Modaalinen logiikka

Modaalilogiikka ( latinan sanasta modus - menetelmä, mitta) - logiikka , jossa tavallisten loogisten konnektiivien, muuttujien ja predikaattien lisäksi on modaliteettia (modaalioperaattoreita, muita nimiä: modaalikäsitteitä, modaalisuhteita, modaaliominaisuuksia, estimaatit).

Looginen teoria on modaalinen, jos [1]

se sisältää vähintään kolme modaalista operaattoria
se on päällysrakenne väitteiden logiikan yli
sen vahvojen menettelytapojen antamat pätevyydet eivät ole yhteensopivia sen heikkojen modaliteetin antamien pätevyyksien kanssa
Väittämän yksinkertaisesta totuudesta tai valheellisuudesta on mahdotonta päätellä, mikä tietty modaalinen ominaisuus tällä lausumalla muodostetulla yhteydellä tulisi olla.
lauseen määrittely heikon modaalikonseptin avulla ei tarkoita, että väite on tosi tai että se on epätosi
jos ilmaisulle osoitetaan heikko modaalinen ominaisuus, niin sen negaatio on osoitettava sama

Modaalisia operaattoreita käytetään arvioimaan tuomion totuutta (yksityiskohtaisesti: arvioimaan tilanteen tai tuomion totuutta koskevien tuomioiden totuutta). Voidaan sanoa, että modaalilogiikka tutkii ilmaisujen "se on välttämätöntä", "on mahdollista, että" ja vastaavien deduktiivista käyttäytymistä (kapeassa merkityksessä sitä kutsutaan [2] "tarpeen ja mahdollisuuden logiikaksi" ”). Termi "modaalinen logiikka" pätee kuitenkin myös muihin järjestelmiin, jotka toimivat samanlaisilla konsepteilla (katso jäljempänä eri modaliteetit). Modaalilogiikkaa voidaan soveltaa tietojenkäsittelytieteessä ja erityisesti filosofiassa, jossa modaliteeteilla käsiteltyjä tuomioita sovelletaan laajasti ja samalla monimutkaisesti. [3]

Yllä olevia vaatimuksia pidetään välttämättöminä mille tahansa modaalilogiikalle, ja ensimmäinen niistä vastaa modaalilogiikan määritelmää, kun taas loput estävät modaalilogiikkaa rappeutumasta tavalliseksi lauselogiikaksi (jolla ei ole pätevyyksiä modaalioperaattoreiden kautta). Yksi yksinkertaisimmista modaalilogiikoista - Saul Kripken ehdottama Kripken logiikka, jota kutsuttiin hänen kunniakseen "logiikaksi K" - sisältää kuitenkin vain kaksi modaalioperaattoria (pakollisista vain "välttämätön" ja toinen on valinnainen "ehkä". ") eikä se ole [3] tarpeeksi vahva ottamaan "tarpeellisen" operaattorin riittävästi huomioon.

Modaalilogiikkaa sovelletaan [2] kielen filosofiassa, epistemologiassa, metafysiikassa ja muodollisessa semantiikassa. Samaan aikaan modaalilogiikan matemaattinen laite osoittautui hyödylliseksi monilla muilla aloilla, mukaan lukien [4] peliteoria, ohjelmien verifiointi, web-suunnittelu, joukkoteoria [5] ja sosiaalinen epistemologia [6] .

Vertailu muodolliseen logiikkaan

Muodollinen logiikka voidaan yksinkertaistaa todellisen tiedon → prosessin → johtopäätösten ketjuksi .

Mistä saada todellista tietoa muodolliseen logiikkaan, jos vain yksi aito tieto on universaalia?

Logiikan on vastattava tosielämän tilanteisiin, ja universaaleja totuuksia on vähän .

Modaalinen logiikka laajassa merkityksessä toimii :

tietoa
oletukset (mitä emme tiedä)
kysymyksiä (osittain tiedon logiikassa )
tehtävät (mitä tehdä tiedon hankkimiseksi)[ selventää ]

Toisin sanoen se on todellisempi/käytännöllisempi propositionallogiikan ja ensimmäisen asteen logiikan laajennus .

Lausuntoesimerkit

Modaalilogiikka pystyy käsittelemään esimerkiksi väitteitä, kuten "Moskova on aina ollut Venäjän pääkaupunki" tai "Pietari, kerran menneisyydessä oli Venäjän pääkaupunki", joita on mahdotonta tai erittäin vaikea ilmaista ei-modaalinen kieli. Ajallisten ja spatiaalisten modaliteettien lisäksi on muitakin, kuten "että tiedetään" (tiedon logiikka) tai "että voidaan todistaa" (todistettavuuden logiikka ).

Yleensä duaalia käytetään myös merkitsemään modaalista operaattoria. $\Laatikko$ siihen : $\timanttipuku$

\diamondsuit A=\neg \Box \neg A.

Tämä kuvastaa sitä, että sanonta "Moskova oli kerran Venäjän pääkaupunki" on sama kuin sanonta "ei ole totta, ettei Moskova koskaan ollut Venäjän pääkaupunki".

Modaliteetti

Modaliteetti on erityyppistä. Modaliteetti on arviointi, pätevyys, joka määrittää lausunnon luonteen. Lausuntoja, jotka vahvistavat vain tilanteen olemassaolon tai poissaolon tosiasian , kutsutaan väittäviksi. Lausuntoja, jotka tämän lisäksi karakterisoivat tällaisen lausunnon luonnetta - eli sisältävät modaliteettia - kutsutaan modaaliseksi. Modaliteetti on järjestetty riviin vahvuuden mukaan [7] : vahvin modaliteetti on välttämätön; heikompi modaalisuus on modaalisuuden puuttuminen, toisin sanoen väittävän lausunnon modaalisuus; heikoin modaalisuus on mahdollisuuden modaalisuus. Modaliteetti "Mahdoton B" määritellään "On välttämätöntä, että B ei ole totta" (on tärkeää, että vaikka sen nimi näyttää puhekielessä venäjäksi mahdollisuuden kieltämiselle, mahdollisuuden kieltäminen ei esiinny määritelmässä - modaalilogiikka ei vaadi modaliteetin "mahdollista" asettamista ollenkaan).

Modaaliset käsitteet kontekstista irrallaan määritellään kaavion mukaisesti
- vahva positiivinen (vakuuttava) operaattori, joskus merkitty V:ksi (kontekstin ulkopuolella, joten lauseiden muoto säilyy modaalilogiikan tyypistä riippumatta)
- vahva negatiivinen (kiellettävä) operaattori, Y
- heikko modaalinen operaattori, W
- ylimääräinen heikko operaattori (U), jonka ovat määrittäneet aikaisemmat (pakolliset) operaattorit

Tällä asetustavalla modaalioperaattoreilla on kolmi-neljäarvoisten funktioiden rooli totuuden tai determinismin arvioinnissa. Vaihtoehtoisesti [4] Kripken semantiikassa modaalilogiikka voidaan määrittää kahdella modaalioperaattorilla, joilla on samanlainen rooli kuin lisäkvantorit ("tarvittava" kuten "mikä tahansa" ja "ehkä" kuten "olemassa"). Tämän jälkeen luetellaan modaliteetit niiden modaliteetin vahvuuden mukaan (loogisia aleettisia modaliteetteja voidaan pitää perusluettelona; kunkin kappaleen kolme ensimmäistä modaliteettia vaaditaan, modaliteettia "ehkä" ei aina ole mahdollista asettaa, sitä ei aina ole asetettu, ja toisin kuin kolmesta ensimmäisestä modaliteetista, se ei ole vaadittujen modaliteettien luettelossa, jotta logiikkaa voitaisiin pitää modaalisena logiikkana ja sellaisena toimivana)

Alethic ( muista kreikan kielestä ἀλήθεια - totuus) modaliteetti: [1]
- Aivojumppa:
  - tarpeen, V
  - sattumalta, W
  - mahdotonta, Y
  - ehkä U
- Ontologinen (kutsutaan myös tosiasialliseksi, empiiriseksi, fyysiseksi tai kausaaliksi):
  - $\Laatikko$ - välttämätön, V
  - $\kolmio$ - sattumalta, W
  - mahdotonta, Y
  - $\Timantti$ - mahdollisesti U

Aleettiset modaliteetit arvioivat tilanteiden totuutta koskevien väitteiden totuutta joko logiikan lakien (loogiset aleettiset modaliteetti) tai tunnettujen tosiasioiden ja luonnonlakien (ontologiset aleettiset modaliteetti) näkökulmasta. Muuten voimme sanoa, että he arvioivat, kuinka paljon kuvattu tilanne määräytyy tietyn lakien ja tosiasioiden perusteella. [7] Esimerkiksi väite "on välttämätöntä, että jokainen eläin on kuolevainen" on totta, jos "tarpeellinen" tulkitaan ontologiseksi modaaliksi (koska kertynyt tieteellinen näyttö viittaa tähän) - mutta se on myös väärä, jos "tarpeellinen" on tulkitaan loogisena modaliteettina. (koska se ilmaisee lauseen "millä tahansa x:llä on totta, että jos x:llä on ominaisuus A, niin x:llä on ominaisuus B", jolla ei ole yleispätevän lauseen muotoa). [7] Toinen esimerkki [7] on lause "on mahdollista, että on olemassa ikuinen liikkuri". Jos modaalisuus tulkitaan loogiseksi, lause on tosi (koska se vain ilmaisee, että on olemassa x, jolla on jokin ominaisuus); mutta jos modaliteetti tulkitaan ontologiseksi, niin väite on väärä (koska se on ristiriidassa tunnettujen fysiikan lakien ja niiden tosiseikastojen kanssa, joiden perusteella ne on vahvistettu).

Episteeminen [1]
- Tietoa [8]
  - Todistettu (tai todistettu)
  - Ratkaisematon (ei todennettavissa)
  - Kiistää (tai kiistää)
- Uskomuksista (doksastinen)
  - Uskoo (vakuuttunut)
  - Epäilykset
  - Hylkää
  - Sallii U

Ero tiedon ja uskomusten arvioiden välillä tässä tapauksessa on se, että väite "A uskoo, että B" vahvistaa vain A:n mielipiteen - kun taas väite "A tietää, että B" korjaa seuraavan tilanteen: "A uskoo, että B ja B todella tapahtuu. [7]

Deonttinen (sääntely) [1]
- Pakollinen, V, O
- Sääntelyn välinpitämätön, W
- Kielletty, Y, F
- Sallittu, U, P

Aksiologinen ( muut kreikkalainen ἀξίᾱ - arvo) [1] :
- Ehdoton
  - Hyvä
  - neutraali (aksiologisesti välinpitämätön)
  - huonosti
- Vertaileva
  - paremmin
  - vastaava
  - huonompi

Aksiologisen logiikan kehitti filosofi A. A. Ivin .

Väliaikainen [1] :
- Ehdoton
  - aina
  - vain joskus
  - ei milloinkaan
- Vertaileva
  - ennen
  - samanaikaisesti
  - myöhemmin ("ja sitten", "sitten")

Lisäksi voidaan ottaa käyttöön muita modaliteettia [7] : "tulee aina olemaan" (tilanne tapahtuu tulevaisuuden jokaisena hetkenä), "oli" (tilanne tapahtui joskus menneisyydessä) jne. Esimerkiksi [ 3] , voit asettaa:

- - Aina ollut G
  - Oli, H
  - Tulee aina, F
  - Will, P

Lisäksi modaliteetit on jaettu useiden muiden ominaisuuksien mukaan. [7]

Modaalisuuden lokaisuuden määrällä (sama kuin puhutaan lausekonnektiivien paikallisuudesta)

Absoluuttiset modaliteetit ovat yksittäisiä (unäärisiä) modaliteetteja, jotka muodostavat modaalisen lauseen yhdestä lauseesta
Suhteelliset modaliteetit ovat modaliteetteja, joiden maasto on suurempi kuin 1 (esim. "A on myöhäisempi kuin B", "B on parempi kuin C" jne.)

Sen mukaan, arvioidaanko tilannetta tietyn subjektin asemasta

Henkilökohtaiset toimintatavat
Persoonattomat modaalit

Sen mukaan, mikä lauseen osa luonnehtii modaalioperaattoria

Sisäiset modaliteetit (de re, aiheesta, objektista) - arvioi objektien luontaisia ominaisuuksia käskyssä
Ulkoiset modaliteetit (de dicto, sanotusta, puheesta) - arvioi itse lausunnon luonne

Esimerkiksi [7] , syllogistinen tila (Barbara)

Jokainen A on B Jokainen C on A Siksi jokainen C on B

On tosi, jos sen katsotaan sisältävän sisäisen modaliteetin "loogisesti tarpeellista" - mutta se on loogisesti epätosi, jos sen katsotaan sisältävän ulkoisen modaalin "loogisesti välttämättömänä". Oikea väite:

Jokaisen A:n on oltava B Jokainen C on A Siksi jokaisen C:n on oltava B

Väärä väite:

On välttämätöntä, että jokainen A on B Jokainen C on A Siksi on välttämätöntä, että jokainen C on B

On kaksi sääntöä [7] , jotka on lisättävä syllogismiin testatakseen de dicto syllogismeja:

johtopäätöksen modaalisuus ei voi olla vahvempi kuin modaalisuuden ja heikoimmassa lähtökohdassa
jos yksi tiloista on ongelmallinen, toisen on oltava apodiktinen

Apodiktinen - "välttämättömästä luontaisesta" tai "välttämättömästä ei-luontaisesta"; ongelmallinen - "noin mahdollisesti luontainen" tai "noin mahdollisesti luontainen".

Tiedon logiikka

Toimii käsitteillä "tietää", "uskoo".

Deonttinen logiikka

Toimii käsitteillä: velvoite , lupa , normi .

"Sinun täytyy tehdä se" ("Sinun velvollisuutesi tehdä se") tai "Sinä pystyt tekemään sen"

He yrittivät ottaa nämä käsitteet käyttöön kauan sitten, mutta vain Georg von Wrightilla oli merkittävä tulos teoksessa Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, ei. 237. (tammikuu, 1951), s. 1-15. [9]

2007 paperi deonttisen logiikan toteuttamisesta. Formal Language for Electronic Contracts [10] käyttäen µ-laskentaa ja A. Bieren mu-cke- toteutusta [11]

Semantiikka

Matemaattisessa logiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä yleisin on Kripken semantiikka , on myös algebrallinen semantiikka , topologinen semantiikka ja joukko muita.

Syntaksi

Modaalikaava määritellään rekursiivisesti sanana aakkostossa, joka koostuu laskettavasta lausemuuttujien joukosta , klassisista konnektiivisista , suluista ja modaalioperaattorista . Nimittäin kaava on $PL$ $\to ,\bot$ $($ $)$ $\Laatikko$

$s$ mille tahansa . $p\in PL$
$\bot$ .
$(A\–B)$ , jos ja ovat kaavoja. $A$ $B$
$(\laatikko A)$ , jos on kaava. $A$

Normaali modaalilogiikka on joukko modaalikaavoja, jotka sisältävät kaikki klassiset tautologiat , normaaliuden aksiooman

\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)

ja suljettu Modus ponens - sääntöjen , korvaamisen ja modaalisuuden käyttöönoton mukaisesti . ${\frac {A,A\to B}{B}}$ ${\frac {A(p)}{A(B)))$ ${\frac {A}{\Box A}}$

Minimaalinen normaali modaalinen logiikka on merkitty . $K$

Muistiinpanot

kaksosteoria tarjoaa käännöksen kvantifioidun modaalilogiikan kielestä ensimmäisen asteen teoriaksi (mutta ei päinvastoin) ilman intensiaalisia operaattoreita, kuten "mahdollista" ja "tarpeellista" [12] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 Ivin A. A. "Normien logiikka". - Moskovan valtionyliopiston kustantamo. – 1973
↑ 1 2 Sider T. (2010). Logiikkaa filosofialle. Oxford University Press
↑ 1 2 3 Modaalinen logiikka (Stanford Encyclopedia of Philosophy) . Haettu 4. lokakuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 7. lokakuuta 2020. (määrätön)
↑ 12 van Benthem, Johan . Modaalinen logiikka avoimille mielelle . — CSLI, 2010. Arkistoitu 19. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Hamkins, Joel (2012). "Joukkoteoreettinen multiversumi". Symbolisen logiikan katsaus . 5 (3): 416-449. arXiv : 1108.4223 . DOI : 10.1017/S1755020311000359 .
↑ Baltag, Alexandru; Christoff, Zoe; Rendsvig, Rasmus; Smets, Sonja (2019). "Dynaaminen episteeminen diffuusion ja ennustamisen logiikka sosiaalisissa verkostoissa." Studio Logic . 107 (3): 489-531. DOI : 10.1007/s11225-018-9804-x .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bocharov V.A., Markin V.I. "Johdatus logiikkaan. Yliopistokurssi. - M .: ID "FORUM": INFRA-M. - 2008-
↑ Ivin A.A.:n ("Logic of Norms", 1973) mukaan neljäs modaliteetti - joka vastaa tilaltaan "mahdollista" - ei ole asetettu tiedoksi; vaihtoehtoisesti modaliteetti "mahdollisesti P" vastaa "vain satunnaisesti P" (sama lähde)
↑ http://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C
↑ doi : 10.1007/978-3-540-72952-5_11
↑ A. Biere. mu-cke - tehokas mu-calculus-mallin tarkistus. Teoksessa O. Grumberg, toimittaja, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV'97), numero 1254 julkaisussa Lecture Notes in Computer Science, sivut 468-471. Copyright © 1997 Springer-Verlag
↑ Karpenko Aleksanteri Stepanovitš teoksessa Filosofian kysymyksiä 2016 nro 12

Kirjallisuus

Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. – Oxford University Press, 1997. (englanniksi)
Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic. – Cambridge University Press, 2002.
Kondakov N. I. Looginen sanakirja-viitekirja. - M: Nauka, 1976. - 720-luku.
Feis R., Modal Logic .- Kustantajan "Nauka" fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, M. 1974.
Shkatov D.P., Modaalilogiikka ja klassisen logiikan modaaliset fragmentit. Filosofian instituutti RAS, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (katso kirjan kuvaus: in Ozone )

Katso myös

Tiedon logiikka

Linkit

http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
https://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook Handbook of Modal Logic, Patrick Blackburn , Johan van Benthem , Frank Wolter

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4074914-9 NKC : ph137160

Logiikka

Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia

Logiikkaryhmät

klassista logiikkaa	Aristoteelinen logiikka propositionaalinen logiikka Ensimmäisen asteen logiikka Toisen asteen logiikka korkeamman asteen logiikkaa
matemaattinen logiikka	joukko teoria Mallin teoria Lasketettavuuden teoria Todistusteoria ja konstruktiivinen matematiikka Lineaarinen logiikka muodollinen järjestelmä luonnollinen johtopäätös Sekvenssilaskenta Logiikan algebra Asiaankuuluva logiikka Deonttinen logiikka intuitionistinen logiikka Lambek-laskenta
Ei-klassinen logiikka	intuitionismi sumea logiikka Alirakennelogiikka logiikka Kuvauslogiikka Moniarvoinen logiikka Logiikka synteesi Sidontalogiikka Temporaalinen logiikka Modaalinen logiikka ( Hybridilogiikka ) episteeminen logiikka
Filosofinen logiikka	Kriittinen ajattelu epävirallista logiikkaa deduktiivinen päättely

Komponentit

Sieppaus (logiikka)
Todennäköisyys
lausunto
Vähennys / Induktio / Traduction
Todellisuus
induktiivinen päättely
päättely
boolen vakio
Totta
loogista seuraamista
Looginen muoto
Tarpeelliset ja riittävät olosuhteet
Kuvaus
Määritelmä
Korvaus
Paketti
Kiista ( Antinomia )
Synteettinen arviointi / Analyyttinen arviointi
Linkki

Luettelo loogisista symboleista