Tasainen jatkuvuuslause

Tasainen jatkuvuuslause eli Cantor - Heine -lause sanoo, että kompaktille joukolle määritelty jatkuva funktio on siinä tasaisesti jatkuva.

Sanamuoto

Olkoon kaksi metristä avaruutta ja annetaan myös kompakti osajoukko ja sille määritetty jatkuva funktio Sitten on tasaisesti jatkuva $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\alajoukko X$ $f\colon A\to Y.$ $f$ $A.$

Muistiinpanot

Erityisesti segmentille määritetty jatkuva reaaliarvoinen funktio on siinä tasaisesti jatkuva. $f\colon [a,b]\alajoukko \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Lauseen ehdoilla kompaktia joukkoa ei voida korvata mielivaltaisella avoimella joukolla. Esimerkiksi funktio $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

on jatkuva koko määritelmän alueella, mutta ei ole tasaisesti jatkuva. Todiste

Käytetään todistetta ristiriitaisesti.

Antaa olla funktio, joka täyttää lauseen ehdot (kompaktijoukolla ), mutta ei ole siinä tasaisesti jatkuva. Sitten on olemassa sellainen , että kaikille on olemassa sellaiset ja , joiden välinen etäisyys on pienempi kuin , mutta niiden kuvien välinen etäisyys ei ole pienempi kuin : $f(x)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $x$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

mutta

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Otetaan esimerkiksi 0:aan suppeneva sekvenssi . Rakennamme sekvenssejä ja niin edelleen $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\oikea\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, mutta

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$A$ on kompakti, joten voimme valita konvergentin osajonon:

x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.

Mutta koska molempien sekvenssien jäsenten välinen etäisyys on yleensä nolla, niin kolmio-epäyhtälöä käyttämällä saadaan, että vastaavat osasekvenssit pyrkivät yhteen pisteeseen: . Ja koska on jatkuva , mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $f$ $f(x_{{k_{j}}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\to f(\zeta )\Oikeanuoli d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\arvoksi 0$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Siksi funktio, joka on jatkuva kompaktissa, on todellakin tasaisesti jatkuva siinä.

Historia

Tasaisen jatkuvuuden määritelmä esiintyy Heinen teoksessa . [1] Kaksi vuotta myöhemmin hän julkaisee todistuksen lauseesta suljetulla rajatulla aikavälillä määritellyille funktioille. [2] Näissä papereissa hän ei teeskentele olevansa alkuperäinen ja hänen todisteensa käytännössä toistaa Dirichlet'n todistuksen , jonka hän julkaisi hänen vuoden 1854 luennoissaan.

Suurin panos näyttää tulevan Bolzanolta . [3]

Kirjallisuus

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), s. 353-365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), s. 172-188.
↑ Rusnock, Paul ja Angus Kerr-Lawson. "Bolzano ja yhtenäinen jatkuvuus." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.