Funktio (matematiikka)

Funktori on erityinen luokkien välinen kartoitus . Se voidaan ymmärtää rakennetta säilyttäväksi kartoitukseksi. Funktiot pienten luokkien välillä ovat pienten kategorioiden morfismeja . Kaikkien kategorioiden kokoelma ei ole luokka tavallisessa merkityksessä, koska sen objektien kokoelma ei ole luokka . Yksi tapa voittaa sellaiset joukkoteoreettiset vaikeudet on lisätä ZFC : hen itsenäinen aksiooma saavuttamattomien kardinaalien olemassaolosta .

Ensimmäistä kertaa funktoreita alettiin huomioida algebrallisessa topologiassa , jossa algebralliset objektit (esimerkiksi perusryhmä ) yhdistetään topologisiin avaruksiin ja näiden objektien väliset homomorfismit liittyvät jatkuviin kartoituksiin . Myöhemmin funktorit ovat yleistyneet monilla matematiikan aloilla ja niitä käytetään yhdistämään eri luokkia.

Matemaatikot lainasivat termin "funktori" filosofi Rudolf Carnapin [1] teoksista , kun taas Carnapissa sana "funktori" viittasi kielelliseen käsitteeseen [2] .

Määritelmä

( Kovariantti ) Funktori luokasta toiseen on kartoitus, joka: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$

kartoittaa jokaisen kohteen objektiin $X\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(X)\in {\mathcal {D}},$
kartoittaa jokaiseen luokan morfismiin luokan morfismin . Tällä kartoituksella on oltava seuraavat ominaisuudet: $f:X\Y:ksi$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Funktorin tulee siis säilyttää identiteettimorfismit ja morfismien koostumuksen rakenne.

Vastaavasti kontravarianttifunktio on kartta, joka kääntää nuolet päinvastaiseksi (eli määrittää morfismille morfismin ), säilyttää identtiset morfismit ja täyttää yhtäläisyyden: $f:X\Y:ksi$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

Kontravarianttifunktiontori voidaan myös määritellä kaksoiskategorian kovarianssifunktioksi . Jotkut kirjoittajat kirjoittavat mieluummin kaikki ilmaisut kovarianttisesti, ja sanojen "kontravariantti functor from to " sijaan he sanovat "funktionaalista toiseen " (tai joskus "funktionaalista toiseen "). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifunktorit ja monitoimilaitteet

Bifunktori on kahden argumentin funktionaali. Luonnollinen esimerkki on Hom-funktio , joka on kovariantti yhdessä argumentissa ja kontravariantti toisessa.

Muodollisesti bifunktorit määritellään toimijoiksi tuoteryhmästä . Esimerkiksi funktorilla on muoto . ${\mathrm {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}$

Monitoiminen on yleistys bifunktorin käsitteestä muuttujien suhteen. $n$

Esimerkkejä

Funktorin määrittämiseksi on määriteltävä sen toiminta luokkaobjektien lisäksi (joka vielä tärkeämpää) morfismeihin: on olemassa erilaisia funktioita, jotka toimivat samalla tavalla objekteissa, esimerkiksi identiteettifunktio ja anti -identiteettifunktio. joka kääntää nuolet.

Olkoon aliluokka kategoriassa . _ Tässä tapauksessa määritellään upotusfunktio , joka toimii objekteihin ja morfismeihin vastaavina luokan upotuksina . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $Minä:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Vakiofunktio: Funktori, joka kartoittaa jokaisen luokkaobjektin kiinteään luokkaobjektiin ja kunkin morfismin kyseisen objektin identiteettimorfismiin. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$

Endofuntorit ovat mitä tahansa toimijoita luokasta itseensä.

Kaksoisvektoriavaruus : Mappaus, joka määrittää kullekin vektoriavaruudelle sen kaksoiskartoituksen ja kullekin lineaariselle mappaukselle kaksois (tai transponoidun) mappauksen, on vektoriavaruuksien luokan kontravariantti endofunktori.

Antaa olla tietty luokka , eli luokka, joka on varustettu univalentilla functorilla joukkojen luokkaan (erityistapaus unohtavaan funktionaaliin ). Tämän funktorin avulla joukot yhdistetään luokan objekteihin, ja morfismit voidaan ajatella näiden joukkojen funktioina, jotka säilyttävät lisärakenteen (esimerkiksi: ryhmien luokka , renkaiden luokka , joukkojen luokka ) . Vasen adjoint (jos sellainen on) unohtavaan funktoriin on vapaa objektifunktio (esimerkki: vapaa moduuli ). ${\mathcal {C}}$

Presheaves : Olkoon topologinen avaruus , jolloin avoimet osajoukot muodostavat osittain järjestetyn joukon sisällyttämisen suhteen, jota merkitään . Kuten minkä tahansa posetin kanssa, luokka voidaan liittää lisäämällä yksi morfismi , jos ja vain jos . Kontravariantteja funktioita kutsutaan presheaveiksi . Esimerkiksi todellisten algebroiden luokassa on funtori , joka yhdistää avoimen joukon reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden algebraan. $X$ $X$ $HÄRKÄ)$ $HÄRKÄ)$ $Sinulta V$ $U\subseteq V$ $HÄRKÄ)$

Perusryhmä : jokainen topologinen avaruus , jossa on merkitty piste, voidaan liittää perusryhmään, jonka elementit ovat silmukkaekvivalenssiluokkia aina homotopiaan asti . Jos on välilyöntien morfismi, jossa on merkitty piste (jatkuva kartoitus, joka vie ensimmäisen avaruuden merkityn pisteen toisen merkittyyn pisteeseen), jokainen pisteestä lähtevä silmukka voidaan liittää sen kuvaan, joka on silmukka pisteestä. piste . Tämä kartoitus on yhdenmukainen ekvivalenssiluokkien ja koostumuksen toiminnan kanssa, joten se on homomorfismi välillä - . On helppo tarkistaa, että kaikki muut kovarianttifunktion ominaisuudet pisteillä merkittyjen topologisten avaruuksien luokasta ryhmien kategoriaan ovat voimassa . $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\to (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi (X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Tangentti- ja kotangenttinippu : kartta, joka yhdistää sileän jakosarjan tangenttikimppuinsa ja monisarjojen diffeomorfismin differentiaaliinsa , on kovarianttifunktionaali sileiden monisarjojen ja diffeomorfismien luokasta vektorinippujen luokkaan . Samalla tavalla kotangenttinippu ja diffeomorfismin kodifferentiaali määrittelevät kontravariantin funktionaalin. Tangenttiavaruuden huomioon ottaminen kiinteässä pisteessä määrittelee kovarianttifunktion, joka kuuluu tasaisten monisarjojen luokasta merkityllä pisteellä ja tasaisilla mappauksilla vektoriavaruuksien luokkaan.

Tensoritulo : jos on vektoriavaruuksien luokka kiinteän kentän yläpuolella , kahden tilan tensoritulo määrittää funktorin , joka on kovariantti molemmissa argumenteissa [3] . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

Yksinkertaiset objektit ovat mielivaltaisia ristiriitaisia funktioita yksinkertaisesta luokasta eri luokkiin ( joukkojen luokkaan - yksinkertaistettu joukko , ryhmien luokkaan - yksinkertaistettu ryhmä ja muut); konstruktioilla, jotka yleistävät yksinkertaisen kompleksin käsitteen , on tärkeä rooli algebrallisessa topologiassa.

Funktori määrittää kentälle sen absoluuttisen Galois-ryhmän ja kentän homomorfismille vastaavan $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $Gal({\bar F}/F)$ [ selventää ] Galois-ryhmien homomorfismi.

Ominaisuudet

Funktori muuttaa kommutatiiviset kaaviot kommutatiivisiin kaavioihin.
Funktori muuttaa isomorfismit isomorfismeiksi.
Kahden funktorin kokoonpano on myös funktori. Funktiorikoostumus on assosiatiivinen operaatio (missä se on määritelty), joten pienten luokkien väliset funtorit täyttävät kaikki kategorian morfismien ominaisuudet .

Yhden objektin luokka on sama kuin monoidi : siinä olevat morfismit vastaavat monoidin elementtejä ja morfismien koostumuksen operaatio vastaa monoidissa määriteltyä operaatiota. Yhden objektin luokkien väliset funktiot vastaavat yksitellen monoidihomomorfismeja; siksi funktori on tietyssä mielessä monoidien homomorfismin käsitteen yleistys "monoideiksi, joissa koostumuksen toimintaa ei ole kaikkialla määritelty".

Yhteys muihin kategorisisiin käsitteisiin

Anna ja olla luokkia. Kaikkien morfismien joukkoa voidaan pitää toisen luokan objektijoukona: funktionaalisten kategorioiden joukona . Tämän luokan morfismit ovat funktoreiden luonnollisia muunnoksia . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

Funktiot määritellään melko usein käyttämällä universaaleja ominaisuuksia , esimerkkejä ovat tensoritulot , ryhmien , joukkojen tai vektoriavaruuksien tulot, suorat ja käänteisrajat . Myös yleisrakenteet määrittelevät usein parin adjoint -funktioita .

Muistiinpanot

↑ McLane, 2004 , s. 42.
↑ Carnap R. Kielen looginen syntaksi. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - S. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebrat, renkaat ja moduulit. Voi. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 s. - (Matematiikka ja sen sovellukset, osa 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - s. 99-100.

Kirjallisuus

Bucur I., Delyanu A. . Johdatus kategorioiden ja funktionaalisten tekijöiden teoriaan. — M .: Mir , 1972. — 259 s.
Maclain S. Luku 2. Konstruktiot kategorioissa // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Kategoriateorian perusteet. — M .: Nauka , 1974. — 256 s.

Linkit

Markiisi, Jean-Pierre. Luokkateoria (englanniksi) . Stanford Encyclopedia of Philosophy. - Sisältää erittäin kattavan bibliografian. Haettu 30. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2013.