Yksinkertainen homologia

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.4.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Yksinkertaiset ja kompleksit

Dimensio simpleksi on kupera runko pisteitä, jotka eivät sijaitseyksiulotteisessa aliavaruudessa. 0-ulotteinen simpleksion piste, 1-ulotteinenjana, 2-ulotteinenkolmio, 3-ulotteinentetraedri, jne. Pisteiden osan muodostamaa simpleksiäkutsutaan suuren simpleksin pinnaksi. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Sitten esittelemme yksinkertaisen kompleksin käsitteen (painottaen e:tä). Kompleksi on joukko yksinkertaisia, joista jokaisella kompleksi sisältää kaikki pintansa, ja millä tahansa kahdella yksinkertaisuudella joko ei ole ollenkaan yhteistä pistettä tai ne leikkaavat vain jonkin ulottuvuuden koko pintaa ja vain yhtä pintaa. Yleensä ne edellyttävät myös, että missä tahansa kompleksin pisteessä on lähiö, joka leikkaa korkeintaan äärellisen määrän yksinkertaistuksia (ns. paikallinen äärellisyys ). $K$

Ketjuryhmä

Tarkastellaan asteittaista Abelin ryhmää kokonaislukukertoimilla, jotka on generoitu kompleksin yksinkertaisilla, ns. ketjuryhmä, joka on dimensioiden ketjuryhmien suora summa . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Yksinkertaisuuksilla katsotaan olevan orientaatio, ja simplexin katsotaan olevan yhtä suuri , jos permutaatio on parillinen, ja päinvastaisella etumerkillä, jos se on pariton. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Rajaoperaattori

Määrittelemme operaattorin geometrisen pinnan $i$ ottamiseksi :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , jossa tarkoittaa, että -th vertex tulisi ohittaa. ${\hattu {a_{i))}$ $i$

Geometrisen kasvon ottamisen operaattori riippuu vain simplexistä itsestään, mutta ei simplexin määrittävien kärkien järjestyksestä.

Tätä varten riittää todistaa, että -: nnen kasvon ottava operaattori ei muutu, kun kaksi kärkeä vaihdetaan (transponointi). Jos tämä siirto ei vaikuta , tämä on ilmeistä. Jos se järjestyy uudelleen -: nnelle paikalle, meillä on (olkoon esimerkiksi ): $i$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrix}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hattu {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matrix}}

- odotetusti (palata vanhaan paikkaan, sinun on tehtävä transponointi, vastaavasti, vaihdettava merkki saman määrän kertoja). ${\hattu {a_{i))}$ $ij-1$

Määritellään simplexin orientoidun rajan operaattori seuraavasti:

\partial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\sum (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Rajaoperaattorin ottaminen pienentää ulottuvuutta 1:llä. 0-ulotteisen simplexin (pisteiden) osalta harkitsemme . Lineaarisuuden mukaan laajennamme operaattorin mihin tahansa ketjuun. Rajaoperaattorin pääominaisuus on seuraava: $A$ $\partial{A}=0$ $\osittainen$

\osittais _{k-1}\osittainen _{k}=0

Sovellus simpleksiin johtaa jälkimmäisen kahden kärjen poistamiseen. Oletetaan, että . $\osittainen _{k-1}\osittainen _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

Simpleksi sisältyy operaattorin ensimmäisen toiminnon tulokseen merkillä , mutta merkillä , koska poistettaessa kärki ei ole enää -: nnessa, vaan -: nnessä. Nämä merkit ovat vastakkaisia, mikä tarkoittaa, että se on nolla mille tahansa simpleksille ja lineaarisuuden mukaan mille tahansa ketjulle. $\langle a_{0},...~{\hattu {a_{j}}},...~{\hattu {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\osittainen \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\osittainen \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\hattu {a_{j))}$ ${\hattu {a_{i))}$ $i$ $(i-1)$ $\osittainen _{k-1}\osittainen _{k}$

Yksinkertainen homologia komplekseille ja polyhedraille

Monitahoinen on monitahojen liitto.

Jakamalla polyhedrat yksinkertaisiksi saamme yksinkertaisen kompleksin.

Yksinkertainen homologia otetaan käyttöön komplekseissa ja polyhedraissa seuraavasti:

Harkitse dimensioketjujen ryhmää kompleksimme yksinkertaisista , joita merkitään . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

Ketjua , jossa rajaoperaattorin arvo on nolla (toisin sanoen ), kutsutaan sykliksi ; merkitään heidän joukkonsa . $c$ $\osittais _{k}c=0$ $c\in \operaattorinimi {Ker} \;\partial _{k}$ $Z K., K)$

Jos jollekin ketjulle se pätee (toisin sanoen ), niin ketjua kutsutaan rajaksi ; rajojen joukko merkitään . $c'$ $c=\osittainen _{k+1}c'$ $c\in \operaattorinimi {Im} \;\partial _{k+1}$ $c$ $B_{k}(K)$

Koska operaattori on lineaarinen, sekä rajat että syklit muodostavat ketjuryhmän alaryhmiä . Siitä tosiasiasta, että on selvää, että mikä tahansa raja on sykli, eli . $\osittainen$ $\osittainen \osittainen =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

Kahden säikeen sanotaan olevan homologisia , jos ne eroavat toisistaan rajan verran. Se tallennetaan (eli ). $x\sim y$ $x=y+\osittainen z$

Tekijäryhmää kutsutaan kompleksin k-ulotteisen yksinkertaisen homologian ryhmäksi . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\operaattorinimi {Ker} \;\partial _{k}/\operatorname {Im} \;\partial _{k+1}$

Esimerkki

Antaa olla yksiulotteinen kompleksi, joka on kaksiulotteisen simplexin (kolmio) raja . Etsitään sen homologia. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , koska kompleksissa ei ole kaksiulotteisia yksinkertaistuksia. Siksi . Selvitetään nyt, milloin yksiulotteinen ketju voi olla sykli. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Otetaan mielivaltainen ketju . Meillä on: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Joten . Siksi millä tahansa yksiulotteisella syklillä on muoto $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $c$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

tarkoittaa , että on yksinkertaisesti ääretön syklinen ryhmä . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Etsitään nollaulotteinen homologia. Siitä lähtien . Tasa-arvosta seuraa, että ja eroavat rajalla. Samoin , ja eroavat rajan mukaan, minkä vuoksi rajaan asti minkä tahansa nollaulotteisen ketjun muoto on . Eli on yksinkertaisesti ääretön syklinen ryhmä . Jos se on itse raja, eli , niin meillä on se , ja siksi . $\osittainen _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Joten, kaksiulotteisen simpleksin rajalle . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Jotkut homologian ominaisuudet

Jos kompleksin homologia on määritelty, niin niiden katsotaan olevan myös tätä kompleksia vastaavan polyhedronin homologia. $K$ $|K|$

Homologiaryhmien riippumattomuus kolmiomittauksen valinnasta on kuitenkin todistettava.

Voidaan todistaa, että homomorfismi vastaa jatkuvaa monitahojen kartoitusta , ja tämä vastaavuus, kuten sanotaan, on funktionaalinen , eli jatkuvien kartoitusten koostumus vastaa homologiaryhmien homomorfismien koostumusta , ja identtinen kartoitus vastaa identtinen homomorfismi . $f:|K|\to |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\to H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Jos kompleksi koostuu äärellisestä määrästä yksinkertaistuksia, niin homologiaryhmällä on äärellinen määrä generaattoreita.

Tässä tapauksessa se esitetään useiden kokonaislukujen ryhmän (niiden lukumäärän, eli homologiaryhmän järjestystä kutsutaan Betti-luvuksi ) ja äärellisten syklisten ryhmien, joissa kukin on jakaja (nämä luvut ). kutsutaan vääntökertoimiksi ). Betti-luku ja vääntökertoimet määritetään yksiselitteisesti. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

Aluksi A. Poincaré esitteli ne vain karakterisoidakseen topologisia ominaisuuksia.

E. Noether osoitti itse homologiaryhmien tutkimukseen siirtymisen tärkeyden.

Kirjallisuus

Pontryagin L. S. Kombinatorisen topologian perusteet. - M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Algebrallisen topologian perusteet. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M .: Nauka, 1989