Monitahoinen on monitahojen liitto , joka ei välttämättä ole samankokoinen . Geometriassa monitahoinen (monitahoinen monikko) on kolmiulotteinen hahmo, jolla on tasaiset monikulmion pinnat, suorat reunat ja terävät kulmat tai kärjet. Sana polyhedron tulee klassisen kreikan sanasta πολεεδρον poly- (varsi πολύς, "monet") + -hedron (muoto δδρα, "pohja" tai "istuin"). Kupera monitahoinen on kupera runko, jossa on äärellinen määrä pisteitä, jotka eivät kaikki ole samassa tasossa. Kuutiot ja pyramidit ovat esimerkkejä kuperista monitahoista.
Monitahoinen on kolmiulotteinen esimerkki yleisemmästä monitahoisesta monella ulottuvuudella.
Monitahoisen hajoamista yksinkertaisiksi kutsutaan yksinkertaisiksi kompleksiksi .
Monitahoisen käsitettä käytetään yksinkertaisen homologian teoriassa .
Joskus polyhedriaa kutsutaan tavalliseksi monitahoksi, jonka ulottuvuus on 3.
Kuperat polyhedrat ovat hyvin määriteltyjä, ja niillä on useita vastaavia standardimääritelmiä. Kuitenkin monitahojen, joiden ei tarvitse olla kupera, muodollinen matemaattinen määritelmä on ollut ongelmallinen. Monet "polyhedron" määritelmät on annettu tietyissä yhteyksissä, jotkut tiukempia kuin toiset, eikä ole olemassa yleistä sopimusta siitä, kumpi valita. Jotkut näistä määritelmistä sulkevat pois muodot, joita usein pidetään monitahoina (kuten itsensä leikkaavia monitahoja), tai sisältävät muodot, joita ei usein pidetä kelvollisina monitahoina (kuten jäykät kappaleet, joiden rajat eivät ole monitahoja). Kuten Branko Grünbaum totesi : "alkuperäinen synti monitahoisten teoriassa juontaa juurensa Eukleideen ja myös Keplerin , Poinsot'n , Cauchyn ja monien muiden kautta. Kirjoittajat eivät jokaisessa vaiheessa pystyneet määrittelemään, mitä polyhedrat ovat." [yksi]
Yleisesti ollaan kuitenkin yhtä mieltä siitä, että monitahoinen kappale on jäykkä kappale tai pinta, jota voidaan kuvata sen kärkipisteillä (kulmapisteillä), reunoilla (tiettyjä kärkipareja yhdistävät viivasegmentit), pinnoilla (kaksiulotteiset monikulmiot) ja joskus sen kolmella. -ulotteinen sisätilavuus. Nämä erilaiset määritelmät voidaan erottaa sen mukaan, kuvaavatko ne monitahoista jäykkää kappaletta, kuvaavatko ne sitä pintana vai abstraktimmin putoamisgeometrian perusteella.
Yleinen ja jokseenkin naiivi määritelmä monitahoista on, että se on jäykkä kappale, jonka raja voidaan peittää äärellisellä määrällä tasoja, tai että se on jäykkä kappale, joka on muodostettu äärellisen määrän kuperaa monitahoa. [2] Tämän määritelmän luonnolliset tarkennukset edellyttävät, että jäykkä kappale on rajattu, sillä on yhdistetty sisäpuoli ja mahdollisesti myös yhdistetty raja. Tällaisen monitahoisen pinnat voidaan määritellä rajan osien yhteenliitetyiksi komponenteiksi kunkin sitä peittävän tason sisällä ja reunat ja kärjet viivasegmenteiksi ja pisteiksi, joissa nämä pinnat kohtaavat. Tällä tavalla määritellyt monitahot eivät kuitenkaan sisällä itsensä leikkaavia tähtipolyhedraja, niiden pinnat eivät voi muodostaa yksinkertaisia polygoneja ja jotkut reunat voivat kuulua useammalle kuin kahdelle pinnalle. Yleisiä ovat myös määritelmät, jotka perustuvat ajatukseen rajoittavasta pinnasta eikä jäykästä kappaleesta. Esimerkiksi O'Rourke (1993) määrittelee polyhedronin kuperoiden monikulmioiden (sen pintojen) liitoksi, jotka sijaitsevat avaruudessa siten, että minkä tahansa kahden polygonin leikkauspiste on yhteinen kärki tai reuna tai tyhjä joukko, ja siten, että niiden liitto on jakotukki. Jos tällaisen pinnan litteä osa ei ole itse kupera monikulmio, O'Rourke vaatii, että se jaetaan pienempiin kuperoihin monikulmioihin, joiden välissä on tasaiset kaksikulmaiset kulmat. Hieman yleisemmin Grünbaum määrittelee aoptisen polyhedronin kokoelmaksi yksinkertaisia monikulmioita, jotka muodostavat upotetun monikanavan, jossa kukin kärki osuu vähintään kolmeen reunaan, ja kukin kahdesta pinnasta leikkaa vain kunkin niiden yhteiset kärjet ja reunat. [3] Cromwell-polytoopit antavat samanlaisen määritelmän, mutta ilman kolmen reunan rajoitusta kärkeä kohti. Jälleen tämän tyyppinen määritelmä ei kata itsensä leikkaavia monitahoja. Samanlaisia käsitteitä ovat topologiset määritelmät polyhedraista topologisen moniston alajakoina topologisille levyille (pinnoille), joiden parikohtaisten leikkauspisteiden tulee olla pisteitä (pisteitä), topologisia kaaria (reunat) tai tyhjä joukko. On kuitenkin olemassa topologisia monitahoja (jopa kaikilla kolmioilla), joita ei voida toteuttaa aoptisina polyhedreinä.
Yksi moderneista lähestymistavoista perustuu abstraktien polyhedrien teoriaan. Ne voidaan määritellä osittain järjestetyiksi joukoiksi, joiden elementit ovat monitahoisen kärjet, reunat ja pinnat. Huippu tai reunaelementti on pienempi kuin reuna- tai pintaelementti (tässä osittaisessa järjestyksessä), kun kärki tai reuna on osa reunaa tai pintaa. On myös mahdollista sisällyttää tähän osittaiseen järjestykseen erityinen alempi elementti (edustaen tyhjää joukkoa) ja ylempi elementti, joka edustaa koko polyhedriaa. Jos elementtien välisillä osittaisilla järjestysosuuksilla, jotka ovat kolmen tason välimatkan päässä toisistaan (eli jokaisen pinnan ja alaelementin välillä sekä yläelementin ja kunkin kärjen välillä) on sama rakenne kuin monikulmion abstraktilla esityksellä, niin näillä osittain järjestetyillä joukoilla on täsmälleen sama tieto topologisena monitahoisena. Näitä vaatimuksia kuitenkin usein lievennetään, sen sijaan edellytetään vain, että elementtien välisillä osilla, jotka ovat kaksi tasoa toisistaan, on sama rakenne kuin janan abstraktilla esityksellä. Tämä tarkoittaa, että jokainen reuna sisältää kaksi kärkeä ja kuuluu kahdelle pinnalle, ja että jokainen pinnan kärki kuuluu kyseisen pinnan kahteen reunaan. Muilla tavoilla määriteltyjä geometrisia polyhedraja voidaan kuvata tällä tavalla abstraktisti, mutta geometristen polyhedrien määrittelyn perustana voidaan käyttää myös abstrakteja polyhedraja. Abstraktin polytoopin toteutuksen ajatellaan yleensä olevan abstraktin polytoopin kärkien kartoitus geometrisiin pisteisiin siten, että kunkin pinnan pisteet ovat samassa tasossa.