Tyhjä setti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Tyhjä joukko ( matematiikassa ) on joukko , joka ei sisällä yhtä elementtiä . Tilavuuden aksioomasta seuraa , että on vain yksi joukko, jolla on tämä ominaisuus. Tyhjä joukko on sen (triviaali) osajoukko , mutta ei sen elementti.

Tyhjä joukko on äärellinen joukko ja sillä on pienin kardinaliteetti kaikista joukoista. Tyhjä joukko on ainoa joukko, jonka sitä vastaava joukko koostuu yhdestä elementistä (itse tyhjä joukko). Tyhjä joukko on myös ainoa joukko, jolla on täsmälleen yksi osajoukko (itsestään), ja ainoa joukko, joka vastaa mitä tahansa sen osajoukkoa.

Tyhjä joukko on triviaalisti pääteltävissä (ja siten numeroitavissa ja aritmeettinen ), transitiivinen ja hyvin järjestetty (millä tahansa järjestyssuhteella). Tyhjä joukko on pienin järjestysluku ja pienin kardinaaliluku . Topologiassa tyhjä joukko on sekä suljettu että avoin .

$\sisään$ -ketju, joka alkaa mielivaltaisesta joukosta, jonka jokainen myöhempi jäsen on edellisen elementti, päättyy aina tyhjään joukkoon äärellisen askelmäärän jälkeen (katso säännöllisyysaksiooma ). Siten tyhjä joukko on rakennuspalikka, josta kaikki muut joukot rakennetaan.

Joissakin joukkoteorian formulaatioissa tyhjän joukon olemassaolo oletetaan (katso tyhjän joukon aksiooma ), toisissa se todistetaan.

Tyhjällä joukolla on erittäin tärkeä rooli matematiikassa. [yksi]

Tyhjä joukko merkintätapa

Tyhjä joukko on yleensä merkitty , tai . Harvemmin tyhjä joukko on merkitty jollain seuraavista symboleista: ja [2] . $\varno mitään$ $\emptyset$ $\{\}$ $\lambda$ $0$

Bourbaki-ryhmä (erityisesti André Weil ) otti symbolit käyttöön vuonna 1939. Prototyyppi oli tanskalais-norjalaisista aakkosista peräisin oleva kirjain Ø [3] . $\varno mitään$ $\emptyset$

"Tyhjä sarja" -merkki esitetään Unicodessa ( U+ 2205 ∅ tyhjä joukko ) [4] ja vaikka se ei ole saatavilla tavallisilla näppäimistöillä, se voidaan syöttää näppäimistöltä:

HTML : ssä &tyhjänä; tai ∅
LaTeXissä sen koodi on \varnothing ( merkin koodaa \emptyset ) $\emptyset$
Microsoft Wordissa merkkiin pääsee käsiksi kirjoittamalla ja 2205painamalla Alt+X
Windowsissa Alt - koodilla +Alt8709
järjestelmissä, joissa käytetään X Window System -järjestelmää ( Unix / Linux / ChromeOS jne.), käyttämällä yhdistelmää Ctrl+ ⇧ Shift+ u 2205Пробелtai käyttämällä Compose -näppäintä painamalla Compose{}[5] vuorotellen .

Kielten, kuten tanskan tai norjan, teksteissä, joissa tyhjä joukko -merkki voidaan sekoittaa aakkosten kirjaimeen Ø (kun sitä käytetään kielitieteessä), voidaan käyttää Unicode-merkkiä U+ 29B0 ⦰ käänteinen tyhjä joukko (HTML ⦰) [6] . sen sijaan .

Tyhjän joukon ominaisuudet

Ei joukkoa on tyhjän joukon elementti. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (a\notin \varnothing )$ $\varnothing \notin \varnothing$
Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko . Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (\varnothing \subseteq a)$ $\varnothing \subseteq \varnothing$
Tyhjän joukon liitto minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin viimeinen [määritetty joukko]. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (\varnothing \cup a=a)$ $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$
Tyhjän joukon leikkauspiste minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )$ $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$
Minkä tahansa joukon ja sen komplementin leikkauspiste on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. Toisin sanoen ,. $\forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )$
Tyhjän joukon eliminointi mistä tahansa joukosta on yhtä suuri kuin viimeinen [määritetty joukko]. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (a\setminus \varnothing =a)$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Minkä tahansa joukon eliminointi tyhjästä joukosta on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Tyhjän joukon symmetrinen ero minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin viimeinen [määritetty joukko]. Toisin sanoen ja erityisesti $\forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)$ $\varnothing \triangle \varnothing =\varnothing$
Tyhjän joukon ja minkä tahansa joukon karteesinen tulo on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. Toisin sanoen ja erityisesti . $\forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )$ $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$
Tyhjä sarja on transitiivinen. Toisin sanoen missä . $\mathrm {Trans} (\varnothing )$ $\mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )$
Tyhjä sarja ei ole heijastava, symmetrinen, antisymmetrinen.
Tyhjä joukko on järjestysluku . Toisin sanoen missä . $\mathrm {Ord} (\varnothing )$ $\mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))$
Tyhjän joukon kardinaliteetti on nolla . Toisin sanoen ,. $|\varnothing |=0$
Tyhjän joukon mitta on nolla. Toisin sanoen, $\mu (\varnothing )=0$

Katso myös

Muistiinpanot

↑
Jos, kuten järjestelmässämme oletetaan, minkä tahansa joukon jäsenet ovat myös joukkoja (mukaan lukien tyhjä joukko) eivätkä yksilöitä, on sanomattakin selvää, että ... minkä tahansa joukon ainoa ensisijainen osatekijä on tyhjä joukko.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Joukkoteorian perusteet. - M .: Mir, 1966. - S. 117.
↑ Rudin, Walter. Matemaattisen analyysin periaatteet . – 3. - McGraw-Hill, 1976. - s. 300. - ISBN 007054235X .
↑ Joukkoteorian ja -logiikan symbolien varhaisimmat käyttötavat . — Joukkoteorian ja -logiikan symbolien syntyhistoria. Käyttöpäivä: 28. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2011.
↑ Unicode-standardi, versio 13.0 . Matemaattiset operaattorit, alue: 2200–22FF (englanniksi) (PDF) . Unicode Inc (2020) . Haettu 6. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2018.
↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) kirjoitussekvenssi . — Luo-näppäimellä syötettyjen merkkien konfiguraatiotiedosto. Haettu 25. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 3. elokuuta 2020.
↑ Esimerkiksi Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk: [ tanska. ] . — Kööpenhamina: Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3 , 87-500-4045-6.

Kirjallisuus

Stoll R. Joukot, logiikka, aksiomaattiset teoriat. - M .: Mir, 1968. - 231 s.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diskreetin matematiikan kurssi. - M .: MAI, 1992. - 264 s. — ISBN 5-7035-0157-X .
Halmos, Paul , Naiivi joukkoteoria . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Uusintapainos Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag-painos). Uusintapainos Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (pehmeäkantinen painos).
Jech, Thomas (2002), Set Theory (3. vuosituhannen painos), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2. painos), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392