Zermelo-Frenkel järjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2. kesäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Zermelo-Fraenkelin ( ZF ) aksioomajärjestelmä on laajimmin käytetty versio aksiomaattisesta joukkoteoriasta , joka on matematiikan perusteiden tosiasiallinen standardi . Ernst Zermelo muotoili sen vuonna 1908 keinona voittaa joukkoteorian paradokseja , ja Abraham Frenkel jalosti sen vuonna 1921 .

Valinnan aksiooma lisätään usein tähän aksioomajärjestelmään , ja sitä kutsutaan Zermelo-Fraenkel-joukkoteoriaksi valinnan aksioomalla ( ZFC , englanniksi Zermelo-Fraenkelin joukkoteoria valinnan aksiooman kanssa ).

Tämä aksioomijärjestelmä on kirjoitettu ensimmäisen asteen logiikan kielellä . On muitakin järjestelmiä; esimerkiksi von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) -aksioomajärjestelmä ottaa huomioon ns. olioluokkia joukkojen ohella ja on sama kuin ZF siinä mielessä, että mikä tahansa joukkolause (eli luokkia mainitsematta), joka on todistettavissa yhdessä järjestelmässä, on myös todistettavissa toisessa.

ZFC aksioomit

ZFC:n aksioomit ovat seuraavat joukkoteorian lauseet :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ joukkojen yhtäläisyyden ehto ( tilavuuden aksiooma ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\iso )))$ kahdesta elementistä koostuvan joukon olemassaolo . $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ joukon elementtien liiton olemassaolo. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ joukon osajoukkojen joukon olemassaolo. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ sellaisen osajoukon olemassaolo, jonka elementit täyttävät tietyn ominaisuuden. $C=\{b:b\in A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ äärettömän joukon olemassaolo. ${\displaystyle A=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b) \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ funktiokuvan olemassaolo. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnothing)$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ mille tahansa ei-leikkautuvien ei-tyhjien joukkojen luokalle on joukko, joka sisältää yhden alkion jokaisesta joukosta ( valinnan aksiooma ). Ei oikeastaan: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin) A){\bigr )}{\Bigr )))$ Mikä tahansa ei-tyhjä luokka sisältää joukon , jonka kaikki elementit eivät ole luokan elementtejä ( säännöllisyyden aksiooma ). Ei oikeastaan: $a$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

Luettelo on annettu kirjan Frenkel A. A., Bar-Hillel I "Fundamentals of Set Theory" mukaan.

Voit esitellä aksiooman numero 0 tyhjän joukon olemassaolosta , mutta tämä ei ole muuta kuin merkintä. Vain tyhjän joukon ainutlaatuisuus on tärkeä, ja se johdetaan aksioomista 1-5. Joukko {a} tulee ymmärtää parina {a, a}. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

Käsiteltävänä oleva artikkeli sisältää 10 väitettä (mukaan lukien tyhjä joukko aksiooma), jotka voidaan ryhmitellä seuraavasti.

ZFC-aksioomien selitys

ZFC:n aksioomia ovat mm.

0) joukko lauseita joukkojen yhtäläisyydestä (aksiooma 1),

1) joukko väitteitä joukkojen olemassaolosta (aksioomit 0, 6),

2) joukko väitteitä joukkojen muodostamisesta jo olemassa olevista joukoista (aksioomit 2, 3, 4 ja kaaviot 5, 7), joista voidaan erottaa kolme alaryhmää,

3) joukko lauseita muodostettujen joukkojen järjestyksestä (aksioomit 8, 9).

0. Kriteerit joukkojen tasa-arvolle ZFC:ssä

Seuraava lause ilmaisee riittävän ehdon kahden joukon identiteetille.

Extensiivisyyden aksiooma ( Axiom of volume )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Merkintä

"Ohuusaksiooma" voidaan ilmaista seuraavasti: "Jos jokainen ensimmäisen joukon alkio kuuluu toiseen joukkoon ja jokainen toisen joukon alkio kuuluu ensimmäiseen joukkoon, niin molemmat joukot ovat identtisiä."

Kahden joukon identiteetin välttämätön ehto on muotoa ja johdetaan predikaattiaksioomista , nimittäin: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, jossa on mikä tahansa matemaattisesti oikea tuomio noin , ja se on sama tuomio, mutta noin .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Määritellyn välttämättömän ehdon [joukkojen identiteetti] yhdistelmä kolmiulotteisuuden aksiooman kanssa antaa seuraavan kriteerin joukkojen yhtäläisyydelle :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. ZFC-aksioomit joukkojen olemassaolosta

"Tilavuuden aksiooma" olisi hyödytön ehdotus, jos joukkoa ei olisi tai vain yksi joukko.

Seuraavat kaksi lausetta takaavat ainakin kahden erilaisen joukon olemassaolon, nimittäin: a) joukko, jossa ei ole mitään, ja b) joukko, joka sisältää äärettömän määrän alkioita.

1.0 Tyhjän joukon aksiooma

\exists A\forall b\ (b\notin A)

Merkintä

"Tyhjän joukon [olemassaolon] aksiooma" voidaan ilmaista seuraavasti: "On [ainakin yksi] joukko ilman yhtä elementtiä."

On todistettu, että "tyhjän joukon aksiooma" vastaa lausetta . Siksi yhdelle sarjalle voidaan antaa nimi. On olemassa kaksi yleistä nimeä: ja . Näitä nimiä käyttäen "tyhjän joukon aksiooma" kirjoitetaan seuraavasti: $\exists !A\forall b\ (b\notin A)$ $a$ $\varno mitään$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 Äärettömän aksiooma

\exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, missä

b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}

Merkintä

"Äärettömän aksiooma" voidaan ilmaista seuraavasti: "On [ainakin yksi] ' ääretön joukko ', joka koostuu . $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ ldots$

Väite äärettömän joukon olemassaolosta eroaa (tässä aksiomatiikassa väärästä) väittämästä " kaikkien joukkojen joukon " olemassaolosta ( ). $\exists A\forall b\ (b\in A)$

2. ZFC-aksioomit joukkojen muodostamisesta

Seuraavia viittä lausetta voidaan kutsua joukkojen muodostumisen aksioomeiksi [olemassa olevista joukoista, mukaan lukien vähintään yksi ]. $\varno mitään$ $\infty$

Jokainen näistä viidestä lauseesta on rakennettu predikaatin aksioomeista johdetun väitteen perusteella . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Nämä viisi väitettä voidaan ryhmitellä seuraaviin alaryhmiin:

2.0) joukko postulaatteja joukkojen muodostumisesta luettelemalla niiden elementit,

2.1) joukko julistuksia joukkoryhmien perustamisesta ja lakkauttamisesta,

2.2) joukko kaavioita joukkojen muodostamiseksi matemaattisesti oikeiden päätelmien avulla.

2.0. Postulaatti joukkojen muodostumisesta luetteloimalla niiden elementit: Parin aksiooma

Yksinkertaisin tapa muodostaa uusi joukko [jo olemassa olevista joukoista] on "työntää sormella" jokaista joukkoa, josta tulee [muodostettavan joukon] elementti. ZFC:ssä tätä joukkojen muodostamistapaa edustaa yksi aksiooma, jossa "sormella osoittaminen" mallinnetaan predikaatilla . $=$

2.0 Pari-aksiooma

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, mikä on

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

Merkintä

"[järjestämättömän] parin aksiooma" voidaan muotoilla seuraavasti: "Mistä tahansa kahdesta joukosta on mahdollista muodostaa" järjestämätön pari ", eli sellainen joukko , jonka jokainen alkio on identtinen tietyn joukon kanssa tai tietty sarja ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Esimerkkejä

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

On todistettu, että "pariaksiooma" vastaa lausetta . Siksi yhdelle joukolle voidaan antaa nimi . Annettua nimeä käyttäen "pari-aksiooma" kirjoitetaan seuraavasti: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $c$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

tai

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Julistukset joukkoryhmien perustamisesta ja lakkauttamisesta

Kaksi seuraavaa aksioomaa, joita kutsutaan "joukkoaksioomaksi" ja "yhdistysaksioomaksi", voidaan nähdä luonnollisena täydennyksenä "pariaksioomaksi". Tämän vahvistamiseksi panemme merkille seuraavat asiat.

Tiedetään, että jokaisella joukolla on osajoukkoja , mukaan lukien [tyhjän joukon kopio] ja [itse joukon kopio] . Toisin sanoen, $z$ $\varno mitään$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

"Pari-aksiooman" ohjaamana voidaan muodostaa järjestämätön pari nimetyistä osajoukoista . Kutsutaan tätä paria perheeksi . $\{\varnothing ,z\}$ $Fam_{2}(z)$

Jos on mahdollista muodostaa perhe joukon kahdesta osajoukosta, on mahdollista ilmoittaa perheen muodostuminen kaikista joukon osajoukoista . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

Perheen muodostumisen julistamiseksi riittää, että jokainen nimetyn perheen elementti on joukon osajoukko ja nimetyn joukon jokainen osa on perheen elementti . Toisin sanoen,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, joka on sama kuin tarjoaminen

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, mikä tarkoittaa tarjousta

\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, joka on lausunnon erikoistapaus

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Jos perheen perustaminen voidaan julistaa, voidaan julistaa nimetyn perheen lakkauttaminen. $Fam_{a}(z)$

Erilaisia tapoja lakkauttaa perhe on ajateltavissa , mukaan lukien:

Fam_{a}(z)

1) sen täydellinen poistaminen (tuhoaminen), eli , joka vastaa

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) sen kuvitteellinen poistaminen (varaus), eli , joka vastaa

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) sen käänteinen lakkauttaminen (hajoaminen), eli , joka vastaa

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Koska

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z) ))\nuoli vasen oikealle \olemassa b\ (c\in b\ \maa \ b\in Fam_{a}(z))

, ehdotuksen osalta

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

on sama kuin tarjous

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, mikä tarkoittaa tarjousta

\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, joka on lausunnon erikoistapaus

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

Edellä olevasta seuraa, että lausunnot ja voidaan ehdollisesti pitää itsenäisinä. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 Osajoukkojen joukko aksiooma (Boolen aksiooma )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

mikä on missä

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

Merkintä

"Osajoukkojen joukon aksiooma" voidaan muotoilla seuraavasti: "Mistä tahansa joukosta on mahdollista muodostaa "superkasa", eli joukko, joka koostuu tietyn joukon (oikeista tai sopimattomista) osajoukoista . $a$ $d$ $b$ $a$

Esimerkkejä

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, koska

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ olemassa d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Oikea nuoli \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

On todistettu, että "osajoukkojen joukon aksiooma" vastaa lausetta . Siksi yhdelle joukolle voidaan antaa nimi , joka lausutaan: "[joukkojen] kaikkien osajoukkojen joukko " tai " Boolen [joukkoja] ". Annettua nimeä käyttäen "osajoukkojen joukko" kirjoitetaan seuraavasti: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $a$ $a$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

tai

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Yhdistämisaksiooma

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, mikä on

\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

Merkintä

[joukkojen] yhdistämisaksiooma voidaan muotoilla seuraavasti: "Mistä tahansa joukkojen perheestä voidaan muodostaa "kasa-pieni" eli sellainen joukko , jonka jokainen elementti kuuluu vähintään yhteen tämän perheen joukkoon. ”. $d$ $c$ $b$ $a$

Esimerkkejä

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\tai c\in \{1,2\}\tai c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ olemassa d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

On todistettu, että liiton aksiooma on ekvivalentti lauseen kanssa . Siksi yhdelle sarjalle voidaan antaa nimi , joka lausutaan: " perheen joukkojen liitto ". Annettua nimeä käyttäen liiton aksiooma kirjoitetaan seuraavasti: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ ${\näyttötyyli \kuppi \,a}$ $a$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

tai .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

Perheen joukkojen liittoa ( ) ei pidä sekoittaa perheen joukkojen ( ) leikkauspisteeseen , joka tunnetaan: $a$ $\cup a$ $a$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, tuo on

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Kaavioita joukkojen muodostamiseksi matemaattisesti oikeiden arvioiden avulla

Matemaattisten väitteiden joukossa on yhteysaksioomeja, mukaan lukien:

a) algebrallisen operaation (lisää) ja algebrallisen operaation (multiply) välisen yhteyden aksiooma $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) järjestysrelaation (pienempi tai yhtä suuri) ja algebrallisen operaation (lisää) välisen suhteen aksiooma $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ x+z\leq y+z))

Seuraavat kaksi lausetta, joita kutsutaan "poistokaavioksi" ja "muunnoskaavioksi", ovat joukkojen (esimerkiksi joukko ) ja matemaattisesti oikeiden lauseiden (esimerkiksi lause ) välisen yhteyden aksioomia. $\{0,1\}$ $x\leq 0$

"Valintakaavio" ja "muunnoskaavio" ilmaisevat seuraavan yksinkertaisen ajatuksen: "Jokainen matemaattisesti oikea tuomio minkä tahansa joukon elementeistä johtaa [saman tai toisen] joukon muodostumiseen."

"Valintakaaviossa" esiintyvät matemaattisesti oikeat arviot mahdollistavat joukon "tuomisen [esitykseen]" esimerkiksi Boolen aksiooman avulla.

"Muunnoskaaviossa" esiintyvät matemaattisesti oikeat tuomiot mahdollistavat "[matemaattisten] tuotteiden" luomisen ["karkea"] joukoista, jotka on muodostettu esimerkiksi Boolen aksiooman avulla.

2.2.0 Valintakaavio

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, mikä on , missä on matemaattisesti oikea arvio joukosta , mutta ei joukosta eikä joukosta .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

a

c

Merkintä

Kaava [osajoukkojen] valitsemiseksi voidaan muotoilla seuraavasti: "Jokaisesta joukosta voidaan valita [ainakin yksi] osajoukko tekemällä arvio tämän joukon jokaisesta elementistä ." $c$ $\Phi$ $b$ $a$

Esimerkkejä

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Vasen oikea nuoli \exist c \ kaikille b \ (b \in c \vasen oikea nuoli b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{aligned}}

On todistettu, että valintakaavio vastaa lausetta . Siksi yhdelle osajoukolle voidaan antaa nimi . Määritettyä nimeä käyttämällä allokointikaavio kirjoitetaan seuraavasti: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $c$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

tai

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\))

Valintamalli vastaa laskettavaa aksioomien joukkoa.

2.2.1 Muunnoskaavio

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, mikä on

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \ maa \ \phi [b,c])\}\ )

Merkintä

[joukko]-muunnoskaavio voidaan muotoilla seuraavasti: "Mikä tahansa joukko voidaan muuntaa [samaksi tai toiseksi] joukoksi ilmaisemalla mikä tahansa todellinen matemaattisesti oikea funktionaalinen arvio tämän joukon kaikista elementeistä ." $d$ $\phi$ $b$ $a$

Esimerkkejä

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \ maa \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\nuoli vasemmalle oikealle c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ olemassa d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1}) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{tasattu}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ olemassa b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \nuoli vasen \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ vasen oikea nuoli \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in {\mathbb {N))\ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\ in {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Rightarrow \exists d\ kaikille c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned} }

On osoitettu, että muunnoskaavion joukko on ainutlaatuinen. Siksi määritetylle joukolle voidaan antaa nimi . Määritetyn nimen avulla muunnoskaavio kirjoitetaan seuraavasti: $d$ ${\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

tai

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y] )\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

Muunnosmalli vastaa laskettavaa aksioomijoukkoa.

3. ZFC-aksioomit joukkojen järjestyksestä

Seuraavat kaksi lausetta määrittelevät joukkojen järjestyksen, jotka muodostetaan joukon muodostuksen aksioomien avulla. $\varno mitään$ $\infty$

3.0 Säännöllisyyden aksiooma

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Merkintä

"Säännöllisyyden aksiooma" voidaan ilmaista seuraavasti: "Jokaisessa joukkojen perheessä on [ainakin yksi] joukko , jonka jokainen elementti ei kuulu annettuun perheeseen ." $b$ $c$ $a$

Esimerkkejä

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ to c\notin \{x\})\ )\\\ \nuoli vasen \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \tai \ b\in a \to a\neq b)\end{tasattu}}

Vertaa lauseisiin ja , ja myös .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\not <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}

Vertaa väitteisiin ja .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ c\notin a)\end{aligned}}

Vertaa väitteisiin ja .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)

3.1 Valinnan aksiooma

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

Merkintä

"Valinnan aksiooma" voidaan muotoilla seuraavasti: "Mistä tahansa ei-tyhjien parittaisten disjunktijoukkojen perheestä voidaan valita "delegaatio", toisin sanoen joukko , jossa on yksi elementti tämän perheen kustakin joukosta . $d$ $c$ $b$ $a$

Esimerkki Oletetaan, että perhe muodostuu ei-negatiivisten parillisten lukujen joukosta ja ei-negatiivisten parittomien lukujen joukosta. Tässä tapauksessa kaikki "valinnan aksiooman" ehdot täyttyvät, nimittäin:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Siksi on mahdollista muodostaa ainakin yksi "delegaatio", joka koostuu yhdestä "delegaatista" (esimerkiksi numerosta nolla) joukosta ja yhdestä "delegaatista" (esimerkiksi numero yksi) joukosta . Todella:

\{0,2,4,\ldots\}

{\näyttötyyli \{1,3,5,\ldots\}}

{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\))

\{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\}

Muistiinpanot

1. Jos ZFC on johdonmukainen, niin sen johdonmukaisuutta ei voida todistaa ZFC: n avulla Gödelin toisen lauseen mukaan .

Historiallinen tausta

Ilmeisesti joukkoteorian alkuperäinen versio, jota saksalainen matemaatikko Georg Cantor kutsui tarkoituksella joukkodoktriiniksi , koostui kahdesta aksioomasta, nimittäin:

1) tilavuuden aksiooma , jonka avulla voimme muotoilla kriteerin joukkojen yhtäläisyydelle ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "matemaattisen vapauden aksioomit" , jonka avulla voit luoda joukkoja "vapauden tuomion" avulla .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

"Matemaattisen vapauden aksioomalla" on järkeviä seurauksia, mukaan lukien seuraavat:

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

Vuonna 1903 englantilainen filosofi Bertrand Russell kiinnitti huomiota seuraaviin:

1) "matemaattisen vapauden aksiooman" ohjaamana on mahdotonta tehdä eroa "vapauden" ja "sallivuuden" välillä, 2) valitsemalla triviaalisimmaksi matemaattiseksi väitteeksi saamme lausunnon "kaikkien joukkojen joukon" olemassaolosta, josta on "yksi askel" Russellin paradoksiin .

\Phi [a,c]

c=c

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

Nämä kriittiset lausunnot "saksalaisesta [joukkojen] doktriinista" saivat saksalaisen matemaatikon Ernst Zermelon korvaamaan "matemaattisen vapauden aksiooman" sen seurauksilla, jotka eivät aiheuttaisi matemaatikoiden protestia.

Vuonna 1908 Ernst Zermelo julkaisi Mathematische Annalen -lehdessä seuraavat seitsemän aksioomaa:

1) tilavuuden aksiooma ( saksaksi Axiom der Bestimmtheit ); 2) aksiooma "alkeisjoukkojen" olemassaolosta ( saksaksi: Axiom der Elementarmengen ) , joka voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

\varno mitään

\{a\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) valintajärjestelmä ( saksalainen Axiom der Aussonderung ); 4) osajoukkojen joukon aksiooma ( saksaksi: Axiom der Potenzmenge ); 5) yhdistämisaksiooma ( saksaksi: Axiom der Vereinigung ); 6) valinnan aksiooma ( saksa: Axiom der Auswahl ); 7) äärettömyyden aksiooma ( saksaksi Axiom der Unendlichkeit ) modernista formulaatiosta poikkeavassa muotoilussa.

Siten "joukkojen oppi" muuttui joukkoteoriaksi, nimittäin ZC:n teoriaksi [ Z ermelo set theory with the Axiom of C hoice].

ZC-teorian viimeinen aksiooma (äärettömyyden aksiooma) toi Georg Cantorin kannattajat lähemmäksi Leopold Kroneckerin kannattajia , jotka pitivät luonnollisten lukujen joukkoa matematiikan pyhänä maljana . $\mathbb {N}$

ZC-teorian toiseksi viimeisestä aksioomista (valinnan aksioomista) on tullut vilkkaan matemaattisen keskustelun aihe. Tämä aksiooma ei todellakaan ole seurausta "matemaattisen vapauden aksioomasta".

Vuonna 1922 saksalainen matemaatikko Abraham Frenkel ja norjalainen matemaatikko Turalf Skolem täydensivät ZC-teoriaa muunnoskaaviolla . Tämän seurauksena ZC-teoria muuttui ZFC-teoriaksi [ Zermelo - Fraenkelin joukkoteoria valinnan aksioomalla ].

Vuonna 1925 unkarilainen matemaatikko John von Neumann täydensi ZFC-teoriaa säännöllisyyden aksioomalla . Yksi tämän aksiooman ( ) seurauksista "hautasi" sekä "kaikkien joukkojen joukon" että " Russellin paradoksin ". $\forall a\ (a\notin a)$

Katso myös

Zermelon lause

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matemaattinen logiikka. — M.: URSS, 2005. — 240 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Joukkoteorian perusteet. - M.: Mir, 1966. - 556 s.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, AzrielJoukkoteorian perusteet (uuspr.) . - North-Holland , 1973.Fraenkelin viimeinen sana ZF:stä ja ZFC:stä.
Hatcher, William. Matematiikan loogiset perusteet. - Pergamon Press, 1982.
Hinman, Peter. Matemaattisen logiikan perusteet. – A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasSarjateoria: Kolmas vuosituhannen painos, tarkistettu ja laajennettu . - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethJoukkoteoria :Johdatus itsenäisyyden todisteisiin . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Perusjoukkoteoria. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Linkki, Godhard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (englanniksi) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Joukkoteoria ja sen logiikka . – Tarkistettu. - Cambridge, Massachusetts ja Lontoo, Englanti: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montaasi, Richard . Semanttinen sulkeutuminen ja ei-äärellinen aksiomatisoitavuus // Infinistiset menetelmät. — Lontoo: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Joukkoteorian aksioomit // Matemaattisen logiikan käsikirja / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Johdatus aksiomaattiseen joukkoteoriaan. – 1982.
Tarski, AlfredMinkä tahansa joukon hyvin järjestetyillä osajoukoilla // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Voi. 32 . - s. 176-183 .

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), ZFC , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Metamath versio ZFC aksioomista ; Lyhyt ja tarpeeton aksiomatisointi. Tausta ensimmäisen asteen logiikka on määritelty erityisesti helpottamaan todisteiden koneellista todentamista
Johdannainen kielellä Metamath
Axiomatics of Set Theory (englanniksi) PlanetMath- verkkosivustolla .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani iso kiinalainen Britannica (verkossa)