Osajoukko

Osajoukko joukkoteoriassa on käsite joukon osasta.

Määritelmä

Joukkoa kutsutaan joukon osajoukoksi, jos kaikki ryhmään kuuluvat alkiot kuuluvat myös ryhmään [1] . Muodollinen määritelmä: $A$ $B$ $A$ $B$

(A\subset B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Osajoukkoille on olemassa kaksi symbolista merkintäjärjestelmää:

" on osajoukko (ei-tiukka)" on merkitty $A$ $B$	" on tiukka osajoukko " on merkitty $A$ $B$	Merkintä
$A\subseteq B$	$A\alajoukko B$	Symboli on analoginen , eli siinä tapauksessa, että joukkojen yhtäläisyys on sallittu; $\subseteq$ $\leq$ $A\subseteq B$ $A=B$ merkki on analogi , eli tapauksessa on elementtejä, jotka eivät ole . $\osajoukko$ ${\näyttötyyli <}$ $A\alajoukko B$ $B$ $A$
$A\alajoukko B$	$A\subsetneq B$	Yksinkertaisempaa symbolia käytetään "(ei-tiukka) osajoukolle", koska sitä pidetään "perustavana".

Molemmat merkintäjärjestelmät ovat ISO 31-11 -standardin mukaisia , mutta ne käyttävät symbolia eri merkityksissä, mikä voi johtaa sekaannukseen. Tässä artikkelissa käytämme uusinta merkintää. $\osajoukko$

Joukkoa kutsutaan joukon superjoukoksi , jos se on joukon osajoukko . $B$ $A$ $A$ $B$

Se, mikä on joukon superjoukko, kirjoitetaan ylös , ts. $B$ $A$ $B\supset A$ $(A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

Joukon kaikkien osajoukkojen joukko merkitään ja sitä kutsutaan booliksi . $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

Joukkoja ja kutsutaan yhtäläisiksi vain silloin, kun ne koostuvat samoista elementeistä, eli ja . [2] $A$ $B$ $A=B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$

Oma ja väärä osajoukko

Mikä tahansa osajoukkojensa joukko sisältää itsensä ja tyhjän joukon . Itse joukkoa ja tyhjää joukkoa kutsutaan sopimattomiksi osajoukoiksi , muita osajoukkoja kutsutaan oikeaksi [3] . $B$ $B$

Eli jos haluamme sulkea itsensä ja tyhjän joukon pois tarkastelusta, käytämme oikean osajoukon käsitettä, joka määritellään seuraavasti: $B$

joukko on joukon oikea osajoukko vain, jos ja , .

A

B

A\alajoukko B

A\neq B

A\neq \varnothing

Ulkomainen kirjallisuus

Ulkomaisessa kirjallisuudessa sopimattomia osajoukkoja yllä olevassa merkityksessä (joukko B itse ja tyhjä joukko) kutsutaan triviaaleiksi ja oikeita osajoukkoja kutsutaan ei- triviaaleiksi , ja termiä " oikea osajoukko " käytetään merkityksessä " A :n tiukka sisällyttäminen joukkoon ". B ” tai ”A:n osajoukko , joka sisältyy tiukasti joukkoon B , eli sellainen, joka ei kuulu ainakaan yhteen joukon B alkioon ”, eli tässä jo käsite ” oikea osajoukko ”, päinvastoin , sisältää tyhjän sarjan.

Tässä tapauksessa, jos lisäksi tyhjä joukko jätetään huomioimatta, on käytettävä ei-triviaalin osajoukon käsitettä, joka määritellään seuraavasti:

joukko on joukon ei-triviaali osajoukko, jos se on sen oma osajoukko (oikea osajoukko) ja .

A

B

A

B

A\neq \varnothing

Esimerkkejä

Joukot ovat joukon osajoukkoja ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ $\{0,1,2,3,4,5\}.$
Joukot ovat joukon triviaaleja (sopimattomia) osajoukkoja ; kaikki muut joukon elementtien osajoukot ovat ei-triviaaleja tai oikeita. $\varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}$ ${\näyttötyyli \{0,1,2,3,4,5\},}$
Joukot ovat joukon osajoukkoja $\{\varnothing ,\uparrow ,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca))\}.$
Anna sitten $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
Anna . Sitten ja myös (eli C ei ole A:n tiukka eikä ei-tiukka osajoukko ) . ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\subset A,\;C\not \subset A,$ $\neg (C\subsetneq A)$

Ominaisuudet

Osajoukkorelaatiolla on useita ominaisuuksia [4] .

Osajoukon relaatio on osittaisen järjestyksen relaatio :
- Osajoukkosuhde on refleksiivinen : $B\subset B$
- Osajoukon suhde on antisymmetrinen : $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$
- Osajoukkosuhde on transitiivinen : $(A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)$
Tyhjä joukko on minkä tahansa muun osajoukko, joten se on pienin joukko suhteessa osajoukkosuhteeseen: $\varnothing \subset B$
Kaikille kolmelle joukolle ja siten, että kaikki lauseet: $A,$ $B$ $X$ ${\näyttötyyli A,B\alajoukko X,}$
- $A\subset B;$
- $A\cap B=A;$
- $A\cup B=B;$
- $X\setminus B\subset X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnothing ;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;$
- $(X\setminus A)\cup B=X;$
- $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

ovat vastaavia [5] .

Äärillisten joukkojen osajoukot

Jos alkuperäinen joukko on äärellinen, siinä on äärellinen määrä osajoukkoja. Nimittäin -elementtijoukossa on osajoukkoja (mukaan lukien tyhjä ). Tämän tarkistamiseksi riittää, kun huomataan, että jokainen elementti voi joko sisällyttää tai olla sisällyttämättä osajoukkoon, mikä tarkoittaa, että osajoukkojen kokonaismäärä on kaksinkertainen tulo. Jos tarkastellaan vain alkioelementtijoukon osajoukkoja , niin niiden lukumäärä ilmaistaan binomikertoimella . Voit varmistaa tämän tosiasian valitsemalla osajoukon elementit peräkkäin. Ensimmäinen elementti voidaan valita tavoilla, toinen tavalla ja niin edelleen, ja lopuksi th elementti voidaan valita tavalla. Siten saamme elementtisarjan, ja täsmälleen yksi osajoukko vastaa tällaisia sekvenssejä. Tällaisia osajoukkoja on siis yhteensä. $n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $k\leq n$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $n$ $n-1$ $k$ $n-k+1$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!)}={\binom {n}{k))$

Muistiinpanot

↑ Birkhoff, 1976 , s. kymmenen.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Yleinen algebra. Osa 1. - M., Nauka, 1990. - s. yksitoista
↑ Osajoukko. // Matemaattinen tietosanakirja. / toim. Yu. V. Prokhorov . - M., Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - s. 465
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 2. Reaaliluvut // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Yleinen topologia. - M., Nauka, 1981. - s. 16

Kirjallisuus

Vereshchagin N.K., Shen A. Luennot matemaattisesta logiikasta ja algoritmien teoriasta. Osa 1. Joukkoteorian alkua - 3. painos, stereotypia. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 s. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Modern Applied Algebra. - M .: Mir, 1976. - 400 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Subset (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista