Sardin lause

Sardin lause on yksi matemaattisen analyysin teoreemoista, jolla on tärkeitä sovelluksia differentiaaligeometriassa ja topologiassa , katastrofiteoriassa ja dynaamisten järjestelmien teoriassa . [yksi]

Nimetty amerikkalaisen matemaatikon Arthur Sardin mukaan . [2] Joissakin lähteissä sitä kutsutaan Bertini - Sardin lauseeksi [3] ja se yhdistetään joskus myös Anthony Morsen (hän sai aikaisemman tuloksen) [4] ja Shlomo Sternbergin (myöhempi mutta yleisempi tulos ) nimiin. ) [5] .

Sanamuoto

Olkoon avoin joukko avaruudessa ja luokan tasainen funktio _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n))$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\alajoukko U$ $f.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Muistiinpanot

Kuten H. Whitney osoitti , sileyden astetta tässä ei voida vähentää millään yhdistelmällä ja [6] [7] $k$ $m$ $n.$

Esimerkki

Tarkastellaan identtisesti vakiofunktiota . Kaikki sen määritelmäalueen pisteet ovat kriittisiä, joten kriittisten arvojen joukko koostuu kuitenkin yhdestä pisteestä ja siksi sillä on nolla Lebesgue-mitta. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Sardan Lemma

Tasaisen funktion kriittisten arvojen joukon mitta on nolla. $C^1$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1))$

Todiste . Yleisyyttä menettämättä tarkastelemme segmenttiä . Valitsemme luvun ja jaamme segmentin yhtä suuriin osiin siten, että kullakin niistä derivaatan vaihtelu ei ylitä Tämä voidaan tehdä johtuen siitä, että ehdon mukaan lemman funktio on jatkuva ,, ja siksisegmentillä on siinä tasaisesti jatkuva , ts. $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon > 0$ $[0,1]$ $n$ $f'$ $\varepsilon.$ $f'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Merkitään niillä segmenteillä (yllä tehdyn osion osilla), jotka sisältävät vähintään yhden funktion kriittisen pisteen , eli on selvää, että tällaisille segmenteille estimaatti pätee kaikille ja siten ( äärellisten lisäysten kaava ) mille tahansa kahdelle osoittaa eriarvoisuutta $\Delta _{i}$ $f,$ $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ ${\displaystyle x\in \Delta _{i))$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Jos peitämme jokaisen joukon pituusvälillä, niin saamme kaikkien kriittisten arvojen joukon peiton intervalleilla, joiden pituuksien summa ei ylitä . Numeron valinnan mielivaltaisuuden vuoksi tämä tarkoittaa, että kriittisten arvojen joukon mitta on yhtä suuri kuin nolla. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Dubovitskyn lause

Olkoon ja kaksi tasaista positiivisten ulottuvuuksien monistoa ja ja oltava tasainen funktio luokasta , jossa pistettä kutsutaan epäsäännölliseksi , jos siinä olevan funktion Jacobi-matriisin järjestys on pienempi kuin Pistettä kutsutaan epäsäännölliseksi , jos vähintään yhdelle epäsäännölliselle pisteelle . Tässä tapauksessa epäsäännöllisen pisteen käsite osuu yhteen funktion kriittisen pisteen käsitteen kanssa . Siinä tapauksessa kaikki jakotukin pisteet ovat epäsäännöllisiä. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\to N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f$ $n.$ ${\displaystyle y\in N^{n))$ $y=f(x)$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Jos luku , niin jakosarjan epäsäännöllisten kuvauspisteiden joukolla on ensimmäinen Baer-luokka , eli se on äärellinen tai laskettava liitto kompakteista joukkoista, jotka eivät ole missään tiheitä $k\geqslant m-n+1,$ $f$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Tämän lauseen todisti Neuvostoliiton matemaatikko A. Ya. Dubovitsky [8] [9] [10] .

Muut analogit

Stephen Smale [11] sai Sardin lauseen äärettömän ulotteisen analogin (monitoreille Banach-avaruudessa ) . Analogit Hölder- ja Sobolev-avaruuksien kartoituksiin saatiin vuonna [12] . Analogi alentuneen sileyden funktioille saatiin julkaisussa [13] .

Kirjallisuus

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioituvien kartoitusten singularities - Mikä tahansa painos.
Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, - Mikä tahansa painos.
Milnor J., Wallace A. Differentiaalitopologia (alkukurssi), - Mikä tahansa painos.
Hirsch M. Differentiaalitopologia, - Mikä tahansa painos.
Spivak M. Jakoputkien matemaattinen analyysi, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset, - Mikä tahansa painos.
Sard A. Differentioituvien karttojen kriittisten arvojen mitta, Bull. amer. Matematiikka. Soc. 48 (1942), ss. 883-890.
Sternberg S. Luennot differentiaaligeometriasta, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Smooth-jakoputket ja niiden soveltaminen homotopiateoriassa. - M.: Nauka, 1985. - 176 s.

Muistiinpanot

↑ Arnold V. I. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut, kappale 10.
↑ Sard A. Differentioituvien karttojen kriittisten arvojen mitta, - Bull. amer. Matematiikka. Soc. 48 (1942), ss. 883-890. . Haettu 7. toukokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 12. lokakuuta 2012. (määrätön)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioitavien kartoitusten singularities, kappale 2.
↑ Morse AP Funktion käyttäytyminen sen kriittisessä joukossa. - Annals of Mathematics, voi. 40, nro 1 (1939), ss. 62-70.
↑ Sternberg S. Luentoja differentiaaligeometriasta.
↑ Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, osa II, luku XI, kappale 5.
↑ Whitney H. Funktio, joka ei ole vakio yhdistetyssä kriittisten pisteiden joukossa, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. N - ulotteisen kuution differentioituvista kartoituksista k - ulotteiseksi kuutioksi. Matto. Sb., 1953, 32(74):2, s. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya. N - ulotteisen kuution differentioituvien kuvausten tasojoukkojen rakenteesta k - ulotteiseksi kuutioksi. Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat., 1957, 21:3, s. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Sileät jakoputket ja niiden sovellukset homotopiateoriassa, - Mikä tahansa painos.
↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem, - American Journal of Mathematics, voi. 87, nro 4 (1965), ss. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sardin lause Holder- ja Sobolev-avaruuksien kartoituksista, - Manuscripta Math., 118 (2005), s. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Sardin lauseen analogista kahden muuttujan sileille funktioille, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, s. 1083-1091. $C^1$