Aseta teho

Joukon potenssi eli kardinaaliluku ( lat. cardinalis ← cardo "pääseikka; perusta; sydän") on joukoille (mukaan lukien äärettömät ) ominaisuus, joka yleistää käsitteen joukon alkioiden lukumäärästä ( lukumäärästä ) rajallinen joukko.

Tämä konsepti perustuu luonnollisiin ideoihin joukkojen vertailusta:

mitkä tahansa kaksi joukkoa, joiden elementtien välillä voidaan muodostaa yksi-yhteen vastaavuus ( bijection ), sisältävät saman määrän elementtejä (on sama kardinaliteetti, ovat yhtä voimakkaita );
päinvastoin: ekvipotenttijoukkojen on sallittava tällainen yksi-yhteen vastaavuus;
osa joukosta ei ylitä täyttä joukkoa kardinaalisuuden (eli elementtien lukumäärän) suhteen.

Ennen joukkojen tehoteorian rakentamista joukot erosivat ominaisuuksiltaan: tyhjät / ei-tyhjät ja äärelliset / äärettömät, ja äärelliset joukot erosivat myös alkioiden lukumäärästä. Äärettömiä joukkoja ei voitu verrata.

Joukkojen teho mahdollistaa äärettömien joukkojen vertailun. Esimerkiksi laskettavat joukot ovat "pienimpiä" äärettömiä joukkoja.

Joukon kardinaalisuus on merkitty . Joskus on merkintöjä ja . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {card}}(A)$

Määritelmä

Jos valinnan aksiooma hyväksytään todeksi, joukon kardinaalisuus määritellään muodollisesti pienimmäksi järjestysluvuksi , jonka alle voidaan muodostaa bijektiivinen vastaavuus ja välillä . Tätä määritelmää kutsutaan myös Neumannin kardinaalilukujen jakaumaksi . $\alpha$ $X$ $\alpha$

Jos emme hyväksy valinnan aksioomaa, tarvitaan erilainen lähestymistapa. Joukon kardinaalisuuden ensimmäinen määritelmä (joka on implisiittisesti Cantorin työssä ja ilmaistu nimenomaisesti Fregessä ja myös Principia Mathematicassa ) on kaikkien kardinaalisuuden suhteen vastaavien joukkojen luokka . ZFC-teoriaan perustuvissa aksiomaattisissa järjestelmissä tällaista määritelmää ei voida soveltaa, koska ei-tyhjälle tällainen kokoelma on liian suuri sopimaan joukon määritelmään. Tarkemmin sanottuna, jos , niin on olemassa injektiivinen kartoitus universaalista joukkoon osaksi , jonka mukaan jokainen joukko menee kohtaan , josta kokorajoituksen aksiooman perusteella seuraa, että se on oikea luokka. Tätä määritelmää voidaan käyttää tyyppiteoriassa ja "uuden perustassa" sekä niihin liittyvissä aksiomaattisissa järjestelmissä. ZFC:n tapauksessa määritelmää voidaan käyttää rajoittamalla kokoelma yhtä suuriin sarjoihin, joilla on pienin arvo (tämä Dana Scottin ehdottama temppu toimii, koska objektikokoelma, jolla on tietty arvo, on joukko). $X$ $[X]$ $X$ $X$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\aika X$ $[X]$ $[X]$

Muodollinen järjestys kardinaalilukujen välillä otetaan käyttöön seuraavasti: tarkoittaa, että joukko voidaan injektiivisesti yhdistää . Cantor-Bernstein-lauseen mukaan se seuraa epäyhtälöparista ja siitä . Valinnan aksiooma vastaa väitettä, että kaikille joukoille ja vähintään yhdelle epäyhtälöistä tai . $|X|\leq |Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

Joukkoa kutsutaan Dedekind mukaan äärettömäksi, jos sillä on oikea osajoukko siten, että . Muuten joukkoa kutsutaan Dedekind-finiteiksi. Äärelliset kardinaaliluvut osuvat yhteen tavallisten luonnollisten lukujen tai nollan kanssa, eli joukko on äärellinen silloin ja vain jos jollekin luonnolliselle luvulle tai for (jos joukko on tyhjä ). Kaikki muut joukot ovat äärettömiä . Valinnan aksiooman mukaan voidaan todistaa, että Dedekind-määritelmät ovat yhtenevät standardimääritelmien kanssa. Lisäksi voidaan todistaa, että luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus ( alef-nolla , tai aleph-0, - nimi on johdettu heprean aakkosten ensimmäisestä kirjaimesta ) on pienin äärettömän suuri kardinaaliluku, eli , missä tahansa äärettömässä joukossa on kardinaalisuuden osajoukko . Järjestyksessä seuraava kardinaaliluku on merkitty , ja niin edelleen, alefien määrä on ääretön. Mikä tahansa järjestysluku vastaa kardinaalilukua , ja tällä tavalla voidaan kuvata mikä tahansa äärettömän suuri kardinaaliluku. $X$ $Y$ $|X|=|Y|$ $X$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n = 0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alpha$ $\aleph _{\alpha }$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus on merkitty symbolilla (" aleph - nolla"). Joukkoa kutsutaan äärettömäksi , jos sen kardinaliteetti ei ole pienempi (vähintään luonnollisten lukujen joukon kardinaliteetti), joten laskettavat joukot ovat "pienimpiä" äärettömistä joukoista. Seuraavat kardinaaliluvut nousevassa järjestyksessä on merkitty (jossa indeksi kulkee kaikkien järjestyslukujen läpi ). Kardiaalilukujen joukossa ei ole suurinta: mille tahansa kardinaalilukujoukolle on kardinaaliluku, joka on suurempi kuin kaikki tämän joukon elementit. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\dots \aleph _{{\omega _{1)) },\dots$

Joukoilla, jotka vastaavat kaikkien reaalilukujen joukkoa , sanotaan olevan jatkumokardinaliteetti , ja tällaisten joukkojen kardinaliteetti on merkitty symbolilla . Oletus, jota kutsutaan jatkumohypoteesiksi . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

Kardinaalisuuksille, kuten äärellisille joukoille, on käsitteitä: "tasa-arvo", "suurempi", "vähemmän". Eli kaikille sarjoille ja vain yksi kolmesta on mahdollinen: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , tai ja ovat vastaavia; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , tai tehokkaampi , eli se sisältää osajoukon, joka on yhtä voimakas , mutta ei yhtä voimakas; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , tai tehokkaampi - tässä tapauksessa se sisältää osajoukon, joka vastaa , mutta ei yhtä voimakasta. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- Tilanne, jossa ja eivät ole yhtä voimakkaita, ja samalla millään niistä ei ole toista vastaavaa osaa, on mahdoton. Tämä seuraa Zermelon lauseesta . Muuten tämä merkitsisi vertaansa vailla olevien voimien olemassaoloa (mikä on periaatteessa mahdollista, jos valinnan aksioomaa ei hyväksytä ). $A$ $B$
- Tilanne, jossa ja on mahdoton Cantor-Bernstein-lauseen mukaan . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Joukkoja ja kutsutaan vastaaviksi , jos joukosta on yksi-yhteen- kuvaus joukkoon . [yksi] $A$ $B$ $A$ $B$

Esimerkkejä

Joukkoa kutsutaan äärelliseksi , jos se vastaa teholtaan luonnollisen sarjan segmenttiä jollekin ei-negatiiviselle kokonaisluvulle . Luku ilmaisee alkioiden lukumäärän äärellisessä joukossa. Kohteessa , joukko ei sisällä elementtejä (tyhjä joukko). Jos , silloin ei ole injektiokuvausta kohteesta kohteeseen ( Dirichlet'n periaate ), eikä niiden välillä ole bijektiota . Siksi sarjat ja niillä on erilaiset kardinaalit. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n = 0$ $m>n$ $Olen}$ $Sisään}$ $Olen}$ $Sisään}$

Joukkoa kutsutaan laskettavaksi , jos se vastaa kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa . Laskettavat sarjat ovat: $\mathbb {N}$
- Setti kaikille luonnollisille . Bijektiivinen vastaavuus , joka sopii : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\nuoli oikealle n+k$
- Paljon . Vaatimustenmukaisuus: . ${\mathbb {N}}\kuppi \{0\}$ $n\nuoli oikealle n-1$
- Joukko kokonaislukuja . Vastaavuus saadaan, jos äärettömän sarjan termejä verrataan sen osasummiin (sarjan termit otetaan etumerkkiä huomioimatta). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- Luonnollisten lukujen parien joukko . ${\mathbb {N}}\kertaa {\mathbb {N}}$
- Rationaalilukujen joukko kartoitetaan injektiivisesti joukkoon (eli mikä tahansa muodon pelkistämätön murto -osa vastaa injektiivisesti lukuparia ). Siksi rationaalilukujen joukko on korkeintaan laskettavissa. Mutta koska se sisältää joukon luonnollisia lukuja, se on ainakin laskettavissa. Näin ollen Cantor-Bernstein-lauseen mukaan se on täsmälleen laskettavissa. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\kertaa {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$

Äärettömiä joukkoja, jotka eivät vastaa joukkoa, kutsutaan lukemattomiksi. Cantorin lauseen mukaan kaikkien mahdollisten äärettömien sarjojen joukko, joka koostuu luvuista 0 ja 1, on laskematon. Tämän joukon potenssia kutsutaan jatkumoksi . $\mathbb {N}$

Reaalilukujoukon kardinaalisuus on yhtä suuri kuin jatkumo. $\mathbb {R}$

Ominaisuudet

Kaksi äärellistä joukkoa ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos ne koostuvat samasta määrästä alkioita . Toisin sanoen äärelliselle joukolle tehon käsite on yhtäpitävä tavanomaisen määrän käsitteen kanssa.
Äärettömille joukoille joukon kardinaliteetti voi olla sama kuin sen oman (eli ei sama kuin alkuperäisen joukon) kardinaliteetti, esimerkiksi . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Lisäksi joukko on ääretön, jos ja vain jos se sisältää yhtä voimakkaan oikean osajoukon.
Mikä tahansa ääretön joukko vastaa kaikkien sen äärellisten osajoukkojen joukkoa. [2] $A$
Cantorin lause : minkä tahansa joukon A Boolen kardinaalisuus on suurempi kuin A , eli . $|2^{A}|>|A|$
- Erityisesti jokaiselle joukolle on olemassa joukko tehokkaampi.
Cantor-neliön avulla voidaan todistaa myös seuraava: äärettömän joukon A karteesinen tulo itsensä kanssa on ekvivalentti joukon A kanssa.
Karteesisen tuotteen teho: $|A\times B|=|A|\cdot |B|$
Sisällytys-poissulkemiskaava kahdelle ja kolmelle sarjalle: $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Kahden ja kolmen joukon symmetrisen eron teho : $|A\isokolmio B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\isokolmio B\isokolmio C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Kardinaalilukujen aritmetiikka

Luonnollisten lukujen tavalliset aritmeettiset operaatiot voidaan yleistää kardinaalilukujen tapaukseksi. Voidaan myös osoittaa, että äärellisten kardinaalilukujen tapauksessa nämä operaatiot osuvat yhteen vastaavien lukujen aritmeettisten operaatioiden kanssa. Lisäksi kardinaalilukujen operaatiot säilyttävät monia tavallisten aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia.

Seuraava kardinaaliluku on

Jos hyväksymme valinnan aksiooman, niin jokaiselle kardinaaliluvulle on mahdollista määrittää sitä seuraava luku , eikä välillä ja välillä ole muita kardinaalilukuja . Jos tietysti , niin järjestyksessä seuraava kardinaaliluku on sama kuin . Kun kyseessä on ääretön, seuraava kardinaaliluku on erilainen kuin seuraava järjestysluku. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V tarkoittaa luvun edellistä kardinaalilukua, jos sellainen on olemassa; muuten ,. $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Kardinnumeroiden lisääminen

Jos joukoilla ja ei ole yhteisiä elementtejä, kardinaliteettien summa määräytyy niiden liiton kardinaalisuuden mukaan . Jos yhteisiä elementtejä on, alkuperäiset joukot voidaan korvata ei-leikkaavilla joukoilla, joilla on sama kardinaliteetti – esimerkiksi korvaamalla merkintä , ja . $X$ $Y$ $X$ $X\times\{0\}$ $Y$ $Y\times\{1\}$

Nolla neutraalisuutta lisäyksen suhteen:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Assosiatiivisuus :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )

Kommutatiivisuus :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Lisäyksen monotonisuus (ei aleneva) molemmissa argumenteissa:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Jos valinnan aksiooma hyväksytään todeksi, kahden äärettömän kardinaaliluvun summa voidaan laskea helposti. Jos yksi luvuista tai on ääretön, niin $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Vähennys

Jollei valinnan aksioomista, minkä tahansa äärettömän kardinaaliluvun ja mielivaltaisen kardinaaliluvun olemassaolo , Jolle , vastaa epätasa-arvoa . Tämä on ainutlaatuinen (ja sama kuin ) jos ja vain jos . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Kardinaalilukujen kertolasku

Kahden kardinaaliluvun tulo ilmaistaan joukkojen karteesisena tulona: $|X|\cdot |Y|=|X\kertaa Y|$

Nolla ominaisuuksia:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Yksikköneutraalius kertolaskussa:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Assosiatiivisuus :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu )

Kommutatiivisuus :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Kertomisen monotonisuus (ei-laskeva) molempien argumenttien suhteen:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

Analogisesti summauksen kanssa kahden äärettömän kardinaaliluvun tulo voidaan laskea helposti valinnan aksiooman mukaisesti. Jos luvut ja ovat erilaisia kuin nolla ja ainakin yksi niistä on ääretön, niin $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Jaosto

Jollei aksiooma valinnan, minkä tahansa parin kardinaaliluvut ja , jossa on ääretön ja ei ole yhtä suuri kuin nolla, olemassaolo , Jolle , vastaa epäyhtälöä . Tämä on ainutlaatuinen (ja sama kuin ) jos ja vain jos . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Kardiaalilukujen eksponentio

Eksponenttiointi määritellään seuraavasti:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

jossa tarkoittaa kaikkien funktioiden joukkoa alkaen - . $X^{Y}$ $Y$ $X$

\kappa ^{0}=1

(erityisesti ), katso Tyhjä-toiminto

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu }=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu }\cdot \mu ^{\nu }

Yksitoikkoinen:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^{\kappa }\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Huomaa mikä on Boolen teho ja siten mille tahansa joukolle (katso Cantorin diagonaalimenetelmä ). Tämä tarkoittaa, että kardinaalilukujen joukossa ei ole suurinta (koska mille tahansa kardinaaliluvulle voidaan määrittää suurempi luku ). Itse asiassa kaikkien kardinaalilukujen luokka on oikea (vaikka joissakin joukkoteorian aksioomajärjestelmissä tätä ei voida todistaa - tällainen on esimerkiksi "Uusien perusteiden" järjestelmä ). $2^{{|X|}}$ $X$ $2^{{|X|}}>|X|$ $X$ $\kappa$ $2^{\kappa }$

Kaikki tämän osan myöhemmät lausunnot perustuvat valinnan aksioomiin.

Jos ja ovat äärellisiä lukuja suurempia kuin 1, ja on ääretön kardinaaliluku, sitten Jos kardinaaliluku on ääretön ja eroaa äärettömästi nollasta, sitten . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Jos ja , ja ainakin yksi niistä on ääretön, niin $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu }\))

Käyttämällä Königin lausetta voidaan todistaa, että mille tahansa äärettömälle kardinaaliluvulle pätevät seuraavat epäyhtälöt: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operaattorin nimi {cf} (\kappa )))

\kappa <\operaattorin nimi {cf} (2^{\kappa })

missä tarkoittaa lopullisuutta . $\operaattorin nimi {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Juurien erottaminen

Jos tarkkailemme valinnan aksioomaa, niin mille tahansa äärettömälle kardinaalille ja rajalliselle kardinaalille on olemassa kardinaaliluku sellainen, että , Ja . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmit

Valinnan aksiooman mukaan kardinaalilukua , joka täyttää ehdon , ei aina ole olemassa äärettömänä ja äärellisenä . Jos sellainen on olemassa, se on ääretön ja pienempi kuin , Ja mikä tahansa äärellinen kardinaaliluku täyttää myös tasa-arvon . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Äärettömän kardinaaliluvun logaritmi on pienin kardinaaliluku , joka täyttää ehdon . Huolimatta siitä, että äärettömän suurten kardinaalilukujen logaritmeilta puuttuu joitain ominaisuuksia, jotka ovat tyypillisiä positiivisten reaalilukujen logaritmeille, ne osoittautuvat hyödyllisiksi tietyillä matematiikan aloilla - erityisesti topologisten kardinaalien invarianttien tutkimuksessa. tilat. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Jatkohypoteesi

Jatkuvuushypoteesin mukaan ja välillä ei ole muita kardinaalilukuja . Kardinaaliluku on myös merkitty ja se edustaa jatkumon kardinaalisuutta (eli reaalilukujen joukkoa ). Tässä tapauksessa . Yleistetty jatkumohypoteesi kieltää kardinaalilukujen olemassaolon tiukasti minkä tahansa äärettömän joukon välillä ja . Jatkuvuushypoteesi on riippumaton joukkoteorian standardiaksiomatisoinnista, eli Zermelo-Fraenkel-aksioomajärjestelmästä yhdistettynä valinnan aksioomiin (katso Zermelo-Fraenkel-joukkoteoria ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $X$

Katso myös

Järjestysnumero

Muistiinpanot

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Yleinen algebra. Osa 1. - M., Nauka, 1990. - s. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Yleinen algebra. Osa 1. - M., Nauka, 1990. - s. 32

Kirjallisuus

A. A. Bolibrukh, Hilbertin ongelmat (100 vuotta myöhemmin), luku 2 Hilbertin ensimmäinen ongelma: jatkumohypoteesi Arkistoitu 3. kesäkuuta 2004 Wayback Machinessa , Mathematical Education Library, Issue 2
R. Courant, G. Robbins, Mikä on matematiikka? II luku, 4 §.
Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M . : Koulutus , 1991. - S. 109-110. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1971. - 119 s.

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion