Differentiaali (differentiaaligeometria)

Differentiaali ( lat. differentia - ero, ero) matematiikassa - differentioituvan funktion tai näytön inkrementin lineaarinen osa . Tämä käsite liittyy läheisesti suuntajohdannaisen käsitteeseen .

Merkintä

Ero on yleensä merkitty . Jotkut kirjoittajat haluavat käyttää latinaa korostaakseen, että differentiaali on operaattori . Differentiaali pisteessä on merkitty , ja joskus tai . ( on lineaarinen funktio tangentiavaruudessa pisteessä .) $f$ $df$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {d} f}$ $x$ $d_{x}f$ ${\displaystyle df_{x))$ $df[x]$ $d_{x}f$ $x$

Jos pisteessä on tangenttivektori , niin differentiaalin arvoa on yleensä merkitty , tämä merkintä on redundantti, mutta merkintä , ja on myös voimassa. $v$ $x$ $v$ $df(v)$ $x$ $d_{x}f(v)$ $df_{x}(v)$ $df[x](v)$

Käytetään myös merkintää ; jälkimmäinen johtuu siitä, että tasauspyörästö on luonnollinen nosto jakoputkien tangenttikimppuihin ja . $f_{*}$ $f\colon M\to N$ $f$ $M$ $N$

Määritelmät

Reaaliarvoisille funktioille

Olkoon tasainen jakoputki ja sujuva toiminto. Differentiaali on 1-muotoinen , jota yleensä merkitään ja määritellään relaatiolla $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $f$ $M$ $df$

df(X)=d_{p}f(X)=Xf,

jossa tarkoittaa derivaatta suhteessa tangenttivektorin suuntaan pisteessä . $xf$ $f$ $X$ $p\in M$

Tasaisten jakotukkien kartoittamiseen

Tasaisen kuvauksen differentiaali tasaisesta jakosarjasta jakotukkiin on niiden tangenttikimppujen välinen kartoitus , niin että jokaiselle sileälle funktiolle meillä on $F\colon M\to N$ $dF\colon TM\to TN$ $g\colon N\to \mathbb {R}$

{\näyttötyyli [dF(X)]g=X(g\circ F),}

missä tarkoittaa suuntaderivaatta . _ (Yhtälön vasemmalla puolella derivaatta otetaan funktiossa suhteessa ; oikealla funktioon suhteessa ). $xf$ $f$ $X$ $N$ $g$ $dF(X)$ $M$ $g\circ F$ $X$

Tämä käsite luonnollisesti yleistää funktion differentiaalin käsitteet.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Monistopisteen pistettä kutsutaan kartan kriittiseksi pisteeksi, jos differentiaali ei ole surjektiivinen (katso myös Sardin lause ) $x$ $M$ $f:M\to N$ $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$
- Esimerkiksi funktioiden kriittiset pisteet ovat täsmälleen kiinteitä pisteitä. Funktioiden osalta nämä ovat pisteitä, joissa differentiaalimatriisi rappeutuu. $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
- Tässä tapauksessa sitä kutsutaan
kriittiseksi arvoksi . $f(x)$ $f$
Pistettä kutsutaan säännölliseksi , jos se ei ole kriittinen. $y\in N$

Tasaista karttaa kutsutaan upotukseksi , jos jossakin pisteessä differentiaali on surjektiivinen .

F\colon M\to N

x\in M

d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N

Tasaista karttaa kutsutaan tasaiseksi upotukseksi , jos jossakin pisteessä differentiaali on injektiivinen .

F\colon M\to N

x\in M

d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N

Ominaisuudet

Koostumusero on yhtä suuri kuin erojen koostumus: $d(F\circ G)=dF\circ dG$ tai $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Esimerkkejä

Olkoon sileä funktio annettu avoimessa joukossa . Sitten , missä tarkoittaa johdannaista , ja on vakiomuoto, jonka määrittelee . $\Omega \subset \mathbb {R}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $df=f'\,dx$ $f'$ $f$ $dx$ $dx(V)=V$
Olkoon sileä funktio annettu avoimessa joukossa . Sitten . Muoto voidaan määrittää vektorille relaatiolla . $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}\,dx_{i))$ $dx_i$ $dx_{i}(V)=v_{i}$ $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$
Olkoon tasainen kartoitus avoimessa joukossa . Sitten $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $d_{x}F(v)=J(x)v,$

missä on pisteen kartoituksen Jacobian matriisi .

J(x)

F

x

Katso myös

Koodidifferentiaali