Yleinen topologia ( joukkoteoreettinen topologia ) on topologian haara, joka tutkii jatkuvuuden ja rajan käsitteitä yleisimmässä merkityksessä.
Perinteinen lähestymistapa yleiseen topologiaan on joukkoteoreettinen . Joukkoa kutsutaan topologiseksi avaruudeksi , kun sen avoimien osajoukkojen perhe on annettu , joka täyttää aksioomit. On monia mahdollisia tapoja määritellä topologisen avaruuden rakenne yhdelle joukolle: diskreetistä ei-Hausdorffin antidiskreettiin (triviaaliseen) topologiaan liimaamalla kaikki pisteet yhteen.
Joukkoteorian peruskäsitteet, kuten joukko , funktio , järjestysluvut , kardinaaliluvut , valinnan aksiooma , Zornin lemma , eivät ole yleisen topologian kohteena, mutta ne käyttävät niitä aktiivisesti. Yleinen topologia sisältää seuraavat osiot: topologisten avaruuksien ominaisuudet ja niiden kartoitukset, operaatiot topologisilla avaruuksilla ja niiden kartoitukset, topologisten avaruuksien luokittelu. Itsenäinen yleisen topologian suunta on ulottuvuusteoria .
Toisin kuin differentiaali- ja algebrallinen topologia , yleinen topologia keskittyy tutkimaan yleisimpiä topologisten avaruuksien jatkuvan kuvauksen muotoja toisiinsa, ei avaruksiin, joissa on monimutkaisempia rakenteita, pääasiassa algebrallisia .
Yleisen topologian sanasto sisältää sellaisia käsitteitä kuin naapurustot , joukon sulkemiset (sekä sisätilat ), joukkojen tiiviys sekä sekvenssien ja suodattimien konvergenssi . Yleisessä topologiassa esitelty funktion rajan käsite mahdollistaa lisäyleistämisen pseudotopologisten tilojen teorian puitteissa .
Yleinen topologia syntyi 1800- luvun lopulla ja muotoutui itsenäiseksi matemaattiseksi tieteeksi 1900- luvun alussa . Perusteokset kuuluvat Felix Hausdorffin , Henri Poincarén , Pavel Alexandrovin , Pavel Urysonin ja Leutzen Brauerin teoksiin . Erityisesti ratkaistiin yksi yleisen topologian pääongelmista – välttämättömien ja riittävien ehtojen löytäminen topologisen avaruuden mittaatavuudelle .
Yleisen topologian nopein kehitys itsenäisenä tiedonhaarana tapahtui 1900-luvun puolivälissä, 2000-luvun alkuun mennessä se on pikemminkin aputieteenala, joka "palvelee" monia matematiikan alueita: algebrallinen topologia , funktionaalinen analyysi , monimutkainen analyysi , graafiteoria .
| Matematiikan alat | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Portaali "Tiede" | ||||||||||
| Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra | ||||||||||
| Lukuteoria ( aritmetiikka ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||