Geometria

Geometria ( toisesta kreikasta γεωμετρία ← γῆ earth + μετρέω "mittaa; arvioi") on matematiikan haara , joka tutkii tilarakenteita ja suhteita sekä niiden yleistyksiä [1] .

Geometria systemaattisena tieteenä ilmestyi antiikin Kreikassa , sen aksiomaattiset rakenteet on kuvattu Eukleideen elementeissä . Euklidinen geometria harjoitti yksinkertaisimpien tason ja avaruuden hahmojen tutkimista, niiden pinta -alan ja tilavuuden laskemista . Descartesin vuonna 1637 ehdottama koordinaattimenetelmä muodosti analyyttisen ja differentiaaligeometrian perustan, ja piirtämiseen liittyvät ongelmat johtivat kuvailevan ja projektiivisen geometrian luomiseen . Samaan aikaan kaikki rakenteet pysyivät Eukleideen aksiomaattisen lähestymistavan puitteissa. Perusteelliset muutokset liittyvät Lobatševskin työhön vuonna 1829, joka hylkäsi rinnakkaisuuden aksiooman ja loi uuden ei-euklidisen geometrian , mikä määritti polun tieteen edelleen kehitykselle ja uusien teorioiden luomiselle.

Kleinin " Erlangen-ohjelmassa " vuonna 1872 ehdottama geometrian luokitus, jonka perustana on geometristen objektien muuttumattomuus eri muunnosryhmien suhteen, on säilynyt tähän päivään asti.

Geometrian aihe

Geometria käsittelee kappaleiden keskinäistä järjestelyä, joka ilmaistaan ​​kosketuksissa tai kiinnittymisessä toisiinsa, sijaintiin "välillä", "sisällä" ja niin edelleen; kappaleiden koko, eli käsitteet kappaleiden yhtäläisyydestä, "enemmän" tai "vähemmän"; sekä kehon muodonmuutokset. Geometrinen kappale on ollut abstraktio Eukleideen ajoista lähtien, jolloin hän uskoi, että "viiva on pituus ilman leveyttä", "pinta on se, jolla on pituus ja leveys". Piste on abstraktio, joka liittyy kehon kaikkien ulottuvuuksien rajoittamattomaan pienenemiseen tai äärettömän jaon rajaan. Geometristen muotojen sijainti, koko ja muunnos määräytyvät tilasuhteiden avulla [2] .

Todellisia esineitä tutkiessaan geometria ottaa huomioon vain niiden muodon ja suhteellisen sijainnin ja irrottautuu esineiden muista ominaisuuksista, kuten tiheydestä, painosta, väristä. Tämä mahdollistaa siirtymisen todellisten objektien välisistä tilasuhteista kaikkiin suhteisiin ja muotoihin, jotka syntyvät homogeenisia objekteja tarkasteltaessa ja ovat samanlaisia ​​kuin spatiaaliset. Erityisesti geometria mahdollistaa funktioiden välisten etäisyyksien huomioimisen [1] .

Luokitus

Geometrian eri haarojen luokittelua ehdotti Felix Klein " Erlangen-ohjelmassa " ( 1872 ). Kleinin mukaan jokainen osa tutkii niitä geometristen objektien ominaisuuksia, jotka säilyvät ( invariantteja ) jonkin kullekin lohkolle ominaisen muunnosryhmän vaikutuksesta. Tämän luokituksen mukaan klassisessa geometriassa voidaan erottaa seuraavat pääosat.

Moderni geometria sisältää seuraavat lisäosat.

Käytettyjen menetelmien mukaan myös tällaiset instrumentaaliset alaosat erotetaan.

Aksiomatiikka

Euklidisen geometrian aksioomit, muotoiltu III-IV vuosisadalla eKr. e., muodostivat geometrian perustan 1800-luvun jälkipuoliskolle asti, koska ne kuvasivat hyvin fyysistä tilaa ja tunnistettiin siihen [1] . Euklidesin viisi postulaattia eivät riittäneet kuvaamaan geometriaa täysin, ja vuonna 1899 Hilbert ehdotti aksioomijärjestelmäänsä . Hilbert jakoi aksioomat useisiin ryhmiin: jäsenyyden, kongruenssin , jatkuvuuden (mukaan lukien Arkhimedesen aksiooma), täydellisyyden ja rinnakkaisuuden aksioomat. Schur korvasi myöhemmin kongruenssiaksioomat liikkeen aksioomilla, ja Cantorin aksioomaa käytettiin täydellisyyden aksiooman sijasta . Euklidisen geometrian aksioomijärjestelmän avulla voimme todistaa kaikki tunnetut koululauseet [3] .

On olemassa muitakin aksioomijärjestelmiä, jotka pisteen, suoran ja tason lisäksi eivät perustu liikenteeseen, vaan kongruenssiin, kuten Hilbertissä, tai etäisyyteen, kuten Kaganissa . Toinen aksioomijärjestelmä liittyy vektorin käsitteeseen. Kaikki ne ovat johdettuja toisistaan, eli aksioomit yhdessä järjestelmässä voidaan todistaa lauseiksi toisessa [3] .

Euklidisen geometrian aksioomien johdonmukaisuuden ja täydellisyyden todistamiseksi he rakentavat sen aritmeettisen mallin ja osoittavat, että mikä tahansa malli on isomorfinen aritmeettiseen nähden, mikä tarkoittaa, että ne ovat isomorfisia keskenään [4] . Euklidisen geometrian aksioomien riippumattomuus on vaikeampi osoittaa aksioomien suuren määrän vuoksi. Rinnakkaisuuden aksiooma ei riipu muista, koska Lobatševskin geometria rakentuu päinvastaiselle väitteelle. Vastaavasti Arkhimedesen aksiooman riippumattomuus (kompleksilukujen kolminkertaista käytetään koordinaatteina reaalilukujen kolminkertaisen sijasta), Cantorin aksiooman (tietyllä tavalla konstruoituja reaalilukuja käytetään koordinaatteina minkä tahansa reaaliluvun kolminkertaisen sijasta ), sekä yksi jäsenyyden aksioomeista, joka itse asiassa määrittää avaruuden ulottuvuuden (kolmiulotteisen avaruuden sijaan voit rakentaa neliulotteisen ja minkä tahansa moniulotteisen avaruuden, jolla on äärellinen määrä ulottuvuuksia) [5] .

Eukleideen postulaatit

Eukleideen postulaatit ovat ideaalisen kompassin ja ideaalisen viivaimen rakentamisen sääntöjä [6] :

  1. Mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää suoralla viivalla;
  2. Rajoitettua suoraa voidaan jatkaa loputtomiin;
  3. Mistä tahansa keskustasta mikä tahansa säde voi kuvata ympyrää;
  4. Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuret keskenään;
  5. Jos suora putoaa kahdelle suoralle ja muodostaa sisäisiä yksipuolisia kulmia, joiden summa on pienempi kuin kaksi suoraa, niin jos näitä kahta viivaa jatketaan loputtomasti, ne leikkaavat sillä sivulla, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraa.

Viidennen postulaatin toinen muotoilu ( yhdensuuntaisuuden aksiooma ) kuuluu [7] : Niiden tasossa olevan suoran ulkopuolisen pisteen kautta voidaan vetää korkeintaan yksi suora, joka ei leikkaa annettua suoraa.

Euklidisen geometrian aksioomit

Encyclopedia of Elementary Mathematics ehdottaa seuraavaa aksioomijärjestelmää [3] :

  1. Jokaisen kahden erillisen pisteen läpi kulkee suora ja lisäksi yksi;
  2. Jokaisella rivillä on vähintään kaksi pistettä;
  3. On kolme pistettä, jotka eivät ole samalla viivalla;
  4. Jokaisen kolmen pisteen läpi, jotka eivät ole samalla suoralla, kulkee taso, ja lisäksi vain yksi;
  5. Jokaisessa tasossa on vähintään yksi piste;
  6. Jos kaksi pistettä on tasossa, niin niiden läpi kulkeva viiva on myös tällä tasolla;
  7. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on vähintään yksi yhteinen piste lisää;
  8. On neljä pistettä, jotka eivät ole samassa tasossa.
    • Järjestyksen aksioomat:
  9. Suoran kolmesta erillisestä pisteestä yksi ja vain yksi on kahden muun välissä;
  10. Kaikille kahdelle suoran pisteelle tällä viivalla on kolmas piste siten, että toinen piste on ensimmäisen ja kolmannen välissä;
  11. Jos tasossa ABC oleva suora l ei kulje minkään pisteen A, B, C kautta ja sisältää yhden janan AB pisteen , niin sillä on yhteinen piste ainakin yhden janan AC, BC kanssa ;
    • Liikkeen aksioomat:
  12. Mikä tahansa liike on yksi-yksi tilan kartoitus itseensä;
  13. Olkoon f  mielivaltainen liike. Sitten, jos pisteet A, B, C sijaitsevat samalla viivalla ja C on A:n ja B :n välissä , niin pisteet f(A), f(B), f(C) sijaitsevat myös samalla viivalla, ja f(C) on f(A):n ja f(B) :n välissä ;
  14. Kaksi peräkkäin tehtyä liikettä vastaavat jotakin yhtä liikettä;
  15. Jokaiselle kahdelle tietyssä järjestyksessä otetulle kehykselle on yksi ja vain yksi liike, joka siirtää ensimmäisen kehyksen toiseen;
    • Jatkuvuuden aksioomat:
  16. Archimedesin aksiooma . Olkoon A 0 , A 1 , B  kolme samalla suoralla olevaa pistettä ja piste A 1 on A 0 :n ja B :n välissä . Olkoon f edelleen  liike, joka vie pisteen A 0 pisteeseen A 1 ja säteen A 0 B pisteeseen A 1 B. Olkoon f(A1 ) = A2 , f(A2 ) = A3 , … . Sitten on luonnollinen luku n , jonka piste B on janalla A n-1 A n .
  17. Kantorin aksiooma . Olkoot A 1 , A 2 , … ja B 1 , B 2 , …  kaksi pistejonoa, jotka sijaitsevat samalla suoralla l siten, että millä tahansa n :llä pisteet A n ja B n ovat erilaisia ​​ja sijaitsevat janalla A n- 1 B n-1 . Sitten suoralla l on piste C , joka on janalla A n B n kaikille n:n arvoille .
    • Rinnakkaisuuden aksiooma:
  18. Pisteen A kautta , joka ei ole suoralla l , voidaan piirtää tasoonsa enintään yksi suora, joka ei leikkaa suoraa l .

Jos järjestelmästä poistetaan spatiaaliseen geometriaan liittyvät aksioomat 4-8, saadaan Euklidisen tason aksioomajärjestelmä [3] .

Geometriset muunnokset

Joukon muunnos on sen yksi-yhteen kartoitus itseensä. Tässä mielessä termiä käytetään geometriassa, vaikka sitä joskus käytetään synonyyminä joukon kartoittamiseen tai kartoittamiseen itseensä.

"Geometrisistä muunnoksista" puhuttaessa ne tarkoittavat yleensä tiettyjä muunnoksia, joilla on perustavanlaatuinen rooli geometriassa - liikkeitä, samankaltaisuusmuunnoksia, affiineja, projektiivisia, ympyrämuunnoksia (kahdessa viimeisessä tapauksessa tasoa tai avaruutta täydennetään pisteillä ääretön). Tämän perustavanlaatuisen roolin paljasti saksalainen matemaatikko Felix Klein Erlangenin yliopistossa vuonna 1872 pitämässään luennossa, joka tunnetaan nimellä Erlangen-ohjelma. Kleinin käsitteen mukaan geometria tutkii kuvioiden ominaisuuksia, jotka säilyvät tietyn muunnosryhmän kaikissa muunnoksissa. Ottaen huomioon yllä olevien tyyppien muunnosryhmät, saadaan erilaisia ​​geometrioita - euklidinen (samankaltaisuusmuunnoksille), affiini jne.

Historia

Perinteisesti uskotaan, että geometrian perustajina systemaattisena tieteenä ovat muinaiset kreikkalaiset , jotka omaksuivat egyptiläisiltä maanmittauksen ja ruumiiden tilavuuden mittaamisen ja muuttivat siitä tiukan tieteenalan [2] . Samaan aikaan muinaiset geometrit siirtyivät reseptijoukosta yleisten lakien vahvistamiseen ja kokosivat ensimmäiset systemaattiset ja demonstratiiviset geometrian teokset. Niiden keskeinen paikka on 3. vuosisadalla eKr. kirjoitetuilla. e. " Alkuja " kirjoittanut Euclid . Yli kahden vuosituhannen ajan tätä työtä pidettiin esimerkillisenä esittelynä aksiomaattisen menetelmän hengessä: kaikki säännökset johdetaan loogisesti pienestä määrästä nimenomaisesti osoitettuja ja todistamattomia oletuksia - aksioomeja [2] . Ensimmäiset geometristen väitteiden todisteet ilmestyivät Thalesin teoksissa ja ilmeisesti käyttivät superpositiota, kun luvut, joiden yhtäläisyys on todistettava, asetettiin päällekkäin [8] .

Kreikkalaisten geometria, jota nykyään kutsutaan euklidiseksi tai alkeelliseksi , tutki yksinkertaisimpia muotoja: suoria viivoja , tasoja , segmenttejä , säännöllisiä monikulmioita ja monitahoja , kartioleikkauksia sekä palloja , sylintereitä , prismoja , pyramideja ja kartioita . Niiden pinta- alat ja tilavuudet laskettiin . Muutokset rajoittuivat enimmäkseen samanlaisuuteen . Kreikassa Hipparkhoksen ja Menelaoksen teoksissa esiintyi myös trigonometria ja geometria pallolla [2] .

Keskiaika antoi geometrialle vain vähän [1] , ja seuraava suuri tapahtuma sen historiassa oli Descartesin 1600-luvulla löytämä koordinaattimenetelmä (käsitelmä Geometria , 1637 ). Lukujoukot liittyvät avaruuden pisteisiin, jolloin voit tutkia geometristen muotojen välistä suhdetta algebramenetelmillä. Näin syntyi analyyttinen geometria , joka tutkii kuvioita ja muunnoksia, jotka on annettu algebrallisten yhtälöiden koordinaatteina. Euler ehdotti analyyttisen geometrian systemaattista esitystä vuonna 1748. 1600-luvun alussa Pascal ja Desargues alkoivat tutkia tasohahmojen ominaisuuksia, jotka eivät muutu projisoitaessa tasolta toiselle. Tätä leikkausta kutsutaan projektiiviseksi geometriaksi , ja Poncelet yleisti sen ensimmäisen kerran vuonna 1822. Jo aikaisemmin, vuonna 1799, Monge kehitti kuvailevan geometrian , joka liittyi suoraan piirtämiseen . Koordinaatit perustuvat hieman myöhemmin ilmestyneeseen differentiaaligeometriaan , jossa kuviot ja muunnokset määritellään vielä koordinaatteina, mutta jo mielivaltaisilla riittävän tasaisilla funktioilla. Differentiaaligeometrian systematisoi Monge vuonna 1795 [2] , sen kehittämisen, erityisesti käyrien teorian ja pintojen teorian , suoritti Gauss . Geometrian, algebran ja analyysin, vektorilaskennan , tensorilaskennan leikkauskohdassa syntyi differentiaalimuotojen menetelmä [1] .

Vuonna 1826 Lobatševski hylkäsi Eukleideen rinnakkaisaksiooman ja rakensi hänen mukaansa nimetyn ei-euklidisen geometrian . Lobatševskin aksiooman mukaan sellaisen pisteen kautta, joka ei sijaitse suoralla, voidaan vetää useampi kuin yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa. Lobatševski, käyttäen tätä aksioomaa yhdessä muiden säännösten kanssa, rakensi uuden geometrian, joka epäselvyyden vuoksi pysyi hypoteettisena vuoteen 1868 asti, jolloin sen täydellinen perustelu annettiin. Lobatševski löysi siten uusien geometristen teorioiden rakentamisen periaatteet ja osallistui aksiomaattisen menetelmän kehittämiseen [2] .

Seuraava askel oli abstraktin matemaattisen avaruuden määrittely . Projektiiviset, affiiniset ja konformiset muunnokset säilyttäen figuurien ominaisuudet johtivat projektiivisten, affiinisten ja konformisten geometrioiden luomiseen. Siirtyminen kolmiulotteisesta avaruudesta n-ulotteiseen avaruuteen tehtiin ensimmäisen kerran Grassmannin ja Cayleyn teoksissa vuonna 1844, ja se johti moniulotteisen geometrian luomiseen. Toinen avaruuden yleistys oli Riemannin geometria , jonka Riemannin ehdotti vuonna 1854 [2] . F. Klein systematisoi kaiken tyyppiset homogeeniset geometriat " Erlangen - ohjelmassa " ; hänen mukaansa geometria tutkii kaikkia niitä kuvioiden ominaisuuksia, jotka ovat muuttumattomia tietyn ryhmän muunnoksissa. Lisäksi jokainen ryhmä asettaa oman geometriansa. Eli isometriat (liikkeet) määrittelevät euklidisen geometrian, affiinisten muunnosten ryhmä  määrittelee affiinin geometrian .

1800-luvun 70-luvulla syntyi joukkoteoria , jonka näkökulmasta hahmo määritellään pistejoukoksi. Tämä lähestymistapa antoi meille mahdollisuuden tarkastella uutta eukleidalaista geometriaa ja analysoida sen perustuksia, joita Hilbertin teoksissa on hienosteltu [2] .

Geometria filosofiassa ja taiteessa

Muinaisesta Kreikasta lähtien geometria on perustunut filosofisiin käsitteisiin. Kun piste määritellään "siksi, jolla ei ole osia", lähestymistapa siihen eroaa Pythagorassa, joka identifioi pisteen numeeriseen yksikköön ja jossa pisteellä on vain sijainti avaruudessa eikä sillä ole kokoa, ja Demokrituksella, joka atomistisen teorian rakentaminen antaa pisteelle "ylituntuvan pienen" koon. Viivan ja pinnan määritelmät palaavat myös atomistisiin ideoihin, joissa "leveys" ja "syvyys" ovat jakamattomia [6] .

Geometria on viides seitsemästä vapaasta taiteesta oppimistasolla mitattuna. Sitä edeltää triviumi , joka koostuu kielioppista , retoriikasta ja dialektiikasta sekä aritmetiikasta, joka on quadriviumin vanhempi tiede , johon kuuluvat myös musiikki ja tähtitiede [9] . Marcianus Capella tutki tutkielmassaan Filosofian ja Merkuriuksen avioliitto loi visuaalisia kuvia kaikista seitsemästä taiteesta, mukaan lukien geometria. Taiteen persoonallisuutena olivat naiset, joilla oli asianmukaisia ​​ominaisuuksia ja joiden seurassa oli alalla tunnettuja edustajia. Geometria pitää käsissään maapalloa ja kompassia, joilla se voi mitata, harvemmin neliötä, viivainta tai kompassia. Hänen mukanaan on Eukleides [10] [11] .

Vuonna 1893 löydetty asteroidi (376) Geometry on nimetty Geometryn mukaan.

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Geometria // Mathematical Encyclopedia: 5 osassa . - M  .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 1 .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 TSB, 1971 .
  3. ↑ 1 2 3 4 Geometria, 1963 , s. 32-41.
  4. ↑ Geometria, 1963 , s. 41-44.
  5. ↑ Geometria, 1963 , s. 44-48.
  6. ↑ 1 2 Geometry, 1963 , s. 12-17.
  7. ↑ Geometria, 1963 , s. 18-21.
  8. ↑ Geometria, 1963 , s. 12.
  9. ↑ Vapaat taiteet  . Encyclopædia Britannica. Haettu 20. maaliskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 27. toukokuuta 2012.
  10. ↑ Seitsemän vapaata taidetta (pääsemätön linkki) . Symbolarium. Haettu 20. maaliskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 27. toukokuuta 2012. 
  11. ↑ Seitsemän vapaata taidetta . Katolinen tietosanakirja. Haettu 20. maaliskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2013.

Kirjallisuus

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
 Matematiikan alat
Portaali "Tiede"
Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra
Lukuteoria ( aritmetiikka )
  • Portaali "Matematiikka"
  • Luokka "Matematiikka"
 Seitsemän vapaata taidetta
Trivium Kielioppi Retoriikkaa Dialektinen ( Logiikka ) quadrivium Aritmeettinen Geometria Tähtitiede Musiikki