Intuitionismi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Intuitionismi  on joukko filosofisia ja matemaattisia näkemyksiä, jotka tarkastelevat matemaattisia tuomioita "intuitiivisen vakuuttavuuden" näkökulmasta. Intuitionismista on kaksi tulkintaa: intuitiivinen vakuuttavuus, joka ei liity kysymykseen esineiden olemassaolosta, ja visuaalinen henkinen vakuuttavuus.

Intuitionistisessa matematiikassa klassisen joukkoteorian lähestymistapa hylätään (etenkään valinnan aksioomaa ja säännönmukaisuuden aksioomaa ei hyväksytä ) ja joukko klassisen logiikan perusteluja. Potentiaalisen toteutettavuuden abstraktio , jota käytetään intuitionistisessa matematiikassa, vastaa paremmin todellisuutta kuin todellisen äärettömyyden abstraktio .

Historiallinen ääriviiva

Joukkoteorian kritiikki johti kahden virtauksen syntymiseen: Leutzen Egbert Jan Brouwerin intuitionismiin , David Hilbertin formalismiin ja Gottlob Fregen , Bertrand Russellin ja Alfred North Whiteheadin logiikkaan . Vuonna 1904 Brouwer joutui laajan kritiikin kohteeksi useita klassisen matematiikan käsitteitä. Hänen huomionsa kiinnitettiin olemassaolon asemaan: onko mahdollista rakentaa sellaisia ​​tutkimuskohteita reaalilukujen mittaamattomaksi joukoksi, funktioksi, jota ei voida erottaa missään? Onko mahdollista uskoa, että ympäröivässä maailmassa on ääretön määrä esineitä [1] ?

Intuitionistinen matematiikka Brouwerin tulkinnassa on henkisten rakenteiden vakuuttavuutta, joka ei liity esineiden olemassaoloon. Toinen tulkinta on "todellisuuden yksinkertaisimpien rakentavien prosessien visuaalinen henkinen vakuuttavuus". Brouwer vastusti intuitionismin formalisoitumista [1] .

Arend Heyting muotoili intuitionistisen predikaattilaskennan ja intuitionistisen aritmeettisen laskennan, topologisen tulkinnan keksi Alfred Tarski ja  ongelmalaskennan muodossa olevan tulkinnan Andrei Nikolajevitš Kolmogorov . Ymmärtämistä rekursiivisen toteutettavuuden muodossa ehdotti Stephen Cole Kleene ja sitä tuki Andrey Andreevich Markovin tieteellinen koulu . XX-luvun 70-luvulla vapaasti muuttuvien sekvenssien teorian rakentaminen [1] saatiin päätökseen .

Intuitionistinen logiikka

Intuitionistisessa matematiikassa väite katsotaan todeksi vain, jos se voidaan todistaa jollain "ajatuskokeella". Toisin sanoen väitteen "On objekti x , jolle väite A(x) on totta " totuus todistetaan rakentamalla tällainen objekti, ja väitteen " A tai B " totuus todistetaan joko todistamalla väitteen A totuus tai todistamalla väitteen B totuus. Tästä seuraa erityisesti, että väite " A vai ei A " ei välttämättä ole totta, ja poissuljetun keskikohdan lakia ei voida hyväksyä. Todellinen matemaattinen ehdotus on sarja tehokkaan luonteen konstruktioita, jotka on tehty intuitionistisen logiikan avulla. Tehokkuus ei välttämättä liity algoritmin olemassaoloon ja voi riippua fyysisistä ja historiallisista tekijöistä, todellisesta ongelmanratkaisusta [1] .

Intuitionistisen matematiikan pääasiallisia tutkimuskohteita ovat konstruktiiviset objektit : luonnolliset ja rationaaliset luvut , rajalliset joukot konstruktiivisia objekteja elementtiluetteloineen, vapaasti muuttuvia sekvenssejä (valitut sekvenssit, joiden jokaiseen jäseneen pääsee tehokkaasti), intuitionistiset tyypit (ominaisuudet) joita tutkimuskohteissa voi olla). Vapaasti muodostuvat sekvenssit erotetaan tutkijan tiedossa olevan tiedon tason mukaan. Jos sekvenssin muodostuslaki tunnetaan täysin, niin sitä kutsutaan lain antamaksi, jos vain alkusegmentti tunnetaan - laiton. Näkymät on rakennettu hierarkiaan, jossa näkymän elementit määritellään itse näkymästä riippumatta, jolloin vältetään antinomioita . Lajit ovat harvoin tutkimuskohteita, suurin osa intuitionistisen matematiikan tuloksista voidaan saada ilman niitä [1] .

Intuitionismi ja muut matemaattiset lähestymistavat

Joukkoteorian käsittelyssä ei tehdä eroa abstraktien esineiden ja esineiden välillä, joiden olemassaolo voidaan vahvistaa rakentamalla. Klassisessa matematiikassa äärellisten joukkojen ominaisuudet ja lait ekstrapoloitiin äärettömiin joukkoihin. Samaan aikaan ei ole mahdollista rakentaa tehokkaasti esineitä, mikä näkyy niin sanotuissa "puhtaan olemassaolon teoreemoissa". Konstruktiomahdollisuuden puuttumisella ei ole mitään yhteyttä joukkoteorian antinomioihin , ja se koskee kaikkia matematiikan aloja [1] .

Formalismin ja intuitionismin käsitteet vaikuttivat merkittävästi toisiinsa . Metamatematiikan substantiiviset kriteerit, jotka ovat välttämättömiä muodollisten teorioiden johdonmukaisuuden perustelemiseksi, ovat yleensä jalostettuja intuitionismin puitteissa. Samalla saatiin useita intuitionistisen logiikan tuloksia formalisoimalla menetelmä [1] .

Laajassa tulkinnassa matematiikan rakentavaa suuntaa voidaan pitää osana intuitionistista matematiikkaa [1] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Vinogradov I. M. Intuitionismi // Mathematical Encyclopedia. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - T. 2.

Kirjallisuus

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa