutiot / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 14. painos, Rev. ja ylimääräistä - M .: Mnemozina, 2013. - 270 s. - ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys: 3 osassa / [Toim. Kollegio: kirjeenvaihtaja Neuvostoliiton tiedeakatemia A. D. Aleksandrov ja muut]; Acad. Neuvostoliiton tieteet. Matto. in-t im. V. A. Steklova. - M . : Kustantaja Acad. Neuvostoliiton tieteet, 1956. - T. 3. - 336 s.
Iljin, V. A. Matemaattinen analyysi: Alkukurssi / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. - 2. painos, käänn. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 1985. - 662 s.
Istomina, N. B. Matematiikan opetusmenetelmät peruskoulussa: Kehityskasvatus / N. B. Istomina. - 2. painos - Smolensk: Yhdistys XXI vuosisata, 2009. - 288 s. — ISBN 978-5-89308-699-7 .
Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - 847 s. — ISBN 5-85270-278-1 .
Rudnitskaya, V. N. Matematiikka: luokka 1: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. toimielimiin. Vuoden toinen puolisko / V. N. Rudnitskaya. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Ventana-Graf, 2004. - 111 s. - ISBN 5-88717-322-X (käännettynä).
Venäjän kielen sanakirja : 4 osaa / RAS, Kielitieteen instituutti. tutkimus; Ed. A. P. Evgenieva. - 4. painos, poistettu. - M . : Venäjä. lang. : Polygraphresources, 1999. - T. 4. - 797 s. - ISBN 5-200-02672-5 ("venäjän kieli"). - ISBN 5-87548-048-3 (polygrafiresurssit). - ISBN 5-200-02676-8 ("venäjän kieli") (osa 4).

englanniksi

Akian, M. Min-plus menetelmät ominaisarvohäiriöteoriassa ja yleistetty Lidskii-Vishik-Ljusternik-lause / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. - 2006. - 16. helmikuuta. - arXiv : math.SP/0402090v3 .
Austein, R. DATE-86 tai The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: Journal. - 1987. - Voi. 4, ei. 45.
Baez, J. Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond : Finite Sets to Feynman Diagrams / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 s. — ISBN 3-540-66913-2 .
Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Aritmeettisten käsitteiden ja taitojen kehittäminen = The Development of Aritmetic Concepts and Skills. - Routledge, 2013. - 520 s. — ISBN 0-8058-3155-X .
Begle, Edward. Matematiikka peruskoulussa = The Mathematics of the Elementary School. - McGraw-Hill, 1975. - 453 s. — ISBN 0-07-004325-6 .
Bergman, George. Kutsu yleisalgebraan ja universaaleihin rakenteisiin. - 2. painos - Springer, 2015. - 572 s. — ISBN 0-9655211-4-1 .
Joshua Bloch. Extra, Extra - Lue kaikki siitä: Lähes kaikki binaarihaut ja yhdistämismuodot ovat rikki // Virallinen Googlen tutkimusblogi : Journal . – 2006.
Bogomolny, Aleksanteri. Mikä on lisäys? (Suomi) = Mikä on lisäys?.
Bates Bothman. Yleinen kouluaritmetiikka = yleinen kouluaritmetiikka. - Prentice-Hall, 1837. - 270 s.
Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Alkeismatematiikan historialliset juuret. - Prentice-Hall, 2012. - 336 s. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrill, Claude. Reaalilukujen perusteet = Reaalilukujen perusteet. - McGraw-Hill, 1967. - 163 s.
Beckmann, S. Kahdeskymmeneskolmas ICMI-tutkimus: ensisijainen matematiikan tutkimus kokonaisluvuilla: Journal . – International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Ala- ja yläasteen matematiikka: Kehittävä opetus. - 5. painos - Pearson Education, 2015. - 576 s. — ISBN 0-205-38689-X .
Weaver, J. Fred. Yhteen- ja vähennyslasku: Kognitiivinen näkökulma. Operaatioiden lukumäärän tulkinnat ja yhteen- ja vähennyslaskujen symboliset esitykset = Yhteenlasku ja vähennys: Kognitiivinen näkökulma. Lukuoperaatioiden tulkinnat ja yhteen- ja vähennyslaskujen symboliset esitykset. - Taylor & Francis, 2012. - S. 8. - ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-389917-9 .
Rebecca Wingard-Nelson. Desimaalit ja murtoluvut: se on helppoa = Desimaalit ja murtoluvut: se on helppoa. - Enslow Publishers, 2014. - 64 s. — ISBN 0766042529 .
Wynne, Karen. Development of Mathematical Skills = The Development of Mathematical Skills. - Taylor & Francis, 1998. - 338 s. — ISBN 0-86377-816-X .
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastia, toim. Euroopan matematiikan kongressi: Barcelona, 10.–14. heinäkuuta 2000, osa I = European Congress of Mathematics: Barcelona, 10.–14. heinäkuuta 2000, osa I. Reaalialgebrallisen geometrian dekvantisointi logaritmipaperilla. - Birkhäuser, 2012. - T. 1. - 582 s. — ISBN 3-7643-6417-3 .
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Ensimmäisen luokan perustietoa: Tutkimus nopeutetun, korkean kysynnän ulkoamisstandardin opettamisesta ja oppimisesta. - Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Abstrakti algebra. - Wiley, 1999. - 912 s.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Mathematics: Explorations & Applications = Mathematics: Explorations & Applications. - Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Fundamentals of Electronic Digital Systems = Electronic Digital System Fundamentals. - The Fairmont Press, 2008. - 340 s.
Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Matematiikan periaatteet ja sovellukset viestintä-elektroniikassa. - Esikunta, Armeijan osasto, 1992. - S. jakso 5.1. — 268 s.
Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementary Mathematics for Teachers. - Wiley, 1991.
Jackson, Albert. Analoginen laskenta = Analoginen laskenta. - McGraw-Hill, 1960.
Johnson, Paul. Tikkuista ja kivistä: Henkilökohtaisia seikkailuja matematiikassa. - Science Research Associates, 1975. - 552 s. — ISBN 0-574-19115-1 .
Ifrah, Georges. Tietojenkäsittelyn universaali historia: abakuksesta kvanttitietokoneeseen. - John Wiley, 2001. - 410 s.
Joshi, Kapil D. Diskreetin matematiikan perusteet. - New Age International, 1989. - 748 s. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Dunham, William. Matemaattinen universumi = Matemaattinen universumi. - Wiley & Sons, 1994. - 314 s. - ISBN 0-471-53656-3 .
Kaplan, Robert. Mikä ei ole mitään: The Natural History of Zero = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (englanniksi) . - Oxford University Press, 1999. - 240 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. History of Mathematical Notations = A History of Mathematical Notations. - The Open Court Company, 1928. - 818 s.
Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Lasten matematiikka = Lasten matematiikka: Kognitiivisesti ohjattu opetus. - Heinemann, 2014. - 218 s. — ISBN 0325052875 .
Karpinski, Louis. Historia aritmetiikka = The History of aritmetic. - Russell & Russell, 1925. - 200 s.
Kilpatrick D. Lisäys : Auttaa lapsia oppimaan matematiikkaa = Lisääminen: Autamme lapsia oppimaan matematiikkaa. - National Academy Press , 2001. - 454 s. — ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 s. — ISBN 0-387-90328-3 .
Lee, John. Johdatus Smooth Manifoldsiin. - Springer, 2013. - 631 s. — ISBN 0-387-95448-1 .
Li, Y., & Lappan, G. Matematiikan opetussuunnitelma kouluopetuksessa. - Springer, 2013. - 663 s. — ISBN 9400775601 .
Linderholm, Carl. Matematiikasta tehtiin vaikeaa = Matematiikasta tehtiin vaikeaa. - World Pub, 1972. - 207 s. — ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S., & Lipson, M. Schaumin Lineaarialgebran teoria- ja ongelmat. - Erlangga, 2001. - 424 s. — ISBN 9797815714 .
Litvinov, Grigori; Maslov, Victor; Sobolevski, Andreii. Idempotentti matematiikka ja intervallianalyysi = Idempotentti matematiikka ja intervallianalyysi. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 s. — ISBN 0821835386 .
Jean-Louis Loday. Arithmeter (englanniksi) = Arithmetree // Journal of Algebra: Journal. - 2002. - 22. joulukuuta ( nro 258 ). - doi : 10.1016/S0021-8693(02)00510-0 . - arXiv : math/0112034 .
Mazur, Joseph. Valaisevat symbolit: Matemaattisen merkinnän lyhyt historia ja sen piilotetut voimat. - Princeton University Press, 2014. - 321 s. — ISBN 1400850118 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - 2. - IEEE Computer Society Press, 1997. - 426 s. — ISBN 0-13-389917-9 .
Marguin, Jean. Tietojenkäsittelykoneiden historia = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 s. - ISBN 978-2-7056-6166-3 .
Mikhalkin, Grigori; Sanz-Sole, Marta, toim. Trooppinen geometria ja sen sovellukset = Tropical Geometry and its Applications. - 2. painos - Madryn, Espanja: Springer Science & Business Media, 2009. - 104 s. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Martin, John. Johdatus kieliin ja laskentateoriaan = Introduction to Languages and the Theory of Computation. - 3. - McGraw-Hill, 2011. - 436 s. — ISBN 0-07-232200-4 .
Mosley, F. Numerorivien käyttö 5-8-vuotiaiden kanssa. - Nelson Thornes, 2001. - 8 s. — ISBN 1874099952 .
Oxford English Dictionary = Oxford English Dictionary (englanti) . – Oxford University Press, 2005.
Order of Operations (englanniksi) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : journal. - 2012. Arkistoitu 2. marraskuuta 2012.
James Randerson. Norsut ovat tarpeeksi älykkäitä piirtämään hahmoja = Norsuilla on pää hahmoille: päiväkirja . - Theguardian, 2008. - 21. elokuuta.
Riley, KF; Hobson, kansanedustaja; Bence, SJ Fysiikan ja tekniikan matemaattiset menetelmät: Kattava opas. - Cambridge University Press, 2006. - 437 s. — ISBN 978-0-521-86153-3 .
Rudin, Walter. Matemaattisen analyysin perusteet = Matemaattisen analyysin periaatteet. - 3. - McGraw-Hill, 1976. - 342 s. — ISBN 0-07-054235-X .
Yeo, Sang-Soo, et ai., toim. Algoritmit ja arkkitehtuurit rinnakkaiskäsittelyyn. - Springer, 2010. - 574 s. — ISBN 3642131182 .
Smith, Karl. Modernin matematiikan luonne = The Nature of Modern Mathematics. - 3. painos — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. - 620 s. — ISBN 0-8185-0352-1 .
Smith, Frank. Lasiseinä: Miksi matematiikka voi tuntua vaikealta. - Teachers College Press, 2002. - 163 s. — ISBN 0-8077-4242-2 .
Sparks, F.; Rees C. Perusmatematiikan tutkimus . - 4. - McGraw-Hill, 1979. - 543 s. — ISBN 0-07-059902-5 .
Stewart, James. Calculus: Early Transsendentaalit = Calculus: Early Transsendentaalit. - 4. - Brooks / Cole, 2010. - 1344 s. - ISBN 0-534-36298-2 .
Taton, Rene. Laskennallinen mekaniikka. Mitä minä tiedän? = Le Calcul Mecanique. Que Sais-Je? nro 367 - Presses universitaires de France, 1963.
Truitt, T.; Rogers, A. Analogisten tietokoneiden perusteet. - John F. Rider, 1960. - 378 s.
Ferreiros, José. Ajatuksen labyrintit: Joukkoteorian historia ja sen rooli modernissa matematiikassa. - Birkhäuser, 2013. - 440 s. - ISBN 0-8176-5749-5 .
R. Fierro. Mathematics for Elementary School Teachers = Mathematics for Elementary School Teachers. - Cengage Learning, 2012. - 976 s. — ISBN 0538493631 .
Flynn, M.; Oberman, S. Advanced Computer Aithmetic Design. - Wiley, 2001. - 325 s. - ISBN 0-471-41209-0 .
Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Nuoret matemaatikot työssä: lukuaistin, yhteen- ja vähennyslaskujen rakentaminen. - Heinemann, 2001. - 193 s. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Carl G. Hempelin filosofia : tieteen, selityksen ja rationaalisuuden tutkimukset . - Oxford University Press, 2000. - 464 s. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; Hill, W. Elektroniikan taide = The Art of Electronics. - 2. - Binom, 2009. - 704 s. - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Mathematical Words: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. - MAA, 1994. - 261 s. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Learning Sequence = Koherentti opetussuunnitelma: päiväkirja . - Amerikkalainen kouluttaja, 2002.
Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku 5 - 8 vuoden iässä = Murtolukujen yhteenlasku ja vähennys, arvosanat 5 - 8. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 s. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Korkeamman asteen logiikkalauseen todistaminen ja sen sovellukset: Proceedings of the 8th International Festival = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. - Springer, 1995. - 400 s.
Enderton, Herbert. Joukkoteorian elementit = Joukkoteorian elementit. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 s. — ISBN 0-12-238440-7 .

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa) Granaattiomena
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11976283t GND : 4296282-1 J9U : 987007292953205171 LCCN : sh85000817 NKC : ph898518