Dimensio teoria

Dimensioteoria on osa yleistä topologiaa , jossa tutkitaan dimensioita - tietyn tyyppisiä numeerisia topologisia invariantteja . Dimensio määritellään tavalla tai toisella luonnollisella tavalla laajalla topologisten avaruuksien luokassa. Lisäksi, jos on olemassa monitahoinen (erityisesti jakoputki ), mitta on sama kuin mittojen lukumäärä alkeisgeometrian mielessä. $X$ $X$

Mittatyypit

Induktiiviset mitat - suuret ja pienet induktiiviset mitat ja $\left(\operaattorinimi {Ind}\oikea.$ $\left.\operaattorin nimi {ind}\oikea)$
Lebesguen ulottuvuus $\left(\operaattorinimi {dim}\oikea)$
Homologinen ulottuvuus
Kohomologinen ulottuvuus

Historia

Ensimmäisen yleisen määritelmän ulottuvuudesta (suuri induktiivinen ulottuvuus ) antoi Brouwer (1913) Poincarén idean perusteella . Vuonna 1921 Menger ja Uryson päätyivät Brouwerista ja toisistaan riippumatta samanlaiseen määritelmään (ns. pieni induktiivinen ulottuvuus ). Täysin erilainen lähestymistapa ulottuvuuden käsitteeseen on peräisin Lebesguelta . $\operaattorinimi {Ind}$ $\operaattorinimi {ind}$

Hausdorffin ulottuvuus on vastaava määritelmä metriavaruuksille . Tämän määritelmän antoi Hausdorff vuonna 1919 .

Määritelmä Urysonin mukaan

Topologinen kuvio on nollaulotteinen, jos siinä ei ole yhdistettyä kuviota, joka sisältää enemmän kuin yhden pisteen. Joukon dimensio on nolla, jos jollakin sen pisteestä on mielivaltaisen pieni suhteellinen naapuruus, jossa on tyhjä raja [1] .

Joukolla on dimensio yksi, jos se ei ole nollaulotteinen, mutta jollakin sen pisteestä on mielivaltaisen pieni suhteellinen naapuruus, jonka raja on nollaulotteinen. Joukolla on dimensio , jos se ei ole , mutta jollakin sen pisteestä on mielivaltaisen pieni suhteellinen ympäristö, jonka raja on normaali [2] . $n$ $n-1$

Joukon piste erotetaan pisteestä joukolla , jos kuvassa ei ole yhdistetty joukkoa, joka sisältää pisteet ja ja ei leikkaa kanssa . $a$ $X$ $b$ $A$ $X$ $a$ $b$ $A$

Topologinen mittakuva määritellään kuvioksi, joka ei ole mittakuva ja jossa mikä tahansa piste yhdessä sen lähiympäristön kanssa voidaan erottaa muusta kuviosta joukolla mittoja, jotka eivät ylitä [3] [4] . $n$ $n-1$ $n-1$

Muistiinpanot

↑ Vilenkin, 1969 , s. 149.
↑ Vilenkin, 1969 , s. 151.
↑ Boltyansky, 1982 , s. 35.
↑ Vilenkin, 1969 , s. 152.

Kirjallisuus

Gurevich V. , Volman G. Dimension teoria. - IL, 1948.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1982. - 160 s.
Vilenkin N.Ya. Aseta tarinoita. - M .: Nauka, 1969. - 159 s.